Soat (kriptografiya) - Clock (cryptography)

Polsha shifrlash byurosi
Byuro Szyfrow
Usullari va texnologiyasi
Joylar
Xodimlar
Boshliq o'rinbosari
Radio razvedka boshlig'i
Nemis bo'limi boshlig'i
Maksimilian Tsikki
Rus bo'limi boshlig'i
Yan Graliski
Ruscha bo'lim kriptologi
Pyotr Smoleski
Enigma
shifrlash mashinasi
Enigma-logo.svg

Yilda kriptografiya, soat tomonidan ishlab chiqilgan usul edi Polsha matematik-kriptolog Jerzy Rżycki, da Polsha Bosh shtabi "s Shifrlash byurosi, engillashtirish uchun parolni ochish Nemis Jumboq shifrlar. Usul turli xil oborot pozitsiyalaridan foydalangan holda Germaniya Enigmasidagi eng to'g'ri rotorni aniqladi. Polyaklar uchun eng to'g'ri rotorni o'rganish rotor tartibidagi qidiruv maydonini 3 baravar kamaytirdi (rotorlar soni). Inglizlar bu usulni takomillashtirdilar va bu ularga cheklangan miqdordagi bombalardan yanada samarali foydalanishga imkon berdi (inglizlar 5 dan 8 gacha rotorga duch kelishdi).

Usul

Ushbu usul ba'zida qaysi birini aniqlashga imkon berdi Enigma mashinasining rotorlari o'ng tomonda, ya'ni rotor har doim kalitning har bir tushkunligida aylanadigan holatda edi.[1] Soat uslubi 1933–1935 yillarda Jerzy Rżycki tomonidan ishlab chiqilgan.[2]

Marian Rejewski "s panjara usuli o'ng rotorni aniqlashi mumkin edi, ammo buning uchun har bir mumkin bo'lgan rotor permutatsiyasini (o'sha paytda uchta rotor bo'lgan) har 26 boshlang'ich aylanishini sinab ko'rish kerak edi. Panjara usulidagi testlar plakka sozlamalari bilan ham murakkablashdi. Aksincha, soat usuli oddiy testlarni o'z ichiga olgan bo'lib, ular plakka ta'sir qilmagan.[3]

1930-yillarning boshlarida rotor tartibini aniqlash unchalik katta yuk emas edi, chunki nemislar bir xil rotor tartibini uch oy davomida bir vaqtning o'zida ishlatishgan. Rotor buyurtmasi bir marta aniqlanishi mumkin, so'ngra ushbu buyurtma keyingi uch oy davomida ishlatilishi mumkin. 1936 yil 1-fevralda nemislar rotor tartibini har oy o'zgartiradilar. 1936 yil 1-noyabrda nemislar har kuni rotor tartibini o'zgartirdilar.[4]

Rojitskining "soat" uslubi keyinchalik ingliz kriptologi tomonidan ishlab chiqilgan Alan Turing da Bletchli bog'i "deb nomlangan kriptologik texnikani ishlab chiqishdaBanburismus."[5]

Fon

Shifrlash byurosi Enigma mashinasi tomonidan shifrlangan nemis radioeshittirishlarini oldi. Taxminan 60 ta xabar bilan Byuro aniqlay oladi Marian Rejewski "s xarakterli tuzilish xabar tugmachasini kodlash uchun.[6] Yomon xabarlar tugmachalarini ishlatib, Byuro xabarlar kalitlarini kodlashni aniqlay oladi. O'sha paytda kriptanalizatorlar faqat xabar klavishlari va ularning shifrlangan matnlarini bilishlari mumkin. Ular plata sozlamalari, qo'ng'iroq sozlamalari, rotor tartibi yoki dastlabki sozlamalar kabi kunlik kalitning boshqa sirlarini bilmasligi mumkin. Bunday ozgina ma'lumot va omad bilan qutblar hali ham qaysi rotor eng to'g'ri ekanligini aniqlay olishdi.

Kundalik trafikda xabar kaliti bir xil ikki harfdan boshlanadigan o'nga yaqin xabar juftligi bo'lishi mumkin.[7] Bu degani, chap va o'rta rotorlar bir xil holatda.

Xabar juftligini shifrlashning ikkita usuli mavjud.[8] Ikkala hizalama sinovdan o'tkazildi; hizalamalardan biri bir xil polifalitik almashtirishdan foydalanadi. Shundan kelib chiqib, kriptanalizator rotor aylanishini ma'lum bir harflar oralig'ida sodir bo'lganligini aniqlay oladi.

Rotorlarning turli xil aylanish holatlari mavjud edi. Inglizlar mnemonik "Qirollik bayroqlari yuqoridagi to'lqinli shohlar" dan foydalanganlar, bu degani Rotor I Rda, Rotor II F da, Rotor III Vtda, Rotor IV K da burilgan va boshqa barcha rotorlar A.

Agar xabar juftlari hamkorlik qilsalar, qutblar aylanmaning faqat bitta rotorini o'z ichiga olgan oynani toraytirishi mumkin. Bitta xabar juftligi ayirboshlash oynasi B dan U gacha bo'lganligini aytishi mumkin; bu I (R), II (F) va IV (K) rotorlarning hayotiyligini anglatardi. Ikkinchi xabar juftligi M dan C gacha oynani hosil qilishi mumkin; I (R), III (W), V + (A) rotorlari hayotiyligini anglatardi. Faqat Rotor I ikkala xabar juftligini qondiradi, shuning uchun Rotor I o'ng rotordir.

Mashina sozlamalari

Enigma shifrlash mashinasi foydalanuvchilarning umumiy sirlariga ega bo'lishiga ishongan. 1930 yilgi Enigma qo'llanmasidagi maxfiy kundalik sozlamalar:[9][10]

Kundalik sozlamalar (umumiy sir): Rotor tartibi: II I III Ringstellung: 24 13 22 (XMV) Reflektor: Plugboard: A-M, F-I, N-V, P-S, T-U, W-Z Grundstellung: 06 15 12 (FOL)

Kundalik sozlamalar kod xizmatchilariga mashinani qanday qilib sozlashni va xabar almashinishini aytib berdi. Dastlab, mashinada har qanday tartibda (g'ildirak tartibida yoki rotor tartibida) joylashtiriladigan uchta rotor bor edi.[11] Har bir rotorda raqamlar yoki harflar bilan uzuk bor edi va bu halqa 26 pozitsiyaning istalgan qismida bo'lishi mumkin edi. Plitka qo'shimcha belgilarni almashtirdi.

Har bir xabar uchun operator xabarning asosiy qismini shifrlash uchun uch harfli xabar tugmachasini tanlaydi. Ushbu kalit tasodifiy bo'lishi kerak edi va har bir xabar uchun tasodifiy kalitni ishlatish xavfsizlikning yaxshi amaliyoti edi. Xabar kaliti qabul qiluvchiga etkazilishi kerak, shunda qabul qiluvchi xabarni parolini hal qilishi mumkin.

Xabar tugmachalarini aniq holda yuborish o'rniga, xabar tugmachalari bilan shifrlangan bo'ladi Grundstellung (erni sozlash). Jiddiy protsedura xatosida nemislar xabar kalitini ikki marta shifrlashdi. Agar xabar kaliti "ABL" bo'lsa, unda nemislar ikki baravar ko'paytirilgan "ABLABL" tugmachasini shifrlashi va natijani ("PKPJXI") yuborishlari kerak edi. Xabar tugmachasini ikki marta yuborish uzatishda buzilgan tugmachalarni tiklashga imkon berdi, ammo kriptografik xato ikki marta (masalan, "PKPPKP") yuborishdan ko'ra, ikki baravar oshirilgan kalitni shifrlash edi. Ikki marta oshirilgan kalit polyaklarga hujum uyushtirdi. Agar bir xil kunlik kalit yordamida (taxminan 70 ta xabar) xabarlar trafigi etarli bo'lsa va kod xizmatchilari zaif tugmachalardan foydalangan bo'lsa (masalan, "CCC" yoki "WER"), unda qutblar Rejevskiyning xarakteristikalari usulidan foydalanib kunning barcha xabarlarini aniqlashlari mumkin edi. kalitlar. Ajablanarlisi shundaki, qutblar kunlik mashina sozlamalarining muhim sirlarini o'rganmasdan xabar tugmachalarini buzib tashladilar: plita sozlamalari, rotor tartibi, rotor holati yoki qo'ng'iroq sozlamalari.

Qolgan sirlarni olish uchun polyaklar boshqa usullardan foydalanishlari kerak edi; soat usuli rotor tartibini aniqlashga yordam berdi.

Enigma rotorlari. Aylanish chizig'ini 13-chi chap rotorda ko'rish mumkin, markazga yaqin o'ng rotor belgisi uning II rotor ekanligini ko'rsatadi.

Turli xil rotorlar turli xil aylanish holatiga ega

Asosiy maqola: Enigma rotorining tafsilotlari

Soat usuli uchta rotorni (I, II, III) boshqacha ishlatgan aylanma pozitsiyalar. Har bir belgi shifrlanganda eng o'ng rotor harakatlandi. Ringning ma'lum bir pozitsiyasida belgini shifrlash ham chapdagi navbatdagi rotorni bitta pozitsiyani (aylanma) harakatlanishiga olib keladi. Keyingi rotorning harakatlanishiga sabab bo'lgan halqa holati har bir rotor uchun har xil edi: rotor men Q-R o'tishida oldinga siljigan edim ("qirollik"); rotor II E-F darajasida rivojlangan ("bayroqlar"); rotor III V-W ("to'lqin") da rivojlangan.[12] Agar aylanmani aniqlash mumkin bo'lsa, unda eng o'ng rotor aniqlanishi mumkin.

Polshaliklar, chunki ular xabar tugmachasini sindirishgan, har bir xabar uchun qo'ng'iroq pozitsiyalarini bilishgan, chunki qo'ng'iroq pozitsiyalari xabar kaliti bo'lgan.[13]

Trafik etarli bo'lsa, qutblar xuddi shu ikkita belgidan boshlangan xabar tugmachalarini topadilar. Polshaliklar "AAA" va "AAT" tugmachalari bilan xabar olganligini ayting.

Xabar kaliti AAA: BQWBOCKUQFPQDJTMFTYSRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGMessage Key AAT: SRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGFHWQJTVQROVULGDMNMX

Tasodifiylik ko'rsatkichi

Dan foydalanish tasodif ko'rsatkichi etarlicha uzoq xabarda polyaklar rotor sozlamalari qaerga to'g'ri kelishini aniqlay olishdi. Ushbu qat'iyat statistik, ammo u ham nozikdir. Bu ekspluatatsiya qiladi bir xil bo'lmagan harf chastotasi bir tilda. Ikkita jumlani harflari hizalanmış holda ko'rib chiqing. Agar harflar bir xil chastotaga ega bo'lsa, unda birinchi jumldagi harf ikkinchi jumlaning xuddi shu pozitsiyasidagi harfga 1/26 (0,038) ehtimollik bilan mos keladi. Tabiiy tillar uchun "e" kabi belgilar ehtimoli ko'proq, shuning uchun tasodif ehtimoli ancha yuqori. Dastlabki 28 ta belgida oltita tasodif mavjud bo'lgan holat (26 ta belgiga kutilgan 1,73 ta matchdan ancha ko'p):

WEHOLDTHESETRUTHSTOBESHFHUMANEVENTS INRECHTHOURESHEFFIDENT * *** * *

Agar taqqoslanadigan ikkita satr bir xil polifalitik kalit ostida shifrlangan bo'lsa, tasodif ko'rsatkichi ham to'g'ri keladi; agar belgilar teng bo'lsa, unda ularning shifrlashlari ham tengdir. Aksincha, agar satrlar boshqa polifalitik kalit ostida shifrlangan bo'lsa, satrlar tasodifiy bo'ladi va tasodif indeksida faqat tasodifiy o'yinlar ko'rsatiladi (26 ta belgidan 1 tasi mos keladi).

Agar ikkita satr etarlicha uzun bo'lsa (masalan, 260 ta belgi), unda tasodifiy indeks satrlarning bir xil polifalitik kalit ostida shifrlanganligini (ya'ni bir xil rotor konfiguratsiyasi) ko'rsatib beradi.

Rotor holati va tasodif

Tasodifiylik indeksini absurd darajaga etkazish uchun yuqoridagi ikkita misol xabarlar to'liq "A" harfidan iborat, shuning uchun tasodiflar bir xil rotor pozitsiyalariga ega bo'lgan har bir pozitsiyada (oddiy xabarlar uchun sodir bo'lmaydigan narsa) sodir bo'ladi. Bu tasodifni hatto qisqa xabarda ham aniq ko'rsatishga imkon beradi. Amalda, yaxshi statistik ko'rsatkichni olish uchun uzoq xabarlar kerak.

Polyaklar kundalik trafikni qidirib topdilar, ularning kalitlari bir xil ikki harfdan boshlangan bir juft xabarni topishdi. Kalit juftlarining namunasi ("UIB", "UIW") yoki ("GCE", "GCX") bo'lishi mumkin. Xabar tugmachasining dastlabki ikkita harfi boshqa xabarning kalitiga mos kelish ehtimoli kichik (1/(26×26)=1/576), ammo xabarlar to'plamida bunday juftlikni topish ehtimoldan yiroq emas; bunday uyg'unlikni topish tug'ilgan kun bilan bog'liq muammo.

Polshaliklar dastlabki ikkita harf bir-biriga mos kelishini xohlashdi, chunki bu chap va o'rta rotorlar bir xil aylanada bo'lishini va bir xil almashinuvni hosil qilishini anglatadi. Shuningdek, qutblar ikkita xabarni kalitning har xil uchinchi harfini hisobga olish uchun moslashtirishi mumkin. Yuqoridan keltirilgan ("AAA", "AAT") misol juftligini hisobga olgan holda, qutblar xabarlarni umumiy kaliti (umumiy rotorli aylanish) bilan bo'lishishi uchun xabarlarni moslashtirishning ikkita imkoni borligini bilar edilar. Ikkala holat aylanmaning (o'rta rotorning harakati) "A" va "T" o'rtasida yoki "T" va "A" o'rtasida bo'lishini aks ettiradi.

                 A Tright rotor qalin: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZMessage Key AAA: BQWBOCKUQFPQDJTMFTYSRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGMessage Key AAT: SRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGFHWQJTVQROVULGDMNMXCoincidence: =============================== Xulosa: bir xil kalit , shuning uchun ATda tovar aylanmasi yo'q.
                 T to'g'ri rotor qalin: TUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSMessage Key AAT: SRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGFHWQJTVQROVULGDMNMXMessage Key AAA: BQWBOCKUQFPQDJTMFTYSRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGCoincidence: Xulosa: turli asosiy, T-A tovar ayirboshlash, shuning uchun

O'rta rotor qaysi rotor eng o'ng (tez) holatida bo'lishiga qarab har xil holatda aylanadi. I, II va III rotorlarning o'zgarishi nuqtalari 1, 2 va 3 bilan ko'rsatilgan. O'rta rotorning holati o'ng rotor I, II yoki III bo'lsa, berilgan.

Xabar Key AAA: BQWBOCKUQFPQDJTMFTYSRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGturnover 2 1 3 2 1 3Right ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYMiddle (I) AAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCMiddle (II) AAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCMiddle (III) AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCMessage Key AAT: SRDDQEQJWLPTNMHJENUTPYULNPRTCKGFHWQJTVQROVULGDMNMXturnover 3 2 1 3Right TUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYMiddle (I) AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBMiddle (II) AAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMiddle (III) AAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCC

Tilga asoslangan tasodiflarning paydo bo'lishi uchun uchta rotor ham sinxron bo'lishi kerak. Agar ular yo'q bo'lsa, unda oddiy matn tasodifiy ravishda aralashtiriladi va til xususiyatlari ko'rinmaydi. Tasodif sodir bo'lgan mintaqaga qarab, ba'zi kuzatishlar qilish mumkin. Agar rotor men o'ng tomonda bo'lganimda, o'rta rotor hech qachon mos kelmaydi va tasodif ko'rsatkichi tasodifni bildirmaydi. Agar rotor II o'ng tomonda bo'lsa, unda o'rta rotor ham hech qachon mos kelmaydi. Rotor III to'liq kelishuvni namoyish etadi. Binobarin, eng o'ng rotor III rotor bo'ladi.

Ushbu nuqtada qutblar o'ng rotorni III ekanligini va rotor tartibini (I, II, III) yoki (II, I, III) ekanligini bilishadi. Ular xabar tugmachasini bilsalar ham, qo'ng'iroq sozlamalarini bilishmagan, shuning uchun rotorlarning mutlaq holatini bilishmagan. Shuningdek, ular plata sozlamalarini bilishmagan. Ushbu ma'lumotlarni o'rganish uchun qutblar boshqa usullardan foydalanishlari mumkin edi, ammo to'g'ri rotorni bilish orqali ushbu usullar soddalashtirilishi mumkin edi.

Qulaylik

Dastlab soat usuli juda muhim emas edi. 1932 yilda nemislar bir xil rotor tartibini uch oy davomida birma-bir ushlab turishgan. 1936 yil 1-fevralda nemislar rotor tartibini har oy o'zgartiradilar. Kundalik g'ildirak buyurtmalarini o'zgartirish 1936 yil 1-noyabrdan boshlandi.[14]

1936 yil oktyabr oyida nemislar vilkalar sonini oltitadan sakkiztaga etkazdilar va bu panjara usulini murakkablashtirdi. Polyaklar tsiklometr va kartalar katalogini ishlab chiqdilar. Garchi yangi usul bir yilga tayyor bo'lmasa-da, u juda kam ish bilan butun rotor tartibini (nafaqat to'g'ri rotorni) aniqladi.[15] Afsuski, katalog 1937 yil 2-noyabrda nemislar reflektorni o'zgartirganda foydasiz bo'lib qoldi; yangi katalog tuzish kerak edi.

1938 yil 15-sentyabrda nemislar protseduralarini o'zgartirdilar, shunda tarmoqdagi xabarlar bir xil ishlatilmadi Grundstellung.[16] O'zgarish soat usulini murakkablashtirishi mumkin edi, chunki xabar tugmachasi endi osonlikcha ma'lum emas edi.

Britaniyalik kod buzuvchilar soat usulini kengaytirdilar; qarang Banburismus. Nemis dengiz Enigma xabarlari xuddi shunday ishlatilgan Grundstellungva ingliz kod buzuvchilar shifrlangan xabar kalitlarini aniqlashlari mumkin edi. Agar shifrlangan tugmachalarning oxirgi harfidan tashqari barchasi mos keladigan bo'lsa, unda ular o'ng rotordan tashqari bir xil rotor holatiga ega bo'lar edi. Muammo shundaki, inglizlar oddiy matnli xabar tugmachalariga (qutblar kabi) mos kelmay, aksincha shifrlangan xabar tugmachalarida edilar, shuning uchun shifrlangan xabar tugmachasining oxirgi harfi tabiiy "ABCDE ... WXYZ" buyurtmasiga ega emas, aksincha o'zboshimchalik bilan buyurtma bergan. Faqat ikkita ofsetni ko'rib chiqish o'rniga, inglizlar to'g'ri rotorni aniqlashdan oldin barcha mumkin bo'lgan ofsetlarni ko'rib chiqishlari va uchinchi g'ildirak tartibini etarlicha xulosa qilishlari kerak edi. Oxirgi rotorni to'g'ri taxmin qilish britaniyaliklarga Bombe uchun juda qimmatli vaqtni tejashga yordam beradi.

Izohlar

  1. ^ Rejewski 1984 yil, p. 290
  2. ^ Rejewski 1981 yil, p. 223, "Bu davrda Romitski o'zi chaqirgan protsedurani ishlab chiqdi soat usuli. Ko'pgina hollarda, I, II yoki III uchta barabandan qaysi biri baraban ekanligini aniqlashga imkon berdi N ma'lum bir kun; ya'ni qaysi baraban mashinaning o'ng tomonida bo'lgan. "
  3. ^ Rejewski 1981 yil, p. 227 "Biz ba'zida qaysi baraban o'rnida ekanligini bilardik N * soat usuli natijasida, lekin grid usuli, biz hozirda SD tarmog'ida qo'llashimiz mumkin bo'lgan yagona narsa, ba'zida muvaffaqiyatsiz tugadi. Bu muvaffaqiyatsizlikka uchradi, chunki 1939 yil 1-yanvarda nemislar o'rnini bosish orqali o'zgartirilgan juft harflar sonini yana ko'paytirdilar S yettidan o‘ngacha. "
  4. ^ Rejewski 1981 yil, p. 223
  5. ^ Yaxshi 1993 yil, p. 155
  6. ^ Rejewski 1981 yil, p. 218, "AD, BE, CF xarakterli tuzilishini yaratish uchun o'sha kundan etarlicha 60 ta nusxa kerak bo'lgan sonli xabar kerak edi".
  7. ^ Rejewski 1981 yil, p. 223 "Bizda etarli miqdordagi shifrlangan materiallar mavjud bo'lib, odatda o'nlab juft xabarlarni topamiz, shunda har bir juftlikda ularning kalitlarining dastlabki ikkita harfi bir xil, uchinchi harflari esa har xil bo'ladi."
  8. ^ Rejewski 1981 yil, p. 223
  9. ^ "Arxivlangan nusxa". Arxivlandi asl nusxasi 2014-10-30 kunlari. Olingan 2014-10-07.CS1 maint: nom sifatida arxivlangan nusxa (havola)1930 yilgi "Schlüsselanleitung zur Chiffriermachine Enigma I" ["Enigma I" siper mashinasidagi kalitlardan foydalanish ko'rsatmalari "] ga asoslanib
  10. ^ Simulyator yordamida tekshirilishi mumkin. Masalan, http://people.physik.hu-berlin.de/~palloks/js/enigma/enigma-u_v20_en.html Enigma I-ni tanlang, A reflektorini tanlang (o'sha paytda nemislarda faqat bitta reflektor bor edi), g'ildirak tartibini o'rnating (II, I, III), halqalarni o'rnating (24, 13, 22), vilkalarni o'rnating (AM, FI , NV, PS, TU, WZ), plakkani faollashtiring va g'ildiraklarni erga sozlang ("FOL"). Kirish maydoniga ABLABL yozilsa, chiqish sifatida PKPJXI bo'lishi kerak.
  11. ^ Keyinchalik uchdan ortiq rotor bo'lishi mumkin edi.
  12. ^ Inglizlar muomaladagi pozitsiyalarni eslab qolish uchun mnemonikadan foydalanganlar: "Qirollik bayroqlari yuqorida shohlarni silkitadi".
  13. ^ Qo'ng'iroq pozitsiyalari - bu derazalarda ko'rsatilgan narsa; ular emas Ringstellung (qo'ng'iroq sozlamalari).
  14. ^ Rejewski 1981 yil, p. 223
  15. ^ Rejewski 1981 yil, 224–225-betlar
  16. ^ Rejewski 1981 yil, p. 225

Adabiyotlar

  • Kozachuk, Vladislav (1984), Kasparek, Kristofer (tahr.), Enigma: Germaniya mashina shifrini qanday buzishgan va uni Ikkinchi Jahon Urushida ittifoqchilar qanday o'qishgan, Frederik, Merilend: Amerika universiteti nashrlari, ISBN  978-0-89093-547-7 Ning qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan tarjimasi V kręgu jumboq, Varshava, Książka i Wiedza, 1979, tomonidan qo'shimchalar bilan to'ldirilgan Marian Rejewski
  • Rejevskiy, Marian (1981 yil iyul), "Polsha matematiklari qanday qilib jumboqni hal qilishdi", Hisoblash tarixi yilnomalari, IEEE, 3 (3): 213–234, doi:10.1109 / MAHC.1981.10033
  • Rejevskiy, Marian (1984), "Enigma shifrining matematik echimi", Kasparekda, Kristofer (tahr.), Enigma: Germaniya mashina shifrini qanday buzishgan va uni Ikkinchi Jahon Urushida ittifoqchilar qanday o'qishgan, ilova E: 272-291, ISBN  978-0-89093-547-7
  • Yaxshi, Jek (1993), "Enigma and Fish", yilda Xinsli, F. H.; Stripp, Alan (tahr.), Codebreakers: Bletchley Parkning ichki hikoyasi, Oksford: Oksford universiteti matbuoti, 149–166 betlar, ISBN  978-0-19-280132-6