Harakatlanuvchi sirtlarning hisobi - Calculus of moving surfaces - Wikipedia

Shamoldagi bayroqning yuzasi deformatsiyalanuvchi manifoldga misoldir.

The harakatlanuvchi sirtlarning hisob-kitobi (CMS) [1] klassikaning kengaytmasi tensor hisobi deformatsiyaga manifoldlar. CMS uchun markaziy vaqt Tensorial Time lotinidir asl ta'rifi [2] tomonidan ilgari surilgan Jak Hadamard. Bu shunga o'xshash rol o'ynaydi kovariant hosilasi kuni differentsial manifoldlar. u ishlab chiqaradi tensor tenzorga qo'llanganda.

Jak Salomon Xadamard, frantsuz matematikasi, 1865–1963 yillar

Aytaylik ning evolyutsiyasi sirt vaqtga o'xshash parametr bilan indekslangan . Sirtning ta'riflari tezlik va operator ular geometrik CMS asoslari. Tezlik C ga teng stavka sirt deformatsiyalari bir zumda normal yo'nalish. Ning qiymati bir nuqtada deb belgilanadi chegara

qayerda nuqta ga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqda yotadi nuqtada P. Ushbu ta'rif quyidagi birinchi geometrik rasmda keltirilgan. Tezlik imzolangan miqdor: qachon ijobiy bo'ladi tanlangan me'yor yo'nalishi bo'yicha, aks holda salbiy. O'rtasidagi munosabatlar va elementar hisoblashda joylashuv va tezlik o'rtasidagi bog'liqlikka o'xshash: har ikkala miqdorni bilish ikkinchisini quyidagicha tuzishga imkon beradi farqlash yoki integratsiya.

S sirt tezligining geometrik qurilishi
Geometrik konstruktsiyasi - o'zgarmas maydonning hosilasi F

Tensorial Time lotin bo'yicha belgilangan F skaler maydoni uchun bo'ladi o'zgarish darajasi yilda bir zumda normal yo'nalishda:

Ushbu ta'rif ikkinchi geometrik shaklda ham tasvirlangan.

Yuqoridagi ta'riflar geometrik. Analitik sharoitda ushbu ta'riflarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas. CMS beradi analitik S va ning ta'riflari dan boshlang'ich operatsiyalar bo'yicha hisob-kitob va differentsial geometriya.

Analitik ta'riflar

Uchun analitik ning ta'riflari va evolyutsiyasini ko'rib chiqing tomonidan berilgan

qayerda umumiydir egri chiziqli koordinatalar va sirt koordinatalari. An'anaga ko'ra, funktsiya argumentlarining tensor ko'rsatkichlari tushiriladi. Shunday qilib yuqoridagi tenglamalar o'z ichiga oladi dan ko'ra . Tezlik ob'ekti deb belgilanadi qisman lotin

Tezlik to'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha hisoblash mumkin

qayerda normal vektorning kovariant tarkibiy qismlari .

Shuningdek, sirtning tanjans fazosining siljish tensorini tasvirlash va teginish tezligi , keyin ta'rifi uchun hosila o'zgarmas F o'qiydi

qayerda S ning kovariant hosilasi.

Uchun tensorlar, tegishli umumlashtirish kerak. Vakil tenzori uchun to'g'ri ta'rif o'qiydi

qayerda bor Christoffel ramzlari va bu sirtning vaqtinchalik belgilaridir ( bu sirtning egri shakli operatorining matritsali tasviri)

Xususiyatlari - hosila

The - qisqarish bilan hosilaviy qatnov, qoniqtiradi mahsulot qoidasi har qanday indekslar to'plami uchun

va itoat qiladi a zanjir qoidasi sirt uchun cheklovlar fazoviy tensorlar:

Zanjir qoidasi shuni ko'rsatadiki - fazoviy "metrikalar" ning hosilalari yo'qoladi

qayerda va kovariant va qarama-qarshi metrik tensorlar, bo'ladi Kronekker deltasi belgisi va va ular Levi-Civita ramzlari. The asosiy maqola Levi-Civita belgilarida ularni tasvirlaydi Dekart koordinata tizimlari. Oldingi qoida umumiy koordinatalarda amal qiladi, bu erda Levi-Civita belgilarining ta'rifi kvadrat ildizini o'z ichiga olishi kerak aniqlovchi kovariant metrik tensorining .

Uchun farqlash jadvali - hosila

The asosiy sirt ob'ektlarining hosilasi juda ixcham va jozibali formulalarga olib keladi. Qo'llanilganda kovariant sirt metrik tensor va qarama-qarshi metrik tensor , quyidagi identifikatorlar paydo bo'ladi

qayerda va ikki karra kovariant va ikki karra qarama-qarshi egrilik tenzorlari. Ushbu egrilik tenzorlari, shuningdek aralash egrilik tenzori uchun , qondirish

Shift tenzori va normal qondirmoq

Nihoyat, sirt Levi-Civita ramzlari va qondirmoq

Integrallarning vaqt farqi

CMS qoidalarini taqdim etadi hajm va sirt integrallarining vaqt farqlanishi.

Adabiyotlar

  1. ^ Grinfeld, P. (2010). "Suyuq filmlar uchun Hamiltonian dinamik tenglamalari". Amaliy matematika bo'yicha tadqiqotlar. doi:10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.
  2. ^ J. Hadamard, Lexons Sur La Propagation Des Ondes et Les Équations de l'Hydrodynamique. Parij: Hermann, 1903.