Bunce-Deddens algebra - Bunce–Deddens algebra

Ushbu maqolada bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan materialga qarshi chiqish va olib tashlash mumkin. Manbalarni toping: "Bunce-Deddens algebra"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2012 yil avgust) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, a Bunce-Deddens algebranomi bilan nomlangan John W. Bunce va Jeyms A. Deddens, ma'lum bir turi In algebra, a to'g'ridan-to'g'ri chegara matritsali algebralarning doiradagi uzluksiz funktsiyalari, bu erda bog'lovchi xaritalar oilalar orasidagi birikmalar orqali berilgan. smena operatorlari davriy og'irliklar bilan.

Bunce-Deddens algebrasini belgilaydigan har bir induktiv tizim a bilan bog'langan g'ayritabiiy raqam, bu algebralar uchun to'liq o'zgarmasdir. Tilida K nazariyasi, g'ayritabiiy songa mos keladi K₀ algebra guruhi. Bundan tashqari, Bunce-Deddens algebralari C * - shaklida ifodalanishi mumkin.kesib o'tgan mahsulot ning Kantor o'rnatilgan sifatida ma'lum bo'lgan ma'lum bir tabiiy minimal harakatlar bilan odometr harakati. Ular, shuningdek, noyob narsani tan olishadi trakial holat. Ular AT ekanliklari bilan birga, bu ularning mavjudligini anglatadi haqiqiy daraja nol.

Uchun tasniflash dasturining keng kontekstida oddiy ajratiladigan yadroli C * -algebralar, Nol darajadagi haqiqiy AT-algebralari ularnikiga to'liq tasniflanganligi ko'rsatilgan K nazariyasi, Choquet simpleks ning tracial davlatlar va tabiiy juftlik K₀ va izlari. Bunce-Deddens algebralarining tasnifi umumiy natijaning kashfiyotchisi hisoblanadi.

Ma'lumki, umuman olganda, Kantor to'plamidagi minimal gomeomorfizmdan kelib chiqadigan o'zaro faoliyat mahsulotlar nol darajadagi oddiy AT-algebralaridir.

Ta'rifi va asosiy xususiyatlari

Ta'rif

Ruxsat bering C( T ) doiradagi uzluksiz funktsiyalarni va M_r(C(T)) ning C * algebra bo'lishi r × r yozuvlari bo'lgan matritsalar C(T). G'ayritabiiy raqam uchun {n_k}, tegishli Bunce-Deddens algebra B({n_k}) to'g'ridan-to'g'ri chegara:

${ displaystyle B ( {n_ {k} }) = varinjlim cdots rightarrow M_ {n_ {k}} (C ( mathbb {T})) ; { stackrel { beta _ {k} } { rightarrow}} ; M_ {n_ {k + 1}} (C ( mathbb {T})) rightarrow cdots.}$

Ichki materiallarni aniqlash kerak

${ displaystyle beta _ {k}: M_ {n_ {k}} (C ( mathbb {T})) ; rightarrow ; M_ {n_ {k + 1}} (C ( mathbb {T}) )).}$

Ushbu ko'milgan xaritalar davriy og'irliklar bilan siljish natijasida hosil bo'lgan C * algebralar orasidagi tabiiy birikmalardan kelib chiqadi. Butun sonlar uchun n va m, biz joylashishni aniqlaymiz β : M_n(C(T)) → M_nm(C(T)) quyidagicha. Ajratiladigan Hilbert makonida H, C * algebrasini ko'rib chiqing V(n) belgilangan davrning og'irlashtirilgan smenalari natijasida hosil bo'ladi n belgilangan asosga nisbatan. V(nichiga joylashadi V(nm) aniq usulda; har qanday n- davriy vaznli siljish ham a nm- davriy vaznli siljish. V(n) izomorfikdir M_n(C*(T_z)), qaerda C*(T_z) belgisini bildiradi Toeplitz algebra. Shuning uchun, V o'z ichiga oladi ixcham operatorlar ideal sifatida va bu ideal modul M_n(C(T)). Chunki xarita V(n) ichiga V(nm) ixcham operatorlarni saqlaydi, u ko'mishga tushadi β : M_n(C(T)) → M_nm(C(T)). Bunce-Deddens algebralari ta'rifida aynan shu ko'mish ishlatiladi.

Ulanish xaritalari

The β_k's ni aniqroq hisoblash mumkin va endi biz ushbu hisoblashning eskizini tuzamiz. Bu Bunce-Deddens algebralarini tavsiflashning muqobil tavsifini va shu algebralarning tasnifini olishda foydali bo'ladi.

C * algebra V(n) aslida yakka holda hosil qilingan. Ning ma'lum bir generatori V(n) bu vaznli siljish T davr n ic,…, ½, 1, ½,…, ½, 1,… davriy og'irliklari bilan. Tegishli asosda H, T bilan ifodalanadi n × n operator matritsasi

${ displaystyle T = { begin {bmatrix} 0 & ; & cdots & T_ {z} { frac {1} {2}} I & ddots & ddots & ; ; & ddots & ddots & vdots ; & ; & { frac {1} {2}} I & 0 end {bmatrix}},}$

qayerda T_z bo'ladi bir tomonlama siljish. Yordamida to'g'ridan-to'g'ri hisoblash funktsional hisob tomonidan hosil qilingan C * -algebra ekanligini ko'rsatadi T bu M_n(C*(T_z)), qaerda C*(T_z) belgisini bildiradi Toeplitz algebra, bir tomonlama siljish natijasida hosil bo'lgan C * -algebra. Chunki bu aniq M_n(C*(T_z)) o'z ichiga oladi V(n), buni ko'rsatadi V(n) = M_n(C*(T_z)).

Toeplitzdan qisqa aniq ketma-ketlik,

${ displaystyle 0 rightarrow { mathcal {K}} ; { rightarrow} ; C ^ {*} (T_ {z}) ; { rightarrow} ; C ( mathbb {T}) rightarrow 0,}$

bittasida,

${ displaystyle 0 rightarrow M_ {n} ({ mathcal {K}}) ; { stackrel {i} { hookrightarrow}} ; M_ {n} (C ^ {*} (T_ {z}) ) ; { stackrel {j} { rightarrow}} ; M_ {n} (C ( mathbb {T})) rightarrow 0,}$

qayerda men kirish usuli bilan joylashtirilgan xarita va j Toeplitz algebrasida yozuvlar bo'yicha kvota xaritasi. Shunday qilib C * algebra M _nk(C (T)) tomonidan yakka holda hosil qilingan

${ displaystyle { tilde {T}} = { begin {bmatrix} 0 & ; & cdots & z { frac {1} {2}} & ddots & ddots & ; ; & ddots & ddots & vdots ; & ; & { frac {1} {2}} & 0 end {bmatrix}},}$

bu erda skalar yozuvlari doiradagi doimiy funktsiyalarni bildiradi va z identifikatsiya qilish funktsiyasi.

Butun sonlar uchun n_k va n_{k + 1}, qayerda n_k ajratadi n_{k + 1}, ning tabiiy joylashuvi V(n_k) ichiga V(n_{k + 1}) dan (unital) ichiga joylashadi M_nk(C(T)) ichiga M _{nk + 1}(C(T)). Bu bog'lovchi xarita β_k biz tahlil qilishimiz kerak bo'lgan Bunce-Deddens algebra ta'rifidan.

Oddiylik uchun taxmin qiling n_k = n va n_{k + 1} = 2n_k. Yuqoridagi operatorning tasviri T ∈ V(n) tabiiy ko'milgan ostida quyidagi 2 mavjudn × 2n operator matritsasi in V(2n):

${ displaystyle T mapsto { begin {bmatrix} 0 & ; &&&& ; && T_ {z} { frac {1} {2}} I & ddots &&&&&& 0 ; & ddots & ddots &&&&& vdots ; & ; & { frac {1} {2}} I & 0 && ; && & ; && I & 0 &&& &&& ; & { frac {1} {2}} I & ddots && ; ; &&&& ; & ddots & ddots & vdots ; & ; &&& ; & ; & { frac {1} {2}} I & 0 end {bmatrix}}.}$

Shuning uchun, ning harakati β_k generatorda

${ displaystyle beta _ {k} ({ tilde {T}}) = { begin {bmatrix} 0 & ; &&&& ; && z { frac {1} {2}} & ddots &&&&&& 0 ; & ddots & ddots &&&&& vdots ; & ; & { frac {1} {2}} & 0 && ; && & ; && 1 & 0 &&& &&& ; & { frac {1 } {2}} & ddots && ; ; &&&& ; & ddots & ddots & vdots ; & ; &&& ; & ; & { frac {1} {2} } & 0 end {bmatrix}}.}$

Matritsa birliklari bilan hisoblash shuni beradi

${ displaystyle beta _ {k} (E_ {ij}) = E_ {ij} otimes I_ {2}}$

va

${ displaystyle beta _ {k} (zE_ {11}) = E_ {11} otimes mathrm {Z} _ {2},}$

qayerda

${ displaystyle mathrm {Z} _ {2} = { begin {bmatrix} 0 & z 1 & 0 end {bmatrix}} in M_ {2} (C ( mathbb {T})).}$

Shunday qilib

${ displaystyle beta _ {k} (f_ {ij} (z)) = f_ {ij} ( mathrm {Z} _ {2}). ;}$

Ushbu misolda, β_k deyiladi a ikki marta joylashish. Terminologiyaning sababi quyidagicha: kabi z doirada o'zgaradi, Z ning o'ziga xos qiymatlari₂ 1 va -1 ni bog'laydigan ikkita ajratilgan yoyni izlaydi. O'z vektorlarini aniq hisoblash shuni ko'rsatadiki, Z diagonalizatsiyasini amalga oshiruvchi birliklar doirasi₂ aslida har bir yoyning boshlanish va tugash nuqtalarini ulang. Shunday qilib, bu ma'noda aylana Z atrofida ikki marta o'raladi₂. Umuman olganda, qachon n_{k + 1} = m·n_k, biriga o'xshash narsa bor m- joylashtirish vaqtlari.

K-nazariyasi va tasnifi

Bunce-Deddens algebralari o'zlariga ko'ra tasniflanadi K₀ guruhlar. Hammasi cheklangan o'lchovli bo'lgani uchun vektorli to'plamlar doira ustida gomotopik jihatdan ahamiyatsiz, the K₀ ning M_r(C(T)), kabi abel guruhiga buyurtma berdi, butun sonlar Z kanonik buyurtma qilingan birlik bilan r. Birlashtiruvchi xaritalarning yuqoridagi hisob-kitobiga ko'ra, g'ayritabiiy son berilgan {n_k}, the K₀ tegishli Bunce-Deddens algebrasining aniq mantiqiy zich quyi guruhidir Q.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, bir xil g'ayritabiiy songa ega ikkita Bunce-Deddens algebralari, ikki g'ayritabiiy sonlar bir-birini rasmiy ravishda ajratib turadigan ma'noda, izomorf, K₀ bu algebralarning to'liq o'zgarmasidir.

Bundan tashqari, oldingi qismdan kelib chiqadigan narsa K₁ har qanday Bunce-Deddens algebra guruhi Z.

O'zaro faoliyat mahsulot sifatida

C * kesib o'tgan mahsulot

A C * - dinamika tizimi uch karra (A, G, σ), qaerda A C * algebra, G guruh va σ ning harakati G kuni A C * -avtomorfizmlari orqali. A kovariant vakili ning (A, G, σ) vakolatxonadir π ning Ava a unitar vakillik t ${ displaystyle mapsto}$ U_t ning G, xuddi shu Xilbert kosmosida

${ displaystyle U_ {t} pi (a) U_ {t} ^ {*} = pi ( sigma (t) (a)),}$

Barcha uchun a, t.

Hozir faraz qiling A unital va G diskret. (C * -)kesib o'tgan mahsulot tomonidan berilgan (A, G, σ) bilan belgilanadi

${ displaystyle A rtimes _ { sigma} G,}$

quyidagilar bilan C * algebra ekanligi aniqlanadi universal mulk: har qanday kovariant vakili uchun (π, U), uning tasviri natijasida hosil bo'lgan C * algebra - bu

${ displaystyle A rtimes _ { sigma} G.}$

Kantor to'plamidagi odometr harakati

Bunce-Deddens algebralari aslida o'zaro bog'liq mahsulotdir Kantor to'plamlari butun sonlar bilan tabiiy harakat bilan Z. Masalan, Buns-Deddens 2-turdagi algebrasini ko'rib chiqing^∞. Kantor to'plamini yozing X 0 va 1 ning ketma-ketligi sifatida,

${ displaystyle X = prod {0,1 },}$

mahsulot topologiyasi bilan. Gomeomorfizmga ta'rif bering

${ displaystyle alfa: X rightarrow X}$

tomonidan

${ displaystyle alfa (x) = x + ( cdots, 0,0,1)}$

bu erda + ko'chirish bilan qo'shimchani bildiradi. Bunga odometr harakati. Gomeomorfizm a induktsiya harakati C(X) bilan oldindan tuzish orqali a. Bunce-Deddens algebra 2 tip^∞ hosil bo'lgan o'zaro faoliyat mahsulotga izomorfdir.

Adabiyotlar

• Devidson, K.R. (1996), C * - algebralar misolida, Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0821805992