Shar doirasi - Circle of a sphere

Sharning kichik doirasi.

{ displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}

, qayerda C - bu sohaning markazi, A kichik doiraning markazi va B kichik doira chegarasidagi nuqta. Shuning uchun sharning radiusini va kichik doira tekisligidan C gacha bo'lgan masofani bilib, kichik doiraning radiusini Pifagor teoremasi yordamida aniqlash mumkin.

A shar doirasi a atrofida joylashgan aylana soha. Bunday aylana a kesmasi sifatida shakllanishi mumkin soha va a samolyot yoki ikkita shardan. Yassi sharning markazidan o'tgan shardagi aylana a deb ataladi katta doira; aks holda bu a kichik doira. Sfera doiralari radiusi shar radiusidan kam yoki unga teng, aylana katta aylana bo'lganda tenglik.

Erda

In geografik koordinatalar tizimi globusda, ning parallellari kenglik bilan kichik doiralar Ekvator yagona katta doira. Aksincha, barcha meridianlar uzunlik, ikkinchisida qarama-qarshi meridian bilan bog'langan yarim shar, ajoyib doiralarni tashkil eting.

Tegishli terminologiya

Aylana markazidan o'tgan sharning diametri uning deyiladi o'qi va bu diametrning so'nggi nuqtalari uning deyiladi qutblar. A shar doirasi berilgan nuqtalar to'plami sifatida ham belgilanishi mumkin burchak masofasi berilgan qutbdan.

Sfera-tekislikning kesishishi

Sfera va tekislikning kesishishi bo'sh yoki bitta nuqta bo'lmasa, u aylana bo'ladi. Buni quyidagicha ko'rish mumkin:

Ruxsat bering S markazi bo'lgan shar bo'ling O, P kesishgan tekislik S. Chizish OE ga perpendikulyar P va uchrashuv P da E. Ruxsat bering A va B chorrahada har qanday ikki xil nuqta bo'ling. Keyin AOE va BOE umumiy tomoni bo'lgan to'rtburchaklar, OEva gipotenuslar AO va BO teng. Shuning uchun, qolgan tomonlar AE va BO'LING tengdir. Bu chorrahadagi barcha nuqtalar nuqtadan bir xil masofada ekanligini isbotlaydi E samolyotda P, boshqacha qilib aytganda, kesishishdagi barcha nuqtalar aylanada yotadi C markaz bilan E.^[1] Bu ning kesishganligi isbotlanadi P va S tarkibida mavjud C. Yozib oling OE aylananing o'qi.

Endi bir fikrni ko'rib chiqing D. doira C. Beri C yotadi P, shunday qiladi D.. Boshqa tomondan, uchburchaklar AOE va QILING umumiy tomoni bo'lgan to'rtburchaklar, OEva oyoqlari EA va ED teng. Shuning uchun gipotenuslar AO va QILING teng va ning radiusiga teng S, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida D. yotadi S. Bu buni tasdiqlaydi C ning kesishmasida joylashgan P va S.

Xulosa sifatida sharda berilgan uchta nuqta orqali aynan bitta aylana bor.^[2]

Dalilning barcha nuqtalari uning qutblaridan umumiy burchak masofasi ekanligini isbotlash uchun kengaytirilishi mumkin.^[3]

Sfera-sferaning kesishishi

Ikkala sharning ahamiyatsiz bo'lmagan kesishishi aylana ekanligini ko'rsatish uchun (umumiylikni yo'qotmasdan) bitta sharni (radius bilan) qabul qiling ${ displaystyle R}$ ) kelib chiqishi markazida joylashgan. Ushbu sohadagi fikrlar qoniqtiradi

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}.}

Shuningdek, umumiylikni yo'qotmasdan, radiusli ikkinchi sharni nazarda tuting ${ displaystyle r}$ , musbat x o'qining bir nuqtasida, masofada joylashgan ${ displaystyle a}$ kelib chiqishidan. Uning fikrlari qondiradi

{ displaystyle (x-a) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}

Sferalarning kesishishi bu ikkala tenglamani qondiradigan nuqtalar to'plamidir. Tenglamalarni ayirsak beradi

{ displaystyle { begin {aligned} (xa) ^ {2} -x ^ {2} & = r ^ {2} -R ^ {2} a ^ {2} -2ax & = r ^ {2} -R ^ {2} x & = { frac {a ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2a}}. End {aligned}}}

Yagona holatda ${ displaystyle a = 0}$ , sharlar konsentrikdir. Ikkita imkoniyat bor: agar ${ displaystyle R = r}$ , sharlar bir-biriga to'g'ri keladi va kesishish butun shar; agar ${ displaystyle R not = r}$ , sharlar ajratilgan va kesishish bo'sh bo'lgan paytda a nolga teng, kesishma bu x koordinatali vertikal tekislikda joylashgan bo'lib, u har ikkala sharni kesib o'tishi, ikkala sharga ham teginishli yoki har ikkala sharga ham tashqi bo'lishi mumkin.Natija shar tekislik kesishmalarining oldingi isbotidan kelib chiqadi.