Étale algebra - Étale algebra

Yilda komutativ algebra, an etale yoki ajratiladigan algebra ajratiladigan kengaytmalarning cheklangan mahsulotiga izomorf bo'lgan algebraning maxsus turi.

Ta'riflar

Ruxsat bering ${ displaystyle K}$ bo'lishi a maydon va ruxsat bering ${ displaystyle L}$ bo'lishi a ${ displaystyle K}$-algebra. Keyin ${ displaystyle L}$ deyiladi etale yoki ajratiladigan agar ${ displaystyle L otimes _ {K} Omega simeq Omega ^ {n}}$ kabi ${ displaystyle K}$- algebralar, qaerda ${ displaystyle Omega}$ bu algebraik yopiq kengaytmasi ${ displaystyle K}$ va ${ displaystyle n geq 0}$ butun son (Bourbaki 1990 yil, sahifa A.V.28-30).

Teng ravishda, ${ displaystyle L}$ ning ajraladigan kengaytmalarining cheklangan ko'paytmasiga izomorf bo'lsa, etale hisoblanadi ${ displaystyle K}$. Ushbu kengaytmalar cheklangan darajaga ega bo'lganda, ${ displaystyle L}$ deb aytilgan cheklangan etale; bu holda uni almashtirish mumkin ${ displaystyle Omega}$ ning cheklangan ajratiladigan kengaytmasi bilan ${ displaystyle K}$ yuqoridagi ta'rifda.

Uchinchi ta'rifga ko'ra, etale algebra - bu iz shakli bo'lgan cheklangan o'lchovli komutativ algebra (x,y) = Tr (xy) buzilmaydi.

"Etale algebra" nomi maydon bo'yicha cheklangan o'lchovli komutativ algebra etale bo'lishidan kelib chiqadi. ${ displaystyle mathrm {Spec} , L to mathrm {Spec} , K}$ bu etal morfizm.

Misollar

Ni ko'rib chiqing ${ displaystyle mathbb {Q}}$-algebra ${ displaystyle mathbb {Q} (i)}$. Bu etale, chunki bu ajratiladigan maydon kengaytmasi.

Oddiy bo'lmagan misol tomonidan berilgan ${ displaystyle mathbb {R} [x] / (x ^ {2})}$ beri ${ displaystyle mathbb {R} [x] / (x ^ {2}) otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} cong mathbb {C} [x] / (x ^ {2 })}$.

Xususiyatlari

Maydon ustidagi etale algebralari toifasi k cheklangan toifasiga tengdir G-sets (uzluksiz bilan) G- harakat), qaerda G bo'ladi mutlaq Galois guruhi ning k. Xususan, o'lchamdagi algebralar n muttasil Galua guruhidan nosimmetrik guruhgacha uzluksiz homomorfizmlarning konjugatsiya sinflari bo'yicha tasniflanadi S_n.

Adabiyotlar

• Burbaki, N. (1990), Algebra. II. 4-7 boblar., Matematikaning elementlari, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8, JANOB  1080964
• Milne, Jeyms, Dala nazariyasi http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf