Borel-Mur homologiyasi - Borel–Moore homology

Yilda topologiya, Borel, Mur homologiyasi yoki yopiq yordam bilan homologiya a gomologiya nazariyasi uchun mahalliy ixcham joylar tomonidan kiritilgan (1960 ).

O'rtacha ixcham joylar, Borel − Mur homologiyasi odatdagiga to'g'ri keladi singular homologiya. Yilni ixcham bo'lmagan bo'shliqlar uchun har bir nazariyaning o'ziga xos afzalliklari bor. Xususan, yopiq yo'naltirilgan submanifold Borel-Mur homologiyasi sinfini belgilaydi, ammo submanifold ixcham bo'lmasa oddiy gomologiyada emas.

Izoh: Borel ekvariant kohomologiya guruh harakati bilan bo'shliqlarning o'zgarmasligidir G; sifatida belgilanadi ${displaystyle H_ {G} ^ {*} (X) = H ^ {*} ((EG imes X) / G).}$ Bu ushbu maqola mavzusi bilan bog'liq emas.

Ta'rif

Borel-Mur homologiyasini aniqlashning bir necha yo'li mavjud. Ularning barchasi kabi o'rinli joylar uchun mos keladi manifoldlar va mahalliy darajada cheklangan CW komplekslari.

Sheaf kohomologiyasi orqali ta'rif

Har qanday mahalliy ixcham joy uchun X, Integral koeffitsientli Borel-Mur homologiyasi dualning kohomologiyasi sifatida aniqlanadi zanjirli kompleks qaysi hisoblaydi sheaf kohomologiyasi ixcham qo'llab-quvvatlash bilan.^[1] Natijada, a qisqa aniq ketma-ketlik ga o'xshash universal koeffitsient teoremasi:

${displaystyle 0 o {ext {Ext}} _ {mathbb {Z}} ^ {1} (H_ {c} ^ {i + 1} (X, mathbb {Z}), mathbb {Z}) o H_ {i } ^ {BM} (X, mathbb {Z}) o {ext {Hom}} (H_ {c} ^ {i} (X, mathbb {Z}), mathbb {Z}) o 0.}$

Keyinchalik, koeffitsientlar ${displaystyle mathbb {Z}}$ yozilmagan

Mahalliy cheklangan zanjirlar orqali ta'rif

The singular homologiya topologik makon X ning homologiyasi sifatida aniqlanadi zanjirli kompleks singular zanjirlarning, ya'ni simpleksdan to uzluksiz xaritalarning cheklangan chiziqli birikmalarining X. Borel-Murning mahalliy ixcham makonning homologiyasi XBoshqa tomondan, ning zanjir kompleksining homologiyasi uchun izomorfdir mahalliy cheklangan singular zanjirlar. Bu erda "oqilona" degan ma'noni anglatadi X mahalliy shartnoma asosida, b ixcham va cheklangan o'lchov.^[2]

Batafsilroq, ruxsat bering ${displaystyle C_ {i} ^ {BM} (X)}$ rasmiy (cheksiz) summalarning abeliya guruhi bo'ling

${displaystyle u = sum _ {sigma} a_ {sigma} sigma,}$

bu erda standart barcha doimiy xaritalar to'plami bo'ylab ishlaydi men-sodda Δ^men ga X va har biri a_σ har bir ixcham ichki to'plam uchun butun son S ning X, faqat rasmlari mos keladigan juda ko'p xaritalar S nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ega siz. Keyin singular zanjirning chegara odatiy ta'rifi ushbu abeliya guruhlarini zanjir kompleksiga aylantiradi:

${displaystyle cdots o C_ {2} ^ {BM} (X) o C_ {1} ^ {BM} (X) o C_ {0} ^ {BM} (X) o 0.}$

Borel-Mur homolog guruhlari ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ ushbu zanjir majmuasining gomologik guruhlari. Anavi,

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = ker chap (qisman: C_ {i} ^ {BM} (X) o C_ {i-1} ^ {BM} (X) ight) / {ext { im}} chap (qisman: C_ {i + 1} ^ {BM} (X) o C_ {i} ^ {BM} (X) ight).}$

Agar X ixcham, keyin har bir mahalliy cheklangan zanjir aslida cheklangan. Shunday qilib, buni hisobga olgan holda X yuqoridagi ma'noda "oqilona", Borel − Mur homologiyasi ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ odatdagi singular homologiyaga to'g'ri keladi ${displaystyle H_ {i} (X)}$ uchun X ixcham.

Siqish orqali ta'rif

Aytaylik X yopiq subkompleksning komplementi uchun gomeomorfikdir S cheklangan CW kompleksida Y. Keyin Borel-Mur homologiyasi ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ uchun izomorfik nisbiy homologiya H_men(Y, S). Xuddi shu taxmin bo'yicha X, bir nuqtali kompaktlashtirish ning X cheklangan CW kompleksi uchun gomomorfikdir. Natijada, Borel-Mur homologiyasini qo'shilgan nuqtaga nisbatan bir nuqtali kompaktlashning nisbiy homologiyasi sifatida qarash mumkin.

Poincare dualligi orqali ta'rif

Ruxsat bering X yo'naltirilgan ichiga yopiq ko'milgan har qanday mahalliy ixcham joy bo'ling ko'p qirrali M o'lchov m. Keyin

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = H ^ {m-i} (M, Msetminus X),}$

qaerda o'ng tomonda, nisbiy kohomologiya nazarda tutilgan.^[3]

Dualizing kompleksi orqali ta'rif

Har qanday mahalliy ixcham joy uchun X cheklangan o'lchov, ruxsat bering D._X bo'lishi dualizatsiya kompleksi ning X. Keyin

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = mathbb {H} ^ {- i} (X, D_ {X}),}$

qaerda o'ng tomonda, giperxomologiya nazarda tutilgan.^[4]

Xususiyatlari

• Borel − Mur homologiyasi bu a kovariant funktsiyasi munosabat bilan to'g'ri xaritalar. Ya'ni to'g'ri xarita f: X → Y undaydi a oldinga homomorfizm ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (Y)}$ barcha butun sonlar uchun men. Oddiy gomologiyadan farqli o'laroq, Borel-Mur gomologiyasida o'zboshimchalik bilan uzluksiz xarita yaratish uchun hech qanday kuch yo'q f. Qarama-qarshi misol sifatida, noo'rin kiritishni ko'rib chiqish mumkin ${displaystyle mathbb {R} ^ {2} setminus {0} o mathbb {R} ^ {2}.}$

• Borel − Mur homologiyasi bu a qarama-qarshi funktsiya ochiq pastki to'plamlarning kiritilishiga nisbatan. Ya'ni, uchun U ochish X, tabiiy narsa bor orqaga tortish yoki cheklash homomorfizm ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (U).}$

• Har qanday mahalliy ixcham joy uchun X va har qanday yopiq ichki qism F, bilan ${displaystyle U = Xsetminus F}$ to'ldiruvchi, uzoq aniq bor mahalliylashtirish ketma-ketlik:^[5]

${displaystyle cdots o H_ {i} ^ {BM} (F) o H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (U) o H_ {i-1} ^ {BM} (F) o cdots}$

• Borel, Mur homologiyasi homotopiya o'zgarmas har qanday bo'shliq uchun ma'noda X, izomorfizm mavjud ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i + 1} ^ {BM} (X imes mathbb {R}).}$ O'lchamning o'zgarishi Borel-Mur homologiyasining sodda ma'noda homotopiya o'zgarmasligini anglatadi. Masalan, Evklid fazosining Borel-Mur homologiyasi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ izomorfik ${displaystyle mathbb {Z}}$ daraja bo'yicha n va aks holda nolga teng.

• Puankare ikkilik Borel-Mur homologiyasidan foydalangan holda ixcham bo'lmagan manifoldlarga tarqaladi. Aynan, yo'naltirilgan uchun n- ko'p marta X, Poincaré ikkilik - bu singular kohomologiyadan Borel-Mur homologiyasigacha bo'lgan izomorfizm,

${displaystyle H ^ {i} (X) {stackrel {cong} {o}} H_ {n-i} ^ {BM} (X)}$

barcha butun sonlar uchun men. Yilni ixcham bo'lmagan manifoldlar uchun Poincare ikkilikining boshqa versiyasi bu izomorfizmdir ixcham ko'mak bilan kohomologiya odatdagi homologiyaga:

${displaystyle H_ {c} ^ {i} (X) {stackrel {cong} {o}} H_ {n-i} (X).}$

• Borel − Mur homologiyasining asosiy afzalligi shundaki, har biri yo'naltirilgan manifold M o'lchov n (xususan, har biri silliq murakkab algebraik xilma ), albatta, ixcham emas, ega asosiy sinf ${displaystyle [M] H_ {n} ^ {BM} (M) da.}$ Agar kollektor bo'lsa M bor uchburchak, keyin uning asosiy klassi barcha yuqori o'lchovli soddaliklarning yig'indisi bilan ifodalanadi. Darhaqiqat, Borel-Mur homologiyasida o'zboshimchalik bilan (ehtimol singular) murakkab navlar uchun asosiy sinfni aniqlash mumkin. Bu holda silliq nuqtalar to'plami ${displaystyle M ^ {ext {reg}} kichik to'plam M}$ komplektiga ega (real) kod o'lchovi kamida 2 va yuqori o'lchovli homologiyalar ustidagi uzoq aniq ketma-ketlik bo'yicha M va ${displaystyle M ^ {ext {reg}}}$ kanonik izomorfikdir. Ning asosiy sinfi M keyin ning asosiy sinfi sifatida belgilangan ${displaystyle M ^ {ext {reg}}}$.^[6]

Misollar

Yilni bo'sh joylar

Yilni topologik makon berilgan ${displaystyle X}$ uning Borel-Mur gomologiyasi uning standart gomologiyasiga mos keladi; anavi,

${displaystyle H _ {*} ^ {BM} (X) cong H _ {*} (X)}$

Haqiqiy chiziq

Borel-Mur homologiyasining birinchi ahamiyatsiz hisob-kitobi haqiqiy chiziqdir. Avvaliga har qanday narsaga e'tibor bering ${displaystyle 0}$- zanjir kohomologik hisoblanadi ${displaystyle 0}$. Chunki bu nuqta holatiga qisqartiriladi ${displaystyle p}$, Borel-Mur zanjirini olishimiz mumkinligiga e'tibor bering

${displaystyle sigma = sum _ {i = 0} ^ {infty} 1cdot [p + i, p + i + 1)}$

chunki bu zanjirning chegarasi ${displaystyle qisman sigma = p}$ va mavjud bo'lmagan cheksizlik nuqtasi, nuqta kohomologik nolga teng. Endi biz Borel-Mur zanjirini olamiz

${displaystyle sigma = sum _ {- infty$

chegarasi bo'lmagan, shuning uchun gomologiya darsi. Bu shuni ko'rsatadiki

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (mathbb {R}) = {egin {case} mathbb {Z} & k = 1 0 & {ext {aks holda}} end {case}}}$

Haqiqiy bo'sh joy

Oldingi hisoblash ish uchun umumlashtirilishi mumkin ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Biz olamiz

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) = {egin {case} mathbb {Z} & k = n 0 & {ext {aks holda}} end {case}}}$

Cheksiz silindr

Kunnet parchalanishidan foydalanib, cheksiz silindr ekanligini ko'rishimiz mumkin ${displaystyle S ^ {1} imes mathbb {R}}$ homologiyaga ega

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (S ^ {1} imes mathbb {R}) = {egin {case} mathbb {Z} & k = 1 mathbb {Z} & k = 2 0 & {ext {aks holda} } end {case}}}$

Haqiqiy n-bo'shliq minusdan nuqta

Borel-Mur homologiyasida uzoq aniq ketma-ketlikdan foydalanib, biz nolga teng bo'lmagan aniq ketma-ketlikni olamiz

${displaystyle 0 o H_ {n} ^ {BM} ({0}) o H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) o H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o 0}$

va

${displaystyle 0 o H_ {1} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o H_ {0} ^ {BM} ({0}) o H_ {0} ^ {BM} ( mathbb {R} ^ {n}) o H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o 0}$

Birinchi ketma-ketlikdan biz buni olamiz

${displaystyle H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) cong H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0})}$

ikkinchisidan esa biz buni olamiz

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) cong H_ {0} ^ {BM} ({0})}$

va

${displaystyle 0cong H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) cong H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0})}$

Ushbu nolga teng bo'lmagan gomologiya darslarini quyidagi kuzatishlar yordamida sharhlashimiz mumkin:

1. Gomotopik ekvivalentlik mavjud ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} - {0} simeq S ^ {n-1}.}$
2. Topologik izomorfizm ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} - {0} cong S ^ {n-1} imes mathbb {R} _ {> 0}.}$

shuning uchun biz cheksiz silindr uchun hisoblashni talqin qilish uchun ishlatishimiz mumkin ${displaystyle H_ {n} ^ {BM}}$ tomonidan ifodalangan homologiya sinfi sifatida ${displaystyle S ^ {n-1} imes mathbb {R} _ {> 0}}$ va ${displaystyle H_ {1} ^ {BM}}$ kabi ${displaystyle mathbb {R} _ {> 0}.}$

Ballari olib tashlangan samolyot

Ruxsat bering ${displaystyle X = mathbb {R} ^ {2} - {p_ {1}, ldots, p_ {k}}}$ bor ${displaystyle k}$- aniq fikrlar olib tashlandi. Borel-Mur homologiyasining izomorfizm o'zgarmas ekanligi bilan oldingi hisob-kitoblarga e'tibor bering, bu ish uchun bu hisobni beradi. ${displaystyle k = 1}$. Umuman olganda, biz topamiz ${displaystyle 1}$- nuqta atrofidagi tsiklga mos keladigan sinf va asosiy sinf ${displaystyle [X]}$ yilda ${displaystyle H_ {2} ^ {BM}}$.

Ikkita konus

Ikkita konusni ko'rib chiqing ${displaystyle X = mathbb {V} (x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) subath mathbb {R} ^ {3}}$. Agar olsak ${displaystyle U = Xsetminus {0}}$ unda uzoq aniq ketma-ketlik ko'rsatiladi

${displaystyle {egin {aligned} H_ {2} ^ {BM} (X) & = mathbb {Z} ^ {oplus 2} H_ {1} ^ {BM} (X) & = mathbb {Z} H_ { k} ^ {BM} (X) & = 0 && {ext {for}} kot ichida {1,2} oxiri {hizalanmış}}}$

Uchta nuqta olib tashlangan ikkita egri chiziq

Ikki egri chiziq berilgan (Riemann yuzasi) ${displaystyle X}$ va uchta ochko ${displaystyle F}$, biz Borel-Mur homologiyasini hisoblash uchun uzoq aniq ketma-ketlikdan foydalanishimiz mumkin ${displaystyle U = Xsetminus F.}$ Bu beradi

${displaystyle {egin {hizalangan} H_ {2} ^ {BM} (F) o & H_ {2} ^ {BM} (X) o H_ {2} ^ {BM} (U) o H_ {1} ^ { BM} (F) o & H_ {1} ^ {BM} (X) o H_ {1} ^ {BM} (U) o H_ {0} ^ {BM} (F) o & H_ {0} ^ {BM } (X) o H_ {0} ^ {BM} (U) o 0end {hizalangan}}}$

Beri ${displaystyle F}$ bizda bor-yo'g'i uch ochko

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (F) = H_ {2} ^ {BM} (F) = 0.}$

Bu bizga buni beradi ${displaystyle H_ {2} ^ {BM} (U) = mathbb {Z}.}$ Poincare-duality yordamida biz hisoblashimiz mumkin

${displaystyle H_ {0} ^ {BM} (U) = H ^ {2} (U) = 0,}$

beri ${displaystyle U}$ deformatsiya bir o'lchovli CW kompleksiga qaytadi. Va nihoyat, ixcham 2 egri chizig'ining homologiyasini hisoblashdan foydalanib, bizda aniq ketma-ketlik qoladi

${displaystyle 0 o mathbb {Z} ^ {oplus 4} o H_ {1} ^ {BM} (U) o mathbb {Z} ^ {oplus 3} o mathbb {Z} o 0}$

ko'rsatish

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (U) cong mathbb {Z} ^ {oplus 6}}$

chunki bizda abeliya guruhlarining qisqa aniqligi bor

${displaystyle 0 o mathbb {Z} ^ {oplus 4} o H_ {1} ^ {BM} (U) o mathbb {Z} ^ {oplus 2} o 0}$

oldingi ketma-ketlikdan.

Izohlar

Adabiyotlar

So'rov maqolalari

• Goreskiy, Mark, Sheaves ustidagi astar (PDF), dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2017-09-27 da

Kitoblar

• Borel, Armand; Mur, Jon C. (1960). "Mahalliy ixcham joylar uchun homologiya nazariyasi". Michigan matematik jurnali. 7: 137–159. doi:10.1307 / mmj / 1028998385. ISSN  0026-2285. JANOB  0131271.
• Bredon, Glen E. (1997). Sheaf nazariyasi (2-nashr). Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94905-5. JANOB  1481706.
• Fulton, Uilyam (1998). Kesishmalar nazariyasi (2-nashr). Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-62046-4. JANOB  1644323.
• Iversen, Birger (1986). Qatlamlarning kohomologiyasi. Berlin: Springer-Verlag. ISBN  3-540-16389-1. JANOB  0842190.