Buffons noodle - Buffons noodle - Wikipedia

Yilda geometrik ehtimollik, muammo Buffon noodle taniqli muammoning o'zgarishi Buffonning ignasi nomi bilan nomlangan Jorj-Lui Lekler, Komte de Buffon 18-asrda yashagan. Muammoning ushbu yondashuvi tomonidan nashr etilgan Jozef-Emil Barbier 1860 yilda.^[1]

Buffonning ignasi

Faraz qilaylik, teng masofada joylashgan parallel chiziqlar juda ko'p va biz tasodifiy uzunlik qo'shni chiziqlar orasidagi masofadan kichik yoki unga teng bo'lgan ignani uloqtirishimiz kerak edi. Igna qo'nish paytida chiziq bo'ylab yotish ehtimoli qancha?

Ushbu muammoni hal qilish uchun ruxsat bering ${ displaystyle l}$ igna uzunligi va ${ displaystyle D}$ ikkita qo'shni chiziq orasidagi masofa. Keyin, ruxsat bering ${ displaystyle theta}$ igna gorizontal bilan keskin burchakka aylansin va ruxsat bering ${ displaystyle x}$ igna markazidan eng yaqin chiziqgacha bo'lgan masofa.

Agar shunday bo'lsa, igna eng yaqin chiziq bo'ylab yotadi ${ displaystyle x leq { frac {l cos theta} {2}}}$. Biz bu holatni igna, eng yaqin chiziq va uzunlik chizig'idan hosil bo'lgan to'g'ri uchburchakdan ko'ramiz ${ displaystyle x}$ igna eng yaqin chiziq bo'ylab yotganda.

Endi, ning qiymatlari deb o'ylaymiz ${ displaystyle x, theta}$ bor tasodifiy aniqlangan ular tushganda, qaerda ${ displaystyle 0$, beri ${ displaystyle 0$va ${ displaystyle 0 < theta <{ frac { pi} {2}}}$. The namuna maydoni uchun ${ displaystyle x, theta}$ Shunday qilib yon uzunliklarning to'rtburchagi ${ displaystyle { frac {D} {2}}}$ va ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$.

The ehtimollik ning tadbir igna eng yaqin chiziq bo'ylab yotadi, bu namunaviy bo'shliqning kesishgan qismidir ${ displaystyle x leq { frac {l} {2}} cos theta}$. Beri ${ displaystyle 0$, bu chorrahaning maydoni quyidagicha berilgan

${ displaystyle { text {Area (event)}} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {l} {2}} cos theta d theta = { frac {l} {2}} sin { frac { pi} {2}} - { frac {l} {2}} sin 0 = { frac {l} {2}}}$.

Endi namunaviy maydonning maydoni

${ displaystyle { text {Area (namuna maydoni)}} = { frac {D} {2}} times { frac { pi} {2}} = { frac {D pi} {4} }}$.

Demak, ehtimollik ${ displaystyle P}$ voqea

${ displaystyle P = { frac { text {Area (event)}} { text {Area (sample space)}}} = { frac {l} {2}} { frac {4} {D pi}} = { frac {2l} { pi D}}}$.^[2]

Ignani egish

Formulaning qiziq tomoni shundaki, u ignani xohlagancha egganda ham xuddi shunday bo'lib qoladi (u tekislikda yotishi kerak degan cheklovni hisobga olgan holda), uni "makaron" ga aylantiradi - qattiq. tekislik egri chizig'i. Noodle uzunligi parallel chiziqlar orasidagi masofadan ko'p emas degan farazni bekor qilamiz.

The ehtimollik taqsimoti o'tish joylari soni makaron shakliga bog'liq, ammo kutilgan raqam o'tish joylari yo'q; bu faqat uzunlikka bog'liq L noodle va masofa D. parallel chiziqlar orasida (egri noodle bitta chiziqni bir necha marta kesib o'tishini kuzating).

Ushbu fakt quyidagi tarzda isbotlanishi mumkin (qarang: Klayn va Rota). Birinchidan, makaron shunday deylik qismli chiziqli, ya'ni quyidagilardan iborat n to'g'ri qismlar. Ruxsat bering X_men sonining soni menparcha parallel chiziqlardan birini kesib o'tadi. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar yo'q mustaqil, lekin taxminlar hanuzgacha qo'shimchalar kutishning lineerligi:

${ displaystyle E (X_ {1} + cdots + X_ {n}) = E (X_ {1}) + cdots + E (X_ {n}).}$

Egri noodle parcha-parcha chiziqli makaron ketma-ketligining chegarasi sifatida, biz har bir tortish uchun kutilayotgan kesishish uzunligiga mutanosib degan xulosaga kelamiz; bu uzunlikning bir necha doimiy marta L. Keyin muammo doimiylikni topishdir. Agar noodle masofaga teng diametrli aylana bo'lsa D. parallel chiziqlar orasida, keyin L = πD. va o'tish joylari soni aniq 2, ehtimollik 1 bilan. Shunday qilib qachon L = πD. u holda kutilayotgan o'tish joylari soni 2. Shuning uchun kutilayotgan o'tish joylari soni 2 bo'lishi kerakL/ (πD.).

Yana bir ajablantiradigan natijasi bor. Agar noodle yopiq bo'lsa doimiy kenglikning egri chizig'i D o'tish joylari soni ham aniq 2. Bu shuni anglatadi Barbier teoremasi perimetri aylana bilan bir xil ekanligini tasdiqlash.

Adabiyotlar

• Ramaley, J. F. (1969). "Buffonning noodle muammosi" (PDF). Amerika matematikasi oyligi. Amerika matematik assotsiatsiyasi. 76 (8, 1969 yil oktyabr): 916-918. doi:10.2307/2317945. ISSN  0002-9890. JSTOR  2317945.
• Daniel A. Klain; Jan-Karlo Rota (1997). Geometrik ehtimollik bilan tanishtirish. Kembrij universiteti matbuoti. p.1. ISBN  978-0-521-59654-1.

Tashqi havolalar

• Matematikaning interfaol sahifasi da Tugun veb-sayt
• Interfaol Wolfram CDF namoyishi