Abel tenglamasi - Abel equation

The Abel tenglamasinomi bilan nomlangan Nil Henrik Abel, bir turi funktsional tenglama shaklida yozilishi mumkin

${displaystyle f (h (x)) = h (x + 1)}$

yoki teng ravishda,

${displaystyle alfa (f (x)) = alfa (x) +1}$

va takrorlanishini boshqaradi f.

Ekvivalentlik

Ushbu tenglamalar tengdir. Buni taxmin qilaylik a bu teskari funktsiya, ikkinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin

${displaystyle alfa ^ {- 1} (alfa (f (x))) = alfa ^ {- 1} (alfa (x) +1),}$

Qabul qilish x = a⁻¹(y), tenglamani quyidagicha yozish mumkin

${displaystyle f (alfa ^ {- 1} (y)) = alfa ^ {- 1} (y + 1),}$

Funktsiya uchun f(x) ma'lum bo'lgan deb taxmin qilinsa, vazifa funktsiya uchun funktsional tenglamani echishdir a⁻¹≡hkabi qo'shimcha talablarni qondirishi mumkin a⁻¹(0) = 1.

O'zgaruvchilarning o'zgarishi s^a(x) = Ψ (x), haqiqiy parametr uchun s, Abelning tenglamasini nishonlanadigan joyga keltiradi Shreder tenglamasi, Ψ (f(x)) = s Ψ (x) .

Keyingi o'zgarish F(x) = exp (s^a(x)) ichiga Bottcher tenglamasi, F(f(x)) = F(x)^s.

Abel tenglamasi - ning maxsus holatidir (va osonlikcha umumlashtiriladi) tarjima tenglamasi,^[1]

${displaystyle omega (omega (x, u), v) = omega (x, u + v) ~,}$

masalan, uchun ${displaystyle omega (x, 1) = f (x)}$,

${displaystyle omega (x, u) = alfa ^ {- 1} (alfa (x) + u)}$. (E'tibor bering ω(x,0) = x.)

Hobil funktsiyasi a(x) bundan tashqari kanonik koordinatani beradi Advective oqimlari yolg'on (bitta parametr Yolg'on guruhlar ).

Tarix

Dastlab, umumiy shaklda tenglama^[2][3]xabar berildi. Hatto bitta o'zgaruvchida ham tenglama ahamiyatsiz va maxsus tahlilni tan oladi.^[4][5][6]

Lineer uzatish funktsiyasi bo'lsa, yechim ixcham tarzda ifodalanadi. ^[7]

Maxsus holatlar

Ning tenglamasi tebranish bilan Abel tenglamasining maxsus holati f = exp.

Agar tamsayı argumenti bo'lsa, tenglama takrorlanadigan protsedurani kodlaydi, masalan.

${displaystyle alfa (f (f (x))) = alfa (x) + 2 ~,}$

va hokazo,

${displaystyle alfa (f_ {n} (x)) = alfa (x) + n ~.}$

Yechimlar

• rasmiy echim: noyob (doimiygacha)^[8] (Ishonchim komil emas, chunki agar shunday bo'lsa ${displaystyle u}$ bu echim ${displaystyle v (x) = u (x) + Omega (u (x))}$, qayerda ${displaystyle Omega (x + 1) = Omega (x)}$, shuningdek, echim^[9].)
• analitik echimlar (Fatou koordinatalari) = tomonidan yaqinlashish asimptotik kengayish tomonidan belgilangan funktsiya quvvat seriyasi atrofdagi sektorlarda parabolik sobit nuqta^[10]

• Mavjudligi: Abel tenglamasi kamida bitta echimga ega ${displaystyle E}$ agar va faqat agar ${displaystyle forall xin E, forall nin mathbb {N}, f ^ {(n)} (x) eq x}$, qayerda ${displaystyle f ^ {(n)} = fcirc fcirc ... circ f}$, n marta.^[11]

Fato koordinatalari a ga yaqin diskret dinamik tizimning mahalliy dinamikasini tavsiflaydi parabolik sobit nuqta.

Shuningdek qarang

• Funktsional tenglama
  • Shreder tenglamasi
  • Bottcher tenglamasi
• Analitik funktsiyalarning cheksiz tarkibi
• Qayta qilingan funktsiya
• Shift operatori
• Superfunktsiya

Adabiyotlar