Paxta (geometriya) - Chamfer (geometry)

Chamfersiz, ozgina paxsa va paxsa qilingan kub

Tarixiy kristalografik ozgina maydalangan Platonik qattiq moddalarning modellari

Yilda geometriya, paxmoq yoki qirqish bir poliedronni boshqasiga o'zgartiradigan topologik operator. Bunga o'xshash kengayish, yuzlarni bir-biridan tashqariga va tashqariga siljitish, shuningdek asl cho'qqilarni saqlab turish. Polyhedra uchun ushbu operatsiya har bir asl qirrasi o'rniga yangi olti burchakli yuzni qo'shadi.

Yilda Konvey poliedrli yozuvlari u harf bilan ifodalanadi v. Bilan ko'pburchak e qirralar 2 dan iborat paxmoq shaklga ega bo'ladie 3. yangi tepaliklare yangi qirralar va e olti burchakli yangi yuzlar.

Chamfered Platonik qattiq moddalar

Quyidagi boblarda beshta chamfer Platonik qattiq moddalar batafsil tavsiflangan. Ularning har biri teng uzunlikdagi qirralarga ega versiyada va barcha qirralarning bir-biriga tegishi mumkin bo'lgan kanonik versiyada ko'rsatilgan o'rta sfera. (Ular faqat uchburchagi bo'lgan qattiq moddalar uchun sezilarli darajada farq qiladi.) Ko'rsatilgan duallar kanonik versiyalarga ikki tomonlama.

Urug '	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Chamfered

Chamfered tetraedr

Chamfered tetraedr
(teng qirralarning uzunligi bilan)
Conway notation	cT
Goldberg polihedrasi	GPIII(2,0) = {3+,3}2,0
Yuzlar	4 uchburchaklar 6 olti burchakli
Qirralar	24 (2 turdagi)
Vertices	16 (2 turdagi)
Vertex konfiguratsiyasi	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Simmetriya guruhi	Tetraedral (Td)
Ikki tomonlama ko'pburchak	Alternativ-triakis tetratetraedr
Xususiyatlari	qavariq, teng tomonli - yuzli
to'r

The paxmoq tetraedr (yoki muqobil qisqartirilgan kub) a qavariq ko'pburchak sifatida qurilgan navbat bilan kesilgan kub yoki tetraedrda paxta ishlashi, uning 6 qirrasini olti burchak bilan almashtirish.

Bu Goldberg polihedrasi G_III(2,0), uchburchak va olti burchakli yuzlarni o'z ichiga oladi.

The kesilgan tetraedr o'xshash ko'rinadi, ammo uning olti burchaklari 6 qirrasiga emas, balki to'rtta tetraedr vertikalariga to'g'ri keladi.

Tetraedral chamferlar va ular bilan bog'liq qattiq moddalar

paxta qilingan tetraedr (kanonik)	tetratetraedrning juftligi	tetraedr (kanonik)
alternativ-triakis tetratetraedr	tetratetraedr	alternativ-triakis tetratetraedr

Chamfered kub

Chamfered kub
(teng qirralarning uzunligi bilan)
Conway notation	cC = t4daC
Goldberg polihedrasi	GPIV(2,0) = {4+,3}2,0
Yuzlar	6 kvadratchalar 12 olti burchakli
Qirralar	48 (2 turdagi)
Vertices	32 (2 turdagi)
Vertex konfiguratsiyasi	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Simmetriya	Oh, [4,3], (*432) Th, [4,3+], (3*2)
Ikki tomonlama ko'pburchak	Tetrakis kuboktaedri
Xususiyatlari	qavariq, teng tomonli - yuzli
to'r

The paxta kubi a qavariq ko'pburchak 32 ta vertikal, 48 ta qirrali va 18 ta yuzli: 12 olti burchakli va 6 kvadrat. U a pahasi sifatida qurilgan kub. Kvadratchalar kichraytiriladi va barcha asl qirralarning o'rniga yangi olti burchakli yuzlar qo'shiladi. Uning ikkilamchi tetrakis kuboktaedri.

Shuningdek, u noto'g'ri deb nomlangan qisqartirilgan rombik dodekaedr, garchi bu nom a degan ma'noni anglatadi rombikuboktaedr. Buni aniqroq a deb atash mumkin tetratratsiyalangan rombik dodekaedr chunki faqat buyurtma-4 tepaliklari qisqartiriladi.

Olti burchakli yuzlar teng tomonli lekin emas muntazam. Ular kesilgan romb tomonidan hosil qilingan, taxminan 109,47 ° gacha bo'lgan ikkita ichki burchakka ega ${ displaystyle cos ^ {- 1} (- { frac {1} {3}})}$ va taxminan 125,26 ° gacha bo'lgan 4 ta ichki burchak, oddiy olti burchak esa barcha 120 ° burchaklarga ega bo'ladi.

Uning barcha yuzlari 180 ° burilish simmetriyasiga ega bo'lgan juft tomonlarga ega bo'lgani uchun, bu a zonoedr. Bu ham Goldberg polihedrasi GP_IV(2,0) yoki {4 +, 3}_2,0kvadrat va olti burchakli yuzlarni o'z ichiga olgan.

The paxta kubi bo'ladi Minkovskiy summasi rombik dodekaedrning va yon uzunlik kubining 1, rombik dodekaedrning sakkizta tepasi ${ displaystyle ( pm 1, pm 1, pm 1)}$ va uning oltita tepaliklari o'rin almashinishida ${ displaystyle ( pm { sqrt {3}}, 0,0)}$.

A topologik bilan teng piritoedral simmetriya va to'rtburchaklar yuzlar a ning eksa qirralarini paxlash orqali tuzilishi mumkin piritoedr. Bu sodir bo'ladi pirit kristallar.

Piritoedr va uning o'qi kesilishi

Tarixiy kristallografik modellar

The qisqartirilgan oktaedr o'xshash ko'rinadi, lekin uning olti burchaklari kubning 12 qirrasiga emas, balki 8 tepasiga to'g'ri keladi.

Oktahedral chamferlar va ular bilan bog'liq qattiq moddalar

paxta kubik (kanonik)	rombik dodekaedr	paxta qilingan oktaedr (kanonik)
tetrakis kuboktaedri	kuboktaedr	triakis kuboktaedri

Paxtadan qilingan oktaedr

Paxtadan qilingan oktaedr
(teng qirralarning uzunligi bilan)
Conway notation	cO = t3daO
Yuzlar	8 uchburchaklar 12 olti burchakli
Qirralar	48 (2 turdagi)
Vertices	30 (2 turdagi)
Vertex konfiguratsiyasi	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6
Simmetriya	Oh, [4,3], (*432)
Ikki tomonlama ko'pburchak	Triakis kuboktaedri
Xususiyatlari	qavariq

Yilda geometriya, paxta qilingan oktaedr a qavariq ko'pburchak dan qurilgan rombik dodekaedr tomonidan qisqartirish 8 (tartib 3) tepaliklar.

Buni a deb ham atash mumkin tritratsiyalangan rombik dodekaedr, 3-darajali tepaliklarning qisqartirilishi rombik dodekaedr.

8 ta tepalik shunday kesilganki, barcha qirralarning uzunligi teng bo'ladi. Asl 12 rombik yuzlar tekislangan olti burchaklarga, kesilgan uchlar uchburchakka aylanadi.

Olti burchakli yuzlar teng tomonli lekin emas muntazam.

Rombik kuboktaedr va paxli oktaedrning tarixiy rasmlari

Triakis kuboktaedrasi va paxli oktaedrning tarixiy modellari

Paxta bilan ishlangan dodekaedr

Paxta bilan ishlangan dodekaedr
(teng qirralarning uzunligi bilan)
Conway notation	cD] = t5daD = dk5aD
Goldberg polihedrasi	GV(2,0) = {5+,3}2,0
Fullerene	C80[1]
Yuzlar	12 beshburchak 30 olti burchakli
Qirralar	120 (2 turdagi)
Vertices	80 (2 turdagi)
Vertex konfiguratsiyasi	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Simmetriya guruhi	Ikosahedral (Menh)
Ikki tomonlama ko'pburchak	Pentakis ikosidodekaedr
Xususiyatlari	qavariq, teng tomonli - yuzli

The paxta qilingan dodekaedr a qavariq ko'pburchak 80 vertikal, 120 qirrali va 42 yuzli: 30 olti burchakli va 12 beshburchak. U a pahasi sifatida qurilgan oddiy dodekaedr. Beshburchaklarning o'lchamlari kichraytiriladi va barcha asl qirralarning o'rniga yangi olti burchakli yuzlar qo'shiladi. Uning ikkilamchi pentakis ikosidodekaedr.

Shuningdek, u noto'g'ri deb nomlanadi kesilgan rombik triakontaedr, garchi bu nom a degan ma'noni anglatadi rombikosidodekaedr. Buni aniqroq a deb atash mumkin beshburchakli rombik triakontaedr chunki faqat buyurtma-5 tepaliklari qisqartiriladi.

The kesilgan icosahedr o'xshash ko'rinadi, lekin uning olti burchaklari 30 qirralariga emas, balki o'n ikki burchakka to'g'ri keladi.

Icosahedral chamferlar va ular bilan bog'liq qattiq moddalar

paxta qilingan dodekaedr (kanonik)	rombik triakontaedr	paxta qilingan ikosaedr (kanonik)
pentakis ikosidodekaedr	ikosidodekaedr	triakis icosidodecahedron

Paxtadan qilingan ikosaedr

Chamfered ikosahedr
(teng qirralarning uzunligi bilan)
Conway notation	cI = t3daI
Yuzlar	20 uchburchaklar 30 olti burchakli
Qirralar	120 (2 turdagi)
Vertices	72 (2 turdagi)
Vertex konfiguratsiyasi	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6
Simmetriya	Menh, [5,3], (*532)
Ikki tomonlama ko'pburchak	triakis icosidodecahedron
Xususiyatlari	qavariq

Yilda geometriya, paxta qilingan ikosaedr a qavariq ko'pburchak dan qurilgan rombik triakontaedr tomonidan qisqartirish 20 ta tartib-3 ta tepalik. Olti burchakli yuzlarni yasash mumkin teng tomonli lekin emas muntazam.

Buni a deb ham atash mumkin tritratsiyalangan rombik triakontaedr, 3-darajali tepaliklarning qisqartirilishi rombik triakontaedr.

Chamfered muntazam plitalar

Chamfered muntazam va kvaziragulyar plitalar

Kvadrat plitka, Q {4,4}	Uchburchak plitka, Δ {3,6}	Olti burchakli plitka, H {6,3}	Rombil, daH doktor {6,3}
cQ	cΔ	cH	cdaH

Goldberg polihedrasiga munosabat

Ketma-ket qo'llaniladigan paxta operatsiyasi tobora kattaroq ko'p qirrali shakllantiradi, yangi olti burchakli yuzlar oldingisining chetlarini almashtiradi. Paxta operatori GP (m, n) ni GP (2m, 2n) ga o'zgartiradi.

Oddiy ko'pburchak, GP (1,0), a hosil qiladi Goldberg polyhedra ketma-ketligi: GP (1,0), GP (2,0), GP (4,0), GP (8,0), GP (16,0) ...

	GP (1,0)	GP (2,0)	GP (4,0)	GP (8,0)	GP (16,0) ...
GPIV {4+,3}	C	cC	ccC	cccC
GPV {5+,3}	D.	CD	ccD	cccD	ccccD
GPVI {6+,3}	H	cH	ccH	cccH	ccccH

The qisqartirilgan oktaedr yoki kesilgan icosahedr, GP (1,1) Goldberg ketma-ketligini hosil qiladi: GP (1,1), GP (2,2), GP (4,4), GP (8,8) ....

	GP (1,1)	GP (2,2)	GP (4,4) ...
GPIV {4+,3}	tO	ctO	cctO
GPV {5+,3}	tI	ctI	cctI
GPVI {6+,3}	tH	ctH	cctH

A kesilgan tetrakis olti qirrasi yoki pentakis dodekaedr, GP (3,0), Goldberg ketma-ketligini hosil qiladi: GP (3,0), GP (6,0), GP (12,0) ...

	GP (3,0)	GP (6,0)	GP (12,0) ...
GPIV {4+,3}	tkC	ctkC	cctkC
GPV {5+,3}	tkD	ctkD	cctkD
GPVI {6+,3}	tkH	ctkH	cctkH

Chamfered polytopes va chuqurchalar

Kengayish operatsiyasi singari, paxta ham har qanday o'lchovga qo'llanilishi mumkin. Ko'pburchaklar uchun u uchlar sonini uch baravar oshiradi. Polychora uchun asl qirralarning atrofida yangi hujayralar hosil bo'ladi. Hujayralar prizmalar bo'lib, ular asl yuzining ikki nusxasini o'z ichiga oladi va prizma tomonlariga piramidalar ko'paytiriladi.

Shuningdek qarang

• Konvey poliedrli yozuvlari
• Jonson qattiq sog'indim
• Kantellatsiya (geometriya)

Adabiyotlar

• Goldberg, Maykl (1937). "Ko'p nosimmetrik ko'p qirrali sinf". Tohoku matematik jurnali. 43: 104–108.
• Jozef D. Klinton, Klintonning teng markaziy gipotezasi [1]
• Xart, Jorj (2012). "Goldberg Polyhedra". Yilda Senechal, Marjori (tahrir). Joyni shakllantirish (2-nashr). Springer. pp.125 –138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN  978-0-387-92713-8.
• Xart, Jorj (2013 yil 18-iyun). "Matematik taassurotlar: Goldberg Polyhedra". Simons Science News.
• Antuan Deza, Mishel Deza, Viatcheslav Grishuxin, Fullerenlar va koordinatsion polyhedra va yarim kubikli ko'milishlarga nisbatan, 1998 PDF [2] (72-bet. 26-rasm. Chamfered tetraedr)
• Deza, A .; Deza, M.; Grishuxin, V. (1998), "Fullerenlar va yarim kubli ko'milganlarga nisbatan koordinatsion polyhedra", Diskret matematika, 192 (1): 41–80, doi:10.1016 / S0012-365X (98) 00065-X, dan arxivlangan asl nusxasi 2007-02-06 da.

Tashqi havolalar

• Chamfered Tetraedr
• Chamfered qattiq moddalar
• Platonik va arximediyali qattiq jismlarning vertex va qirralarning kesilishi vertex-transitiv polyhedraga olib keladi. Livio Zefiro
• VRML ko'p qirrali generator (Konvey poliedrli yozuvlari )
  • VRML model Chamfered kub
• 3.2.7. (C80-Ih) uchun sistematik raqamlash [5,6] fulleren
• Fullerene C80
  1. [3] (7 raqami-Ih)
  2. [4]
• Yumshoq kubni qanday qilish kerak