Klasterni kengaytirish yondashuvi - Cluster-expansion approach

The klasterni kengaytirish yondashuvi ning texnikasi kvant mexanikasi muntazam ravishda qisqartiradigan BBGKY ierarxiyasi o'zaro ta'sir qiluvchi tizimlarning kvant dinamikasi echilganda paydo bo'ladigan muammo. Ushbu usul yopiq to'plamni ishlab chiqarish uchun juda mos keladi raqamli ravishda juda xilma-xilligini tahlil qilish uchun qo'llanishi mumkin bo'lgan hisoblash tenglamalari ko'p tanali va / yoki kvant-optik muammolar. Masalan, u keng qo'llaniladi yarimo'tkazgich kvant optikasi^[1] va uni umumlashtirish uchun qo'llash mumkin yarim o'tkazgichli Bloch tenglamalari va yarimo'tkazgichli lyuminesans tenglamalari.

Fon

Kvant nazariyasi asosan klassik aniq qiymatlarni a bilan almashtiradi ehtimoliy yordamida tuzilishi mumkin bo'lgan taqsimot, masalan, a to'lqin funktsiyasi, a zichlik matritsasi yoki a faza-makon taqsimoti. Kontseptual jihatdan har birining ortida har doim, hech bo'lmaganda rasmiy ravishda, ehtimollik taqsimoti mavjud kuzatiladigan bu o'lchanadi. 1889 yilda, kvant fizikasi shakllanishidan ancha oldin, Torvald N. Thiele taklif qildi kumulyantlar imkon qadar kam miqdordagi ehtimollik taqsimotlarini tavsiflovchi; u ularni chaqirdi yarim invariantlar.^[2]Kumulyantlar kabi miqdorlar ketma-ketligini hosil qiladi anglatadi, dispersiya, qiyshiqlik, kurtoz va shunga o'xshash narsalarni taqsimlashni aniqlik bilan aniqlaydi, chunki ko'proq kümülatiflardan foydalaniladi.

Kumulyantlar g'oyasini Fritz Koester kvant fizikasiga aylantirdi^[3]va Hermann Kummel^[4]o'qish niyatida yadroviy ko'p tanadagi hodisalar. Keyinchalik, Jiři žížek va Yozef Paldus uchun yondashuvni kengaytirdi kvant kimyosi murakkab atomlar va molekulalardagi ko'p jismli hodisalarni tavsiflash uchun. Ushbu ish uchun asos yaratildi juft-klasterli yondashuv asosan ko'p tanali to'lqin funktsiyalari bilan ishlaydi. Birlashtirilgan klasterlar yondashuvi murakkab molekulalarning kvant holatlarini echishning eng muvaffaqiyatli usullaridan biridir.

Yilda qattiq moddalar, ko'p tanali to'lqin funktsiyasi juda murakkab tuzilishga ega, chunki to'g'ridan-to'g'ri to'lqin-funktsiya-echim texnikasi oson emas. Klasterning kengayishi bog'langan klasterlar yondashuvining bir variantidir^[1][5]va u taxminiy to'lqin funktsiyasi yoki zichlik matritsasining kvant dinamikasini echishga urinish o'rniga, o'zaro bog'liqlikning dinamik tenglamalarini hal qiladi. Bu juda ko'p tanali tizimlarning xususiyatlarini va kvant-optik korrelyatsiyalarni davolash uchun juda mos keladi, bu esa uni juda mos keladigan yondashuvga aylantirdi. yarimo'tkazgich kvant optikasi.

Deyarli har doimgidek ko'p jismlar fizikasi yoki kvant optikasi, ni qo'llash eng qulaydir ikkinchi kvantlashtirish formalizmi ishtirok etgan fizikani tavsiflash uchun. Masalan, keyin yorug'lik maydoni tasvirlanadi Boson yaratish va yo'q qilish operatorlari ${ displaystyle { hat {B}} _ { mathbf {q}} ^ { xanjar}}$ va ${ displaystyle { hat {B}} _ { mathbf {q}}}$navbati bilan, qaerda ${ displaystyle hbar mathbf {q}}$ a momentumini belgilaydi foton. "Shlyapa" tugadi ${ displaystyle B}$ degan ma'noni anglatadi operator miqdorning tabiati. Ko'p jismli holat materiyaning elektron qo'zg'alishidan iborat bo'lsa, u to'liq aniqlanadi Fermion yaratish va yo'q qilish operatorlari ${ displaystyle { hat {a}} _ { lambda, mathbf {k}} ^ { xanjar}}$ va ${ displaystyle { hat {a}} _ { lambda, mathbf {k}}}$navbati bilan, qaerda ${ displaystyle hbar mathbf {k}}$ zarrachaning momentumini anglatadi ${ displaystyle lambda}$ ba'zi ichki erkinlik darajasi, kabi aylantirish yoki tarmoqli ko'rsatkichi.

Tasnifi N- hissalar

Ko'p tanali tizim kvant-optik xususiyatlari bilan birgalikda o'rganilganda, barchasi o'lchanadi kutish qiymatlari shaklida ifodalanishi mumkin N- qismni kutish qiymati

${ displaystyle langle { hat {N}} rangle equiv langle { hat {B}} _ {1} ^ { dagger} cdots { hat {B}} _ {K} ^ { xanjar} { hat {a}} _ {1} ^ { xanjar} cdots { hat {a}} _ {N _ { hat {a}}} ^ { xanjar} { hat {a} } _ {N _ { hat {a}}} cdots { hat {a}} _ {1} { hat {B}} _ {J} cdots { hat {B}} _ {1} rangle}$

qayerda ${ displaystyle N = N _ { hat {B}} + N _ { hat {a}}}$ va ${ displaystyle N _ { hat {B}} = J + K}$ qisqa momentum uchun aniq momentum indekslari bostirilgan bo'lsa. Ushbu miqdorlar odatda tartiblangan, ya'ni barcha yaratish operatorlari chap tomonda, barcha yo'q qilish operatorlari kutish qiymatida o'ng tomonda. Agar Fermionni yaratish va yo'q qilish operatorlari miqdori teng bo'lmasa, bu kutish qiymati yo'qolishini to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatamiz.^[6][7]

Hamiltonian tizimi ma'lum bo'lgandan so'ng, dan foydalanish mumkin Geyzenberg tenglamasi berilgan dinamikani yaratish harakati ${ displaystyle N}$- zarrachalar operatori. Biroq, ko'p tanali va kvant-optik o'zaro ta'sirlar juftlikni hosil qiladi ${ displaystyle N}$-kism zarralari ${ displaystyle (N + 1)}$- deb nomlanuvchi zarracha kutish qiymatlari Bogolyubov – Tug'ilgan – Yashil – Kirkvud – Yvon (BBGKY) ierarxiyasi muammosi. Matematik jihatdan, barcha zarralar o'zaro ta'sir o'tkazib, tenglama tuzilishiga olib keladi

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { qismli} { qismli t}} langle { hat {N}} rangle = mathrm {T} chap [ langle { hat {N }} rangle right] + mathrm {Hi} left [ langle { hat {N}} + 1 rangle right]}$

qayerda funktsional ${ displaystyle T}$ ierarxik muammosiz hissa qo'shishni anglatadi va ierarxik (Hi) birikma uchun funktsional ${ displaystyle mathrm {Hi} [ langle { hat {N}} + 1 rangle]}$. Kutish qiymatlarining barcha darajalari nolga teng bo'lishi mumkinligi sababli, zarrachalarning haqiqiy soniga qadar, bu tenglamani qo'shimcha fikrlarsiz to'g'ridan-to'g'ri qisqartirish mumkin emas.

Klasterlarning rekursiv ta'rifi

Klasterni kengaytirish asosida tasniflashning sxematik ko'rinishi. To'liq korrelyatsiya singletlar, dubletlar, uchliklar va yuqori darajadagi o'zaro bog'liqliklardan iborat bo'lib, ularning barchasi klaster-kengayish yondashuvi bilan yagona aniqlangan. Har bir ko'k shar bitta zarrachalar operatoriga va sariq doiralar / ellipslar korrelyatsiyaga to'g'ri keladi. O'zaro bog'liqlik doiralari soni klaster raqamini aniqlaydi.

O'zaro bog'liq klasterlarni aniqlagandan so'ng, ierarxiya muammosini muntazam ravishda qisqartirish mumkin. Oddiy ta'riflar klasterlarni rekursiv ravishda aniqlaganidan keyin amal qiladi. Eng past darajadagi belgi ramziy ma'noga ega bo'lgan bitta zarracha kutish qiymatlari (singletlar) sinfini topadi ${ displaystyle langle 1 rangle}$. Har qanday ikki zarracha kutish qiymati ${ displaystyle langle 2 rangle}$ faktorizatsiya qilish yo'li bilan taxminiy bo'lishi mumkin ${ displaystyle langle 2 rangle _ { mathrm {S}} = langle 1 rangle langle 1 rangle}$ bir zarracha kutish qiymatining barcha mumkin bo'lgan mahsulotlariga rasmiy summani o'z ichiga oladi. Umuman olganda, ${ displaystyle langle 1 rangle}$ singletlarni belgilaydi va ${ displaystyle langle N rangle _ { mathrm {S}}}$ anning singlet faktorizatsiyasi ${ displaystyle N}$- qismni kutish qiymati. Jismoniy jihatdan, singlet faktorizatsiya Fermionlar ishlab chiqaradi Xartri - Fok taxminiyligi uchun esa Bosonlar u hosil beradi klassik taxminiy bu erda Boson operatorlari rasmiy ravishda izchil amplituda bilan almashtiriladi, ya'ni. ${ displaystyle { hat {B}} rightarrow langle { hat {B}} rangle}$. Singlet faktorizatsiyasi klasterni kengaytirishning birinchi darajasini tashkil etadi.

Ning o'zaro bog'liq qismi ${ displaystyle langle 2 rangle}$ u holda haqiqiyning farqi ${ displaystyle langle 2 rangle}$ va singlet faktorizatsiyasi ${ displaystyle langle 2 rangle _ { mathrm {S}}}$. Ko'proq matematik jihatdan, kimdir topadi

${ displaystyle langle 2 rangle = langle 2 rangle _ { mathrm {S}} + Delta langle 2 rangle}$

qaerda ${ displaystyle Delta}$ hissa o'zaro bog'liq qismni bildiradi, ya'ni. ${ displaystyle Delta langle 2 rangle = langle 2 rangle - langle 2 rangle _ { mathrm {S}}}$. Identifikatsiyaning keyingi darajalari rekursiv ravishda kuzatiladi^[1] murojaat qilish orqali

${ displaystyle { begin {aligned} langle 3 rangle & = langle 3 rangle _ { mathrm {S}} + langle 1 rangle Delta langle 2 rangle + Delta langle 3 rangle ,, langle N rangle & = langle N rangle _ { mathrm {S}} & quad + langle N-2 rangle _ { mathrm {S}} Delta langle 2 rangle & quad + langle N-4 rangle _ { mathrm {S}} Delta langle 2 rangle Delta langle 2 rangle + dots & quad + langle N-3 rangle _ { mathrm {S}} Delta langle 3 rangle & quad + langle N-5 rangle _ { mathrm {S}} Delta langle 3 rangle Delta langle 2 rangle + dots & quad + Delta langle N rangle ,, end {aligned}}}$

bu erda har bir mahsulot atamasi bitta faktorizatsiyani ramziy va aniq ravishda ifodalaydi, aniqlangan atamalar sinfidagi barcha faktorizatsiya bo'yicha yig'indini o'z ichiga oladi. Sof korrelyatsiya qilingan qism bilan belgilanadi ${ displaystyle Delta langle N rangle}$. Bulardan ikki zarrachali korrelyatsiya ${ displaystyle Delta langle 2 rangle}$ uch zarrachali korrelyatsiya paytida dubletlarni aniqlang ${ displaystyle Delta langle 3 rangle}$ uch egizaklar deyiladi.

Ushbu identifikatsiya rekursiv ravishda qo'llanilishi sababli, ierarxiya muammosida qaysi korrelyatsiyalar paydo bo'lishini bevosita aniqlash mumkin. Keyinchalik, korrelyatsiyalarning kvant dinamikasini aniqlaydi

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { qismli} { qismli t}} Delta langle { hat {N}} rangle = mathrm {T} chap [ Delta langle { hat {N}} rangle right] + mathrm {NL} left [ langle { hat {1}} rangle, Delta langle { hat {2}} rangle, cdots, Delta langle { hat {N}} rangle right] + mathrm {Hi} left [ Delta langle { hat {N}} + 1 rangle right] ,,}$

bu erda faktorizatsiya chiziqli bo'lmagan birikma hosil qiladi ${ displaystyle mathrm {NL} left [ cdots right]}$ klasterlar orasida. Shubhasiz, klasterlarni kiritish to'g'ridan-to'g'ri yondashuvning ierarxiya muammosini olib tashlay olmaydi, chunki ierarxik hissa dinamikada qoladi. Ushbu xususiyat va chiziqli bo'lmagan atamalarning ko'rinishi klasterni kengaytirish yondashuvini qo'llash uchun murakkabliklarni keltirib chiqarmoqda.

Biroq, kutish-qiymatning to'g'ridan-to'g'ri yondashuvidan katta farq sifatida ko'p tanali va kvant-optik o'zaro ta'sirlar ketma-ket korrelyatsiya hosil qiladi.^[1][8]Bir nechta dolzarb muammolarda, haqiqatan ham shunday holat yuzaga keladi: faqat eng past darajadagi klasterlar dastlab noaniqlashadi, yuqori darajadagi klasterlar esa asta-sekin quriladi. Bunday holatda, ierarxik bog'lanishni qoldirib yuborish mumkin, ${ displaystyle mathrm {Hi} left [ Delta langle { hat {C}} + 1 rangle right]}$, oshib ketgan darajada ${ displaystyle C}$- zarrachalar klasterlari. Natijada, tenglamalar yopiq bo'ladi va faqatgina dinamikani hisoblash kerak ${ displaystyle C}$-tizimning tegishli xususiyatlarini tushuntirish uchun zarrachalar o'zaro bog'liqligi. Beri ${ displaystyle C}$ odatda zarrachalarning umumiy sonidan ancha kichik bo'lib, klasterni kengaytirish yondashuvi ko'plab tanaviy va kvant-optik tadqiqotlar uchun amaliy va sistematik echim sxemasini beradi.^[1]

Kengaytmalar

Kvant dinamikasini tavsiflashdan tashqari, tabiiy ravishda kvant taqsimotlarini ifodalash uchun klaster-kengayish usulini qo'llash mumkin. Imkoniyatlardan biri kvantlangan yorug'lik rejimining kvant tebranishini aks ettirishdir ${ displaystyle { hat {B}}}$ klasterlar nuqtai nazaridan, klasterni kengaytirish vakili beradigan. Shu bilan bir qatorda, ularni kutish-qiymatni ifodalash nuqtai nazaridan ifodalash mumkin ${ displaystyle langle [{ hat {B}} ^ { dagger}] ^ {J} { hat {B}} ^ {K} rangle}$. Bunday holda, dan ulanish ${ displaystyle langle [{ hat {B}} ^ { dagger}] ^ {J} { hat {B}} ^ {K} rangle}$ zichlik matritsasi noyobdir, ammo natijada son jihatidan ajralib turishi mumkin. Ushbu muammoni a ni kiritish orqali hal qilish mumkin klaster-kengayish transformatsiyasi (CET)^[9]a nuqtai nazaridan taqsimotni ifodalaydi Gauss, singlet-dublet hissalari bilan belgilanadi, yuqori darajadagi klasterlar tomonidan belgilangan polinomga ko'paytiriladi. Ma'lum bo'lishicha, ushbu formulatsiya vakolatxonadan vakillikka o'tkazishda o'ta yaqinlashuvni ta'minlaydi.

Ushbu to'liq matematik muammo to'g'ridan-to'g'ri jismoniy dasturga ega. Klassik o'lchovni kvant-optik o'lchovga ishonchli loyihalash uchun klaster-kengayish transformatsiyasini qo'llash mumkin.^[10]Ushbu xususiyat asosan CETning har qanday taqsimotni Gaussianni polinom omiliga ko'paytiradigan shaklda tasvirlash qobiliyatiga asoslangan. Ushbu uslub allaqachon kirish va undan foydalanish uchun foydalanilmoqda kvant-optik spektroskopiya yuqori sifatli ishlatilishi mumkin bo'lgan klassik spektroskopiya o'lchovlari to'plamidan lazerlar.

Shuningdek qarang

• Yarimo'tkazgichli Blox tenglamalari
• Yarimo'tkazgichli lyuminesans tenglamalari
• Yarimo'tkazgich kvant optikasi
• Kvant-optik spektroskopiya
• BBGKY ierarxiyasi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Kira M.; Koch, S. W. (2011). Yarimo'tkazgichli kvant optikasi. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0521875097.
• Shavitt, I .; Bartlett, R. J. (2009). Kimyo va fizikada ko'p tanali usullar: MBPT va qo'shma klaster nazariyasi. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0521818322.