Shamoldagi bayroqning yuzasi deformatsiyalanuvchi manifoldga misoldir.
The harakatlanuvchi sirtlarning hisob-kitobi (CMS) [1] klassikaning kengaytmasi tensor hisobi deformatsiyaga manifoldlar. CMS uchun markaziy vaqt Tensorial Time lotinidir
asl ta'rifi [2] tomonidan ilgari surilgan Jak Hadamard. Bu shunga o'xshash rol o'ynaydi kovariant hosilasi
kuni differentsial manifoldlar. u ishlab chiqaradi tensor tenzorga qo'llanganda.
Jak Salomon Xadamard, frantsuz matematikasi, 1865–1963 yillar
Aytaylik
ning evolyutsiyasi sirt
vaqtga o'xshash parametr bilan indekslangan
. Sirtning ta'riflari tezlik
va operator
ular geometrik CMS asoslari. Tezlik C ga teng stavka sirt deformatsiyalari
bir zumda normal yo'nalish. Ning qiymati
bir nuqtada
deb belgilanadi chegara
![C = lim _ {h dan 0} { frac {{ text {masofa}} (P, P ^ {*})} {h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f905ed5e0f9fb4e4d5979bf6d41a4d42bdb719)
qayerda
nuqta
ga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqda yotadi
nuqtada P. Ushbu ta'rif quyidagi birinchi geometrik rasmda keltirilgan. Tezlik
imzolangan miqdor: qachon ijobiy bo'ladi
tanlangan me'yor yo'nalishi bo'yicha, aks holda salbiy. O'rtasidagi munosabatlar
va
elementar hisoblashda joylashuv va tezlik o'rtasidagi bog'liqlikka o'xshash: har ikkala miqdorni bilish ikkinchisini quyidagicha tuzishga imkon beradi farqlash yoki integratsiya.
S sirt tezligining geometrik qurilishi
Geometrik konstruktsiyasi
![delta / delta t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b574fe3b20b3430800864fa4a11cc72c229dc23a)
- o'zgarmas maydonning hosilasi F
Tensorial Time lotin
bo'yicha belgilangan F skaler maydoni uchun
bo'ladi o'zgarish darajasi yilda
bir zumda normal yo'nalishda:
![{ frac { delta F} { delta t}} = lim _ {h to 0} { frac {F (P ^ {*}) - F (P)} {h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb3b0f03c7bd664a1ee2b9ce2150bd1817021d2)
Ushbu ta'rif ikkinchi geometrik shaklda ham tasvirlangan.
Yuqoridagi ta'riflar geometrik. Analitik sharoitda ushbu ta'riflarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas. CMS beradi analitik S va ning ta'riflari
dan boshlang'ich operatsiyalar bo'yicha hisob-kitob va differentsial geometriya.
Analitik ta'riflar
Uchun analitik ning ta'riflari
va
evolyutsiyasini ko'rib chiqing
tomonidan berilgan
![{ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} chap (t, S o'ng)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946537679703d03a4dda47463d95dd435ca0c25b)
qayerda
umumiydir egri chiziqli koordinatalar va
sirt koordinatalari. An'anaga ko'ra, funktsiya argumentlarining tensor ko'rsatkichlari tushiriladi. Shunday qilib yuqoridagi tenglamalar o'z ichiga oladi
dan ko'ra
. Tezlik ob'ekti
deb belgilanadi qisman lotin
![{ displaystyle V ^ {i} = { frac { qisman Z ^ {i} chap (t, S o'ng)} { qisman t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9e267664ba7aa3e34ef4c5afcab97d7c002262)
Tezlik
to'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha hisoblash mumkin
![{ displaystyle C = V ^ {i} N_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746aa03930a808bcbdaadf4ab19f0e4c5ac845c)
qayerda
normal vektorning kovariant tarkibiy qismlari
.
Shuningdek, sirtning tanjans fazosining siljish tensorini tasvirlash
va teginish tezligi
, keyin ta'rifi
uchun hosila o'zgarmas F o'qiydi
![{ displaystyle { dot { nabla}} F = { frac { qisman F chap (t, S o'ng)} { qisman t}} - V ^ { alfa} nabla _ { alfa} F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c8b2358816b1f95707f98a7f4accfb138fc1d4)
qayerda
S ning kovariant hosilasi.
Uchun tensorlar, tegishli umumlashtirish kerak. Vakil tenzori uchun to'g'ri ta'rif
o'qiydi
![{ displaystyle { dot { nabla}} T_ {j beta} ^ {i alfa} = { frac { qismli T_ {j beta} ^ {i alfa}} { qisman t}} - V ^ { eta} nabla _ { eta} T_ {j beta} ^ {i alfa} + V ^ {m} Gamma _ {mk} ^ {i} T_ {j beta} ^ {k alfa} -V ^ {m} Gamma _ {mj} ^ {k} T_ {k beta} ^ {i alpha} + { dot { Gamma}} _ { eta} ^ { alpha} T_ {j beta} ^ {i eta} - { nuqta { Gamma}} _ { beta} ^ { eta} T_ {j eta} ^ {i alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67d51fb5f7d3f46804bed634f5ef9605e17a55d)
qayerda
bor Christoffel ramzlari va
bu sirtning vaqtinchalik belgilaridir (
bu sirtning egri shakli operatorining matritsali tasviri)
Xususiyatlari
- hosila
The
- qisqarish bilan hosilaviy qatnov, qoniqtiradi mahsulot qoidasi har qanday indekslar to'plami uchun
![{ displaystyle { dot { nabla}} (S _ { alpha} ^ {i} T_ {j} ^ { beta}) = T_ {j} ^ { beta} { dot { nabla}} S_ { alpha} ^ {i} + S _ { alpha} ^ {i} { dot { nabla}} T_ {j} ^ { beta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afe3fef9275419b63894f7dfaafa41e6780a9e4)
va itoat qiladi a zanjir qoidasi sirt uchun cheklovlar fazoviy tensorlar:
![{ displaystyle { dot { nabla}} F_ {k} ^ {j} (Z, t) = { frac { qismli F_ {k} ^ {j}} { qismli t}} + CN ^ { i} nabla _ {i} F_ {k} ^ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b193ccb6f30a91d66b8eb6169254455683d25de)
Zanjir qoidasi shuni ko'rsatadiki
- fazoviy "metrikalar" ning hosilalari yo'qoladi
![{ displaystyle { dot { nabla}} delta _ {j} ^ {i} = 0, { dot { nabla}} Z_ {ij} = 0, { dot { nabla}} Z ^ { ij} = 0, { dot { nabla}} varepsilon _ {ijk} = 0, { dot { nabla}} varepsilon ^ {ijk} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17c2b149abad0183ebb8b47b99367c1dc17029b)
qayerda
va
kovariant va qarama-qarshi metrik tensorlar,
bo'ladi Kronekker deltasi belgisi va
va
ular Levi-Civita ramzlari. The asosiy maqola Levi-Civita belgilarida ularni tasvirlaydi Dekart koordinata tizimlari. Oldingi qoida umumiy koordinatalarda amal qiladi, bu erda Levi-Civita belgilarining ta'rifi kvadrat ildizini o'z ichiga olishi kerak aniqlovchi kovariant metrik tensorining
.
Uchun farqlash jadvali
- hosila
The
asosiy sirt ob'ektlarining hosilasi juda ixcham va jozibali formulalarga olib keladi. Qo'llanilganda kovariant sirt metrik tensor
va qarama-qarshi metrik tensor
, quyidagi identifikatorlar paydo bo'ladi
![{ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} S _ { alpha beta} & = 0 [8pt] { dot { nabla}} S ^ { alpha beta} & = 0 end {hizalangan}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5f6e7f6ec7eae3edd762cb8941e78157ec50ef)
qayerda
va
ikki karra kovariant va ikki karra qarama-qarshi egrilik tenzorlari. Ushbu egrilik tenzorlari, shuningdek aralash egrilik tenzori uchun
, qondirish
![{ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} B _ { alpha beta} & = nabla _ { alpha} nabla _ { beta} C + CB _ { alpha gamma} B_ { beta} ^ { gamma} [8pt] { dot { nabla}} B _ { beta} ^ { alpha} & = nabla _ { beta} nabla ^ { alpha} C + CB _ { gamma} ^ { alpha} B _ { beta} ^ { gamma} [8pt] { dot { nabla}} B ^ { alpha beta} & = nabla ^ { alpha} nabla ^ { beta} C + CB ^ { gamma alpha} B _ { gamma} ^ { beta} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2e2b5072dab70f45f0a4d67650ce163479475c)
Shift tenzori
va normal
qondirmoq
![{ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} Z _ { alpha} ^ {i} & = N ^ {i} nabla _ { alpha} C [8pt] { dot { nabla}} N ^ {i} & = - Z _ { alfa} ^ {i} nabla ^ { alpha} C end {hizalanmış}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04583f21c0d1c60912dadb938116e2c2c65a548d)
Nihoyat, sirt Levi-Civita ramzlari
va
qondirmoq
![{ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} varepsilon _ { alpha beta} & = 0 [8pt] { dot { nabla}} varepsilon ^ { alpha beta } & = 0 end {hizalangan}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dace09f2d05c3613013ee0373e46cfbbfe808fa)
Integrallarning vaqt farqi
CMS qoidalarini taqdim etadi hajm va sirt integrallarining vaqt farqlanishi.
Adabiyotlar
- ^ Grinfeld, P. (2010). "Suyuq filmlar uchun Hamiltonian dinamik tenglamalari". Amaliy matematika bo'yicha tadqiqotlar. doi:10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN 0022-2526.
- ^ J. Hadamard, Lexons Sur La Propagation Des Ondes et Les Équations de l'Hydrodynamique. Parij: Hermann, 1903.