Bramble-Hilbert lemmasi - Bramble–Hilbert lemma - Wikipedia

Yilda matematika, ayniqsa raqamli tahlil, Bramble - Xilbert lemmanomi bilan nomlangan Jeyms H. Bramble va Stiven Xilbert, chegaralar xato ning taxminiy a funktsiya tomonidan a polinom eng ko'p tartib xususida hosilalar ning tartib . Yaqinlashish xatosi ham, ning hosilalari bilan o'lchanadi normalar a chegaralangan domen yilda . Bu, masalan, xatosi bo'lgan klassik raqamli tahlilga o'xshaydi chiziqli interpolatsiya ning ikkinchi hosilasi yordamida chegaralanishi mumkin . Biroq, Bramble-Hilbert lemmasi bir o'lchovda emas, balki har qanday o'lchovda qo'llaniladi va taxminiy xato va hosilalari nafaqat o'rtacha qiymatlarni o'z ichiga olgan umumiy normalar bilan o'lchanadi maksimal norma.

Bramble-Hilbert lemmasining ishlashi uchun domendagi qo'shimcha taxminlar zarur. Aslida, chegara domenning "oqilona" bo'lishi kerak. Masalan, uchida nol burchagi bo'lgan boshoqli yoki yoriqli domenlar chiqarib tashlanadi. Lipschitz domenlari o'z ichiga olgan etarlicha oqilona qavariq bilan domenlar va domenlar doimiy ravishda farqlanadigan chegara.

Bramble-Hilbert lemmasidan asosiy foydalanish funktsiyani interpolyatsiya qilish xatoligini chegaralarini isbotlashdir gacha tartibli polinomlarni saqlaydigan operator tomonidan , ning hosilalari jihatidan tartib . Bu xatolarni baholashda muhim qadamdir cheklangan element usuli. Bramble-Hilbert lemmasi u erda bitta elementdan (yoki ba'zi biridan) iborat bo'lgan sohada qo'llaniladi super konvergentsiya natijalar, oz sonli elementlar).

Bir o'lchovli ish

Lemmani to'liq umumiylikda aytib berishdan oldin, ba'zi oddiy maxsus holatlarni ko'rib chiqish foydalidir. Bir o'lchovda va funktsiya uchun bor oraliqdagi hosilalar , lemma kamayadi

qayerda bu eng ko'p tartibli barcha polinomlarning bo'sh joyidir .

Bunday holatda , , va ikki baravar farqlanadi, demak, bu erda polinom mavjud hamma uchun shunday darajadagi birinchi daraja ,

Ushbu tengsizlik, shuningdek, chiziqli interpolatsiya uchun taniqli xato taxminidan kelib chiqadi ning chiziqli interpolant sifatida .

Lemma haqida bayonot

[shubhali ]

Aytaylik bu cheklangan domen , , chegara bilan va diametri . bo'ladi Sobolev maydoni barcha funktsiyalar kuni bilan kuchsiz hosilalar tartib qadar yilda . Bu yerda, a multiindex, va lotinni bildiradi nisbatan marta , nisbatan marta , va hokazo. Sobolev seminar iborat eng yuqori darajadagi hosilalar normalari,

va

gacha bo'lgan barcha tartibli polinomlarning bo'sh joyidir kuni . Yozib oling Barcha uchun va , shuning uchun har qanday kishi uchun bir xil qiymatga ega .

Lemma (Bramble va Xilbert) Domendagi qo'shimcha taxminlarga ko'ra , quyida ko'rsatilgan, doimiy mavjud mustaqil va har qanday kishi uchun u erda polinom mavjud hamma uchun shunday

Asl natija

Lemmani Bramble va Xilbert isbotladilar [1] degan taxmin ostida qondiradi kuchli konusning mulki; ya'ni cheklangan ochiq qoplama mavjud ning va tegishli konuslar kelib chiqishi bilan tepaliklar shunday tarkibida mavjud har qanday kishi uchun .

Lemmaning bayoni bu erda 1-teoremada ko'rsatilgan o'ngdagi tengsizlikni oddiy qayta yozishdir.[1] Haqiqiy bayonot [1] bu omillar makonining normasi ga teng seminar. The norma odatiy emas, lekin atamalar miqyosi bilan belgilanadi shuning uchun seminormalar ekvivalentida o'ng tomonning tengsizligi aynan shu erda aytilganidek chiqadi.

Dastlabki natijada polinomni tanlash belgilanmagan va doimiyning qiymati va uning domenga bog'liqligi dalildan aniqlab bo'lmaydi.

Konstruktiv shakl

Muqobil natija Dyupont va Skott tomonidan berilgan [2] domen degan taxmin ostida bu yulduz shaklida; ya'ni to'p bor har qanday kishi uchun , yopiq qavariq korpus ning ning pastki qismi . Aytaylik bunday to'plar diametrlarining supremumidir. Bu nisbat ning chunkinessi deyiladi .

Keyin lemma doimiylik bilan ushlab turiladi , ya'ni doimiylik domenga bog'liq faqat uning uyg'unligi orqali va bo'shliqning o'lchamlari . Bunga qo'chimcha, sifatida tanlanishi mumkin , qayerda o'rtacha hisoblanadi Teylor polinomi sifatida belgilanadi

qayerda

bu eng ko'p darajadagi Teylor polinomidir ning markazida da baholandi va barcha buyruqlarning hosilalariga ega bo'lgan funktsiya, tashqarida nolga teng va shunga o'xshash

Bunday funktsiya har doim mavjud.

Qo'shimcha ma'lumot va o'quv qo'llanma uchun monografiyani ko'ring Brenner va Skott.[3] Natija domen qachon bo'lgan holatga kengaytirilishi mumkin - bu kuchli konus xususiyatidan bir oz ko'proq umumiy bo'lgan yulduz shaklidagi domenlarning cheklangan sonining birlashmasi va boshqa polinom bo'shliqlarining ma'lum darajagacha bo'lgan barcha polinomlar fazosiga nisbatan.[2]

Lineer funktsionallarga bog'liq

Ushbu natija yuqoridagi lemmadan zudlik bilan kelib chiqadi va uni ba'zida Bramble-Hilbert lemmasi deb ham atashadi, masalan Ciarlet.[4] Bu asosan 2-teorema.[1]

Lemma Aytaylik a uzluksiz chiziqli funktsional kuni va uning ikkilamchi norma. Aytaylik Barcha uchun . Keyin doimiy mavjud shu kabi

Adabiyotlar

  1. ^ a b v d J. H. Bramble va S. R. Xilbert. Furye konvertatsiyasiga va spline interpolatsiyasiga tatbiq etilgan Sobolev bo'shliqlarida chiziqli funktsionallarni baholash. SIAM J. Numer. Anal., 7:112–124, 1970.
  2. ^ a b Todd Dupont va Ridgvay Skott. Sobolev bo'shliqlaridagi funktsiyalarning polinomiy yaqinlashishi. Matematika. Komp., 34(150):441–463, 1980.
  3. ^ Susanne C. Brenner va L. Ridgvey Skott. Sonli elementlar usullarining matematik nazariyasi, 15 jild Amaliy matematikadagi matnlar. Springer-Verlag, Nyu-York, ikkinchi nashr, 2002 yil. ISBN  0-387-95451-1
  4. ^ Filipp G. Syarlet. Elliptik masalalar uchun cheklangan element usuli, 40-jild Amaliy matematikadan klassikalar. Sanoat va amaliy matematika jamiyati (SIAM), Filadelfiya, Pensilvaniya, 2002. 1978 yil asl nusxasini qayta nashr etish [Shimoliy-Gollandiya, Amsterdam]. ISBN  0-89871-514-8

Tashqi havolalar