Algebraik-guruhli faktorizatsiya algoritmi - Algebraic-group factorisation algorithm

Bu maqola emas keltirish har qanday manbalar. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Manbaga ega bo'lmagan materialga qarshi chiqish mumkin va olib tashlandi. Manbalarni toping: "Algebraic-group factorisation algoritmi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2015 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Algebraik-guruhli faktorizatsiya algoritmlari uchun algoritmlar butun sonni faktoring qilish N bilan ishlash orqali algebraik guruh belgilangan modul N guruh tuzilishi "arifmetik modul" guruhini aniqlaydigan tenglamalarni bajarish natijasida olingan "qisqartirilgan guruhlar" ning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi bo'lib, noma'lum asosiy omillar p₁, p₂, ... Tomonidan Xitoyning qolgan teoremasi, arifmetik modul N barcha qisqartirilgan guruhlarda bir vaqtning o'zida arifmetikaga to'g'ri keladi.

Maqsad guruh modulining o'ziga xos bo'lmagan elementni topishdir N, lekin identifikator moduli omillardan biri hisoblanadi, shuning uchun ularni tanib olish usuli bir tomonlama identifikatorlar zarur. Umuman olganda, ularni elementlar atrofida harakatlanadigan va qisqartirilgan guruhlardagi identifikatorlarni o'zgarishsiz qoldiradigan operatsiyalarni bajarish orqali topish mumkin. Algoritm bir tomonlama identifikatsiyani topgandan so'ng, kelajakdagi barcha atamalar ham bir tomonlama identifikatorlar bo'ladi, shuning uchun vaqti-vaqti bilan tekshirish kifoya.

Hisoblash ixtiyoriy elementni tanlash orqali davom etadi x guruh moduli N va hisoblash katta va silliq bir nechta Balta undan; agar hech bo'lmaganda bitta emas, balki qisqartirilgan guruhlarning hammasi A ning bo'luvchisi bo'lsa, bu faktorizatsiyani beradi. Bu asosiy faktorizatsiya bo'lmasligi kerak, chunki element kamaytirilgan guruhlarning bir nechtasida o'ziga xoslik bo'lishi mumkin.

Umuman olganda, A ba'zi bir K chegarasi ostidagi tub sonlarning ko'paytmasi sifatida qabul qilinadi Balta ning ketma-ket ko'payishi bilan hisoblanadi x shu asoslarda; har bir ko'paytma yoki har bir necha marta ko'paytirilgandan so'ng, bir tomonlama identifikatsiyani tekshirish amalga oshiriladi.

Ikki bosqichli protsedura

Odatda guruh elementini ularning mahsulotiga qaraganda, odatda farqga asoslangan usullar bilan bir necha kichik butun sonlarga tezroq ko'paytirish mumkin; ketma-ket asosiy sonlar orasidagi farqlarni hisoblab chiqadi va ketma-ket qo'shadi ${displaystyle d_ {i} r}$. Bu shuni anglatadiki, ikki bosqichli protsedura birinchi navbatda hisoblash uchun oqilona bo'ladi Balta ko'paytirish orqali x B1 chegarasi ostidagi barcha sonlar bo'yicha, keyin esa tekshiring p Axa B1 va undan katta chegara B2 orasidagi barcha tub sonlar uchun.

Muayyan algebraik guruhlarga mos keladigan usullar

Agar algebraik guruh multiplikativ guruh mod N, bir tomonlama identifikatorlar hisoblash orqali tan olinadi eng katta umumiy bo'luvchilar bilan Nva natija p - 1 usul.

Agar algebraik guruh kvadratik kengaytmaning multiplikativ guruhi bo'lsa N, natija p + 1 usul; hisoblash modulli juft sonlarni o'z ichiga oladi N. Yo'qligini aytish mumkin emas ${displaystyle mathbb {Z} / Nmathbb {Z} [{sqrt {t}}]}$ aslida ning kengaytmasi N faktorizatsiyani bilmasdan. Buning uchun yoki yo'qligini bilishni talab qiladi t a kvadratik qoldiq modul Nva faktorizatsiyani bilmasdan buni amalga oshirishning ma'lum usullari mavjud emas. Biroq, taqdim etilgan N juda ko'p sonli omillarga ega emas, bu holda tasodifiy tanlash bilan avval boshqa usuldan foydalanish kerak t (aniqrog'i yig'ish A bilan t = A² - 4) tasodifan kvadratik qoldiqni juda tez uradi. Agar t kvadratik qoldiq bo'lib, p + 1 usuli ning sekinroq shakliga aylanadi p - 1 usul.

Agar algebraik guruh an elliptik egri chiziq, bir tomonlama identifikatsiyani muvaffaqiyatsizlik bilan tanib olish mumkin inversiya egri chiziqli nuqta qo'shish protsedurasida va natija elliptik egri usuli; Xassening teoremasi elliptik egri chiziq moduli bo'yicha nuqta soni p har doim ichida ${displaystyle 2 {sqrt {p}}}$ ning p.

Yuqoridagi algebraik guruhlarning uchalasi ham GMP-ECM Ikki bosqichli protsedurani samarali bajarilishini va standartga qaraganda ancha samarali bo'lgan PRAC guruh-eksponentlashtirish algoritmini o'z ichiga olgan to'plam. ikkilik ko'rsatkichlar yondashuv.

Ning boshqa algebraik guruhlaridan foydalanish N yoki yuqori turdagi algebraik egri chiziqlarga mos keladigan guruhlar - vaqti-vaqti bilan taklif etiladi, ammo deyarli har doim ham amaliy emas. Ushbu usullar tartib tartibidagi sonlarning yumshoqligi cheklovlari bilan yakunlanadi p^d kimdir uchun d > 1, ularning tartib raqamlariga qaraganda silliq bo'lishi juda kam p.