Brezis-Lieb lemmasi - Brezis–Lieb lemma

Ning matematik sohasida tahlil, Brezis-Lieb lemmasi ning asosiy natijasi o'lchov nazariyasi. Bu nomlangan Haim Brézis va Elliott Lib, uni 1983 yilda kim kashf etgan. Lemmani ba'zi holatlarda yaxshilanish sifatida ko'rish mumkin Fato lemmasi tenglikka. Shunday qilib, bu ko'pchilikni o'rganish uchun foydali bo'ldi variatsion muammolar.^[1]

Lemma va uning isboti

Lemma haqida bayonot

Ruxsat bering (X, m) bo'lishi a bo'shliqni o'lchash va ruxsat bering f_n bo'yicha o'lchanadigan murakkab qiymatli funktsiyalar ketma-ketligi bo'lishi X deyarli hamma joyda funktsiyaga yaqinlashadigan f. Cheklash funktsiyasi f avtomatik ravishda o'lchanadi. Brezis-Lieb lemmasi, agar shunday bo'lsa, deb ta'kidlaydi p ijobiy raqam, keyin

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {X} { Big |} | f | ^ {p} - | f_ {n} | ^ {p} + | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} , d mu = 0,}$

ketma-ketlikni ta'minlash sharti bilan f_n bir xil chegaralangan L^p(X, m).^[2] Keskinlashadigan muhim oqibat Fato lemmasi ketma-ketlikka nisbatan |f_n|^p, shu

${ displaystyle int _ {X} | f | ^ {p} , d mu = lim _ {n to infty} left ( int _ {X} | f_ {n} | ^ {p } , d mu - int _ {X} | f-f_ {n} | ^ {p} , d mu right),}$

bu uchburchak tengsizligidan kelib chiqadi. Ushbu natija ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri dalilga ega bo'lmasa-da, lemma bayonoti sifatida qabul qilinadi.^[3]

Isbot

Isbotning mohiyati tengsizliklarda

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {n} equiv { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p } { Big |} & leq { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} + | f | ^ {p} & leq varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} + C _ { varepsilon} | f | ^ {p}. end {hizalanmış}}}$

Natijada shunday bo'ladi V_n - ε |f − f_n|^p, deyarli hamma joyda nolga yaqinlashadigan, yuqorida mustaqil ravishda integrallanadigan funktsiya bilan chegaralangan n. Kuzatuv

${ displaystyle W_ {n} leq max { Big (} 0, W_ {n} - varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} { Big)} + varepsilon | f-f_ { n} | ^ {p},}$

va ning qo'llanilishi ustunlik qiluvchi konvergentsiya teoremasi o'ng tomondagi birinchi muddatga buni ko'rsatib turibdi

${ displaystyle limsup _ {n to infty} int _ {X} W_ {n} , d mu leq varepsilon sup _ {n} int _ {X} | f-f_ {n } | ^ {p} , d mu.}$

O'zboshimchalik bilan supremumning o'ng tomonidagi cheklanganligi ε, chap tomon nolga teng bo'lishi kerakligini ko'rsatadi.

Adabiyotlar