Andreotti – Norguet formulasi - Andreotti–Norguet formula - Wikipedia

The Andreotti – Norguet formulasi, birinchi tomonidan kiritilgan Aldo Andreotti va Fransua Norguet  (1964, 1966 ),^[1] ning yuqori o'lchovli analogidir Koshi integral formulasi ifodalash uchun hosilalar a holomorfik funktsiya. Aynan ushbu formulaning qiymatini ifodalaydi qisman lotin har qanday multiindex buyurtma a bir nechta o'zgaruvchilarning holomorfik funktsiyasi,^[2] har qandayida ichki nuqta berilgan chegaralangan domen, kabi yuqori sirt integrali funktsiyasi qiymatlarining chegara domenning o'zi. Shu nuqtai nazardan, u o'xshash va umumlashtirgan Bochner - Martinelli formulasi,^[3] ko'p indeksli differentsiatsiya tartibining absolyut qiymati bo'lganda unga kamaytirish 0.^[4] Funktsiyalari uchun ko'rib chiqilganda n = 1 murakkab o'zgaruvchilar, bu holomorf funktsiya hosilasi uchun oddiy Koshi formulasini kamaytiradi:^[5] ammo, qachon n > 1, uning ajralmas yadro ni oddiy farqlash bilan olish mumkin emas Bochner - Martinelli yadrosi.^[6]

Tarixiy eslatma

Andreotti-Norguet formulasi birinchi bo'lib tadqiqot e'lonida (Andreotti va Norguet 1964 yil, p. 780):^[7] ammo, uning to'liq isboti faqat keyinchalik gazetada chop etildi (Andreotti va Norguet 1966 yil, 207–208 betlar).^[8] Formulaning boshqa, boshqacha isboti tomonidan berilgan Martinelli (1975).^[9] 1977 va 1978 yillarda, Lev Ayzenberg ga asoslangan formulaning yana bir isboti va umumlashtirilishini keltirdi Koshi-Fantappi-Leray yadrosi o'rniga Bochner - Martinelli yadrosi.^[10]

Andreotti-Norguet integral formulasi

Notation

Integral tasvirlash formulasining quyidagi tavsifida qabul qilingan yozuv foydalaniladigan belgidir Kytmanov (1995 y, p. 9) va tomonidan Kytmanov va Myslivets (2010), p. 20): asl asarlarda va boshqa ma'lumotnomalarda ishlatilgan yozuvlar, garchi ular teng bo'lsa-da, sezilarli darajada farq qiladi.^[11] Aynan shunday deb taxmin qilinadi

• n > 1 sobit tabiiy son,
• ζ,  z ∈ ℂⁿ bor murakkab vektorlar,
• a = (a₁,...,a_n) ∈ ℕⁿ a multiindex kimning mutlaq qiymat bu |a|,
• D. ⊂ ℂⁿ bu cheklangan domen bo'lib, uning yopilish bu D.,
• A(D.) bo'ladi funktsiya maydoni holomorfik funktsiyalar ichki makon ning D. va davomiy uning ustida chegara .D.
• tartibning takrorlanadigan Virtinger hosilalari a berilgan murakkab qiymat funktsiyasining f ∈ A(D.) quyidagi soddalashtirilgan yozuv yordamida ifodalanadi:

${ displaystyle kısalt ^ { alfa} f = { frac { qismli ^ {| alfa |} f} { qismli z_ {1} ^ { alfa _ {1}} cdots qisman z_ {n } ^ { alfa _ {n}}}}.}$

Andreotti-Norguet yadrosi

Ta'rif 1. Har bir multiindex uchun a, Andreotti-Norguet yadrosi ω_a (ζ, z) quyidagilar differentsial shakl yilda ζ bidegree (n, n − 1):

${ displaystyle omega _ { alpha} ( zeta, z) = { frac {(n-1)! alfa _ {1}! cdots alpha _ {n}!} {(2 pi i ) ^ {n}}} sum _ {j = 1} ^ {n} { frac {(-1) ^ {j-1} ({ bar { zeta}} _ {j} - { overline {z}} _ {j}) ^ { alpha _ {j} +1} , d { bar { zeta}} ^ { alfa + I} [j] land d zeta} { chap (| z_ {1} - zeta _ {1} | ^ {2 ( alfa _ {1} +1)} + + cdots + | z_ {n} - zeta _ {n} | ^ {2 ( alfa _ {n} +1)} o'ng) ^ {n}}},}$

qayerda Men = (1, ..., 1) ∈ ℕⁿ va

${ displaystyle d { bar { zeta}} ^ { alpha + I} [j] = d { bar { zeta}} _ {1} ^ { alpha _ {1} +1} land cdots land d { bar { zeta}} _ {j-1} ^ { alpha _ {j + 1} +1} land d { bar { zeta}} _ {j + 1} ^ { alpha _ {j-1} +1} land cdots land d { bar { zeta}} _ {n} ^ { alpha _ {n} +1}}$

Integral formula

Teorema 1 (Andreotti va Norguet). Har bir funktsiya uchun f ∈ A(D.), har bir nuqta z ∈ D. va har bir multiindex a, quyidagi integral tasvir formulasi bajariladi

${ displaystyle kısalt ^ { alfa} f (z) = int _ { qismli D} f ( zeta) omega _ { alfa} ( zeta, z).}$

Shuningdek qarang

• Bergman – Vayl formulasi

Izohlar

Adabiyotlar