Klasper (matematika) - Clasper (mathematics)

Ning matematik sohasida past o'lchovli topologiya, a qisqich a sirt (qo'shimcha tuzilishga ega) a 3-manifold qaysi ustida jarrohlik bajarilishi mumkin.

Motivatsiya

Bilan boshlanadi Jons polinomi, cheksiz ko'p yangi tugunlarning invariantlari, havolalar va 3-manifoldlar 1980 yillar davomida topilgan. Ushbu yangi "kvant" invariantlarni o'rganish tezda kvant topologiyasi deb nomlangan past o'lchovli topologiyaning sub-intizomiga aylandi. Kvant o'zgarmasligi odatda ikkita ingredientdan tuziladi: a rasmiy sum ning Jakobi diagrammalari (Lie algebra tuzilishini o'z ichiga olgan) va a ning tasviri tasma Hopf algebra kabi a kvant guruhi. Apriori nima uchun bu tarkibiy qismlarning ikkalasi ham past o'lchovli topologiyaga bog'liq bo'lishi kerakligi aniq emas. Shunday qilib, kvant topologiyasining asosiy muammolaridan biri kvant invariantlarini topologik talqin qilish edi.

Klasperlar nazariyasi bunday talqinni ta'minlash uchun keladi. A kabi qisqich ramkali havola, bu ko'milgan bajarilishi mumkin bo'lgan 3-manifolddagi topologik ob'ekt jarrohlik. Darhaqiqat, klaster hisobini varianti deb hisoblash mumkin Kirbi hisobi faqat ma'lum bir aniq ramkali bog'lanish turlariga ruxsat beriladi. Claspers algebraik tarzda talqin qilinishi mumkin, a diagramma hisoblash naqshli uchun qat'iy monoidal kategoriya Cob ning yo'naltirilgan bog'langan chegara bilan bog'langan yuzalar. Bundan tashqari, eng muhimi, klyaserlar taxminan Yakobi diagrammalarining topologik realizatsiyasi sifatida qaralishi mumkin. kombinatorial ob'ektlar. Bu tushuntiradi Yolg'on algebra tuzilishi gradusli vektor maydoni ning Xopf algebra tuzilishi bo'yicha Jakobi diagrammalarining Cob.

Ta'rif

Qisqichbaqa ${displaystyle G = mathbf {A} kubok mathbf {B}}$ 3-manifoldning ichki qismiga o'rnatilgan ixcham sirt ${displaystyle M}$ parchalanish bilan ikkita pastki yuzaga jihozlangan ${displaystyle mathbf {A}}$ va ${displaystyle mathbf {B}}$ , ularning bog'langan komponentlari tarkibiy qismlar va qirralar deb nomlanadi ${displaystyle G}$ mos ravishda. Har bir chekkasi ${displaystyle G}$ ikki tarkibiy qismni bir-biriga qo'shadigan yoki bitta tarkibiy qismni o'ziga qo'shadigan guruhdir. Tuzuvchilarning to'rt turi mavjud: barglar, disk barglari, tugunlar va qutilar.

Klasper bilan operatsiya qilish osonlikcha aniqlanadi (tugunlar, qutilar va disk barglari yo'q qilingandan so'ng, quyida tavsiflanganidek) har bir bargni yadrosi bilan almashtirish va har bir chetini o'ng Hopf havolasi bilan almashtirish orqali qisqich bilan bog'langan bog'lanish bo'ylab operatsiya.

Klasterni hisoblash

Quyida qistirmalarni chizishda ishlatiladigan grafik konventsiyalar mavjud (va ularni qutilar, tugunlar va disk barglari uchun ta'rif sifatida ko'rish mumkin):

Tugunlarni, disk barglarini va qutilarini barglar bilan almashtirish

Klasterlar chizilgan konventsiyalar

Xabiro 12 ta harakatni topdi, ular bir-biriga bog'langan, shu bilan birga operatsiya bir xil natijani beradi. Ushbu harakatlar klaster hisobining yadrosini tashkil qiladi va teoremani isbotlovchi vosita sifatida nazariyaga katta kuch beradi.

Xabironing o'n ikki harakati.

C_n-ekvivalentlik

Ikkita tugun, bog'lanish yoki 3-manifold deyiladi ${displaystyle C_ {n}}$ Agar ular bilan bog'liq bo'lsa, teng ${displaystyle C_ {n}}$ -harakatlar, bu oddiy daraxt qisqichlarida operatsiyalar natijasida kelib chiqadigan mahalliy harakatlar, qutilarisiz yoki disk barglari bo'lmagan va ${displaystyle n}$ barglar.

A

{displaystyle C_ {n}}

- harakatlantiring.

Havola uchun ${displaystyle Lsubset M}$ , a ${displaystyle C_ {1}}$ - harakatlanish - bu o'tish joyining o'zgarishi. A ${displaystyle C_ {2}}$ - harakatlanish a Delta harakati. Klasperlarning aksariyat dasturlari faqat foydalanadi ${displaystyle C_ {n}}$ - harakat qiladi.

Asosiy natijalar

Ikkita tugun uchun K va K ${displaystyle ^ {prime}}$ va manfiy bo'lmagan butun son ${displaystyle k}$ , quyidagi shartlar teng:

${displaystyle K}$ va K ${displaystyle ^ {prime}}$ har qanday turdagi invariant bilan ajralib turmaydi ${displaystyle k}$ .
${displaystyle K}$ va K ${displaystyle ^ {prime}}$ bor ${displaystyle C_ {k}}$ - teng.

Tegishli bayonot havolalar uchun noto'g'ri.

Qo'shimcha o'qish

S. Garoufalidis, M. Gussarov va M. Polyak, Clover va 3-manifoldlarning cheklangan tipdagi invariantlari hisobi, Geom. va Topol., vol. 5 (2001), 75-108.
M.N. Gussarov, Tugunli grafikalarning xilma-xilligi. Ning geometrik texnikasi n-ekvivalentlik (Ruscha) Algebra i Analiz 12(4) (2000), 79-125; Sankt-Peterburg matematikasida tarjima. J. 12(4) (2001) 569–604.
M.N. Gussarov, Sonli turdagi invariantlar va n-3-manifoldlarning tengligi C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij ser. Men matematik. 329(6) (1999), 517–522.
K. Habiro, Claspers va Vassiliav skein moduli, Doktorlik dissertatsiyasi, Tokio universiteti (1997).
K. Habiro, Klasterlar va havolalarning cheklangan turdagi invariantlari, Geom. va Topol., vol. 4 (2000), 1-83.
S. Matveev, Uch o'lchovli manifoldlarning umumiy operatsiyalari va gomologiya sohalarini aks ettirish, Mat. Zametki, 42 (1987) yo'q. 2, 268-278.