Atiya - Xirzebrux spektral ketma-ketligi - Atiyah–Hirzebruch spectral sequence

Yilda matematika, Atiya - Xirzebrux spektral ketma-ketligi a spektral ketma-ketlik hisoblash uchun umumlashtirilgan kohomologiya tomonidan kiritilgan Maykl Atiya va Fridrix Xirzebrux  (1961 ) ning maxsus holatida topologik K-nazariyasi. Uchun CW kompleksi ${displaystyle X}$ va umumlashtirilgan kohomologiya nazariyasi ${displaystyle E ^ {ullet}}$, bu umumiy kohomologiya guruhlari bilan bog'liq

${displaystyle E ^ {i} (X)}$

"oddiy" bilan kohomologiya guruhlari ${displaystyle H ^ {j}}$ nuqtaning umumlashgan kohomologiyasidagi koeffitsientlar bilan. Aniqrog'i, ${displaystyle E_ {2}}$ spektral ketma-ketlikning muddati ${displaystyle H ^ {p} (X; E ^ {q} (pt))}$va spektral ketma-ketlik shartli ravishda yaqinlashadi ${displaystyle E ^ {p + q} (X)}$.

Atiya va Xirzebrux o'zlarining spektral ketma-ketligini umumlashtirganligini ta'kidladilar Serr spektral ketma-ketligi va qaerda bo'lsa, unga kamayadi ${displaystyle E = H_ {ext {Sing}}}$. Uni an dan olish mumkin aniq juftlik bu beradi ${displaystyle E_ {1}}$ oddiy kohomologik guruhlar bilan almashtirilgandan tashqari, Serre spektral ketma-ketligi sahifasi ${displaystyle E}$. Batafsil, taxmin qiling ${displaystyle X}$ a ning umumiy maydoni bo'lishi kerak Serre fibratsiyasi tola bilan ${displaystyle F}$ va asosiy bo'shliq ${displaystyle B}$. The filtrlash ning ${displaystyle B}$ uning tomonidan ${displaystyle n}$- skeletlari topildi ${displaystyle X_ {n}}$ ning filtrlanishiga olib keladi ${displaystyle X}$. Tegishli narsa bor spektral ketma-ketlik bilan ${displaystyle E_ {2}}$ muddat

${displaystyle H ^ {p} (B; E ^ {q} (F))}$

va ga rioya qilish tegishli darajali uzuk filtrlangan halqaning

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = E ^ {p + q} (X)}$.

Bu Atiyah-Xirzebrux spektral ketma-ketligi tola bo'lgan holat ${displaystyle F}$ nuqta.

Misollar

Topologik K-nazariyasi

Masalan, kompleks topologik ${displaystyle K}$- nuqta nazariyasi

${displaystyle KU (*) = mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}$ qayerda ${displaystyle x}$ daraja bo'yicha ${displaystyle 2}$

Bu shuni anglatadiki, ${displaystyle E_ {2}}$- cheklangan CW kompleksining sahifasi ${displaystyle X}$ kabi ko'rinadi

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} (X) = H ^ {p} (X; KU ^ {q} (pt))}$

Beri ${displaystyle K}$- nuqta nazariyasi

${displaystyle K ^ {q} (pt) = {egin {case} mathbb {Z} & {ext {if q teng bo'lsa}} 0 & {ext {aks holda}} end {case}}}$

biz har doim bunga kafolat bera olamiz

${displaystyle E_ {2} ^ {p, 2k + 1} (X) = 0}$

Bu spektral ketma-ketlikning qulab tushishini anglatadi ${displaystyle E_ {2}}$ ko'p bo'shliqlar uchun. Buni har birida tekshirish mumkin ${displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$, algebraik egri chiziqlar yoki juft darajadagi nolga teng bo'lmagan kohomologiyaga ega bo'shliqlar. Shuning uchun, u barcha (murakkab) hatto o'lchovli silliq to'liq kesishmalar uchun qulab tushadi ${displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$.

Kotangens to'plami doiradagi

Masalan, kotangens to'plamini ko'rib chiqing ${displaystyle S ^ {1}}$. Bu tola bilan tola to'plami ${displaystyle mathbb {R}}$ shunday ${displaystyle E_ {2}}$- sahifa quyidagicha o'qiydi

${displaystyle {egin {array} {c | cc} vdots & vdots & vdots 2 & H ^ {0} (S ^ {1}; mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; mathbb {Q}) 1 & 0 & 0 0 & H ^ {0} (S ^ {1}; mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; mathbb {Q}) - 1 & 0 & 0 -2 & H ^ {0} (S ^ {1}; mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; mathbb {Q}) vdots & vdots & vdots hline & 0 & 1end {array}}}$

Differentsiallar

Murakkab topologik K-nazariyasi uchun AHSS ning toq o'lchovli differentsiallarini osongina hisoblash mumkin. Uchun ${displaystyle d_ {3}}$ bu Shtenrod maydoni ${displaystyle Sq ^ {3}}$ biz uni kompozitsiya sifatida qabul qilamiz

${displaystyle eta circ Sq ^ {2} circ r}$

qayerda ${displaystyle r}$ kamaytirish rejimidir ${displaystyle 2}$ va ${displaystyle eta}$ bu qisqa aniq ketma-ketlikdan Bokshteyn gomomorfizmi (bog'laydigan morfizm)

${displaystyle 0 o mathbb {Z} o mathbb {Z} o mathbb {Z} / 2 o 0}$

To'liq kesishma 3 barobar

3 baravar silliq to'liq kesishishni ko'rib chiqing ${displaystyle X}$ (masalan, Calabi-Yau 3 marta to'liq kesishmasi). Agar biz ${displaystyle E_ {2}}$-spektral ketma-ketlik sahifasi

${displaystyle {egin {array} {c | ccccc} vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots 2 & H ^ {0} (X; mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (X; mathbb {Z}) & H ^ { 3} (X; mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; mathbb {Z}) & 0 & H ^ {6} (X; mathbb {Z}) 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & H ^ {0} (X; mathbb {Z }) & 0 & H ^ {2} (X; mathbb {Z}) & H ^ {3} (X; mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; mathbb {Z}) & 0 & H ^ {6} (X; mathbb {Z}) - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & H ^ {0} (X; mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (X; mathbb {Z}) & H ^ {3} (X; mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; mathbb {Z}) & 0 & H ^ {6} (X; mathbb {Z}) vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6end {qator}}}$

biz potentsial ahamiyatsiz bo'lgan yagona differentsialni darhol ko'rishimiz mumkin

${displaystyle {egin {aligned} d_ {3}: E_ {3} ^ {0,2k} o E_ {3} ^ {3,2k-2} d_ {3}: E_ {3} ^ {3,2k } o E_ {3} ^ {6,2k-2} oxiri {hizalanmış}}}$

Ma'lum bo'lishicha, bu farqlar ikkala holatda ham yo'q bo'lib ketadi ${displaystyle E_ {2} = E_ {infty}}$. Birinchi holda, beri ${displaystyle Sq ^ {k}: H ^ {i} (X; mathbb {Z} / 2) o H ^ {k + i} (X; mathbb {Z} / 2)}$ uchun ahamiyatsiz ${displaystyle k> i}$ bizda birinchi differentsiallar to'plami nolga teng. Ikkinchi to'plam ahamiyatsiz, chunki ${displaystyle Sq ^ {2}}$ yuboradi ${displaystyle H ^ {3} (X; mathbb {Z} / 2) o H ^ {5} (X) = 0}$ identifikatsiya ${displaystyle Sq ^ {3} = eta circ Sq ^ {2} circ r}$ differentsial ahamiyatsiz ekanligini ko'rsatadi.

Twisted K-nazariyasi

Atiyah-Xirzebrux spektral ketma-ketligi burilgan K-nazariya guruhlarini hisoblash uchun ham ishlatilishi mumkin. Qisqacha aytganda, o'ralgan K-nazariyasi - bu vektor to'plamlarining izomorfizm sinflarini guruh bilan yakunlash, ma'lumotlarni yopishtirish ${displaystyle (U_ {ij}, g_ {ij})}$ qayerda

${displaystyle g_ {ij} g_ {jk} g_ {ki} = lambda _ {ijk}}$

ba'zi bir kohomologiya sinflari uchun ${displaystyle lambda H ^ {3} da (X, mathbb {Z})}$. Keyin spektral ketma-ketlik quyidagicha o'qiladi

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X; KU ^ {q} (*)) O'ng tirnoq KU_ {lambda} ^ {p + q} (X)}$

ammo turli xil differentsiallar bilan. Masalan,

${displaystyle E_ {3} ^ {p, q} = E_ {2} ^ {p, q} = {egin {array} {c | cccc} vdots & vdots & vdots & vdots & vdots 2 & H ^ {0} (S ^ {3 }; mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} (S ^ {3}; mathbb {Z}) 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & H ^ {0} (S ^ {3}; mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} ( S ^ {3}; mathbb {Z}) - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & H ^ {0} (S ^ {3}; mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} (S ^ {3}; mathbb {Z}) vdots & vdots & vdots & vdots & vdots hline & 0 & 1 & 2 & 3end {array}}}$

Ustida ${displaystyle E_ {3}}$- differentsial sahifa

${displaystyle d_ {3} = Sq ^ {3} + lambda}$

Yuqori toq o'lchovli differentsiallar ${displaystyle d_ {2k + 1}}$ tomonidan berilgan Massey mahsulotlari tomonidan tebranadigan o'ralgan K-nazariyasi uchun ${displaystyle mathbb {R}}$. Shunday qilib

${displaystyle {egin {aligned} d_ {5} & = {lambda, lambda, -} d_ {7} & = {lambda, lambda, lambda, -} end {hizalanmış}}}$

Agar asosiy bo'shliq bo'lsa rasmiy, ya'ni uning ratsional homotopiya turi uning ratsional kohomologiyasi bilan belgilanadi, shuning uchun yo'q bo'lib ketayotgan Massey mahsulotlari bor, keyin g'alati o'lchovli differentsiallar nolga teng. Per Deligne, Filipp Griffits, Jon Morgan va Dennis Sallivan buni hamma ixcham uchun isbotladi Kähler manifoldlari, demak ${displaystyle E_ {infty} = E_ {4}}$ Ushbu holatda. Xususan, bu barcha tekis proektsion navlarni o'z ichiga oladi.

3-sferaning o'ralgan K-nazariyasi

Uchun burilgan K-nazariyasi ${displaystyle S ^ {3}}$ osonlik bilan hisoblash mumkin. Avvalo, beri ${displaystyle Sq ^ {3} = eta circ Sq ^ {2} circ r}$ va ${displaystyle H ^ {2} (S ^ {3}) = 0}$, bizda differentsial mavjud ${displaystyle E_ {3}}$- sahifa faqat berilgan sinf bilan chashka ${displaystyle lambda}$. Bu hisoblash imkonini beradi

${displaystyle KU_ {lambda} ^ {k} = {egin {case} mathbb {Z} & k {ext {even}} mathbb {Z} / lambda & k {ext {toq}} end {case}}}$

Ratsional bordizm

Eslatib o'tamiz, ratsional bordizm guruhi ${displaystyle Omega _ {*} ^ {ext {SO}} otimes mathbb {Q}}$ halqa uchun izomorfdir

${displaystyle mathbb {Q} [[mathbb {CP} ^ {0}], [mathbb {CP} ^ {2}], [mathbb {CP} ^ {4}], [mathbb {CP} ^ {6}] , ldots]}$

(murakkab) hatto o'lchovli proektsion bo'shliqlarning bordizm sinflari tomonidan hosil qilingan ${displaystyle [mathbb {CP} ^ {2k}]}$ daraja bo'yicha ${displaystyle 4k}$. Bu ratsional bordizm guruhlarini hisoblash uchun hisoblab chiqiladigan spektral ketma-ketlikni beradi.

Murakkab kobordizm

Buni eslang ${displaystyle MU ^ {*} (pt) = mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots]}$ qayerda ${displaystyle x_ {i} in pi _ {2i} (MU)}$. Keyinchalik, biz bo'shliqning murakkab kobordizmini hisoblash uchun foydalanishimiz mumkin ${displaystyle X}$ spektral ketma-ketlik orqali. Bizda ${displaystyle E_ {2}}$tomonidan berilgan sahifa

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X; MU ^ {q} (pt))}$

Adabiyotlar

• Devis, Jeyms; Kirk, Pol, Algebraik topologiyada ma'ruza matnlari (PDF)
• Atiya, Maykl Frensis; Xirzebrux, Fridrix (1961), "Vektorli to'plamlar va bir hil bo'shliqlar", Proc. Simpozlar. Sof matematik., Jild III, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, 7-38 betlar, JANOB  0139181
• Atiya, Maykl, Twisted K-nazariyasi va kohomologiya, arXiv:matematik / 0510674, Bibcode:2005 yil ... 10674A