Murakkab konjuge vektor maydoni - Complex conjugate vector space

Yilda matematika, murakkab konjugat a murakkab vektor maydoni ${ displaystyle V ,}$ bu murakkab vektor makoni ${ displaystyle { overline {V}}}$bilan bir xil elementlarga va qo'shimchalar guruhining tuzilishiga ega ${ displaystyle V}$, lekin kimniki skalar ko'paytmasi skalar konjugatsiyasini o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, ning skalyar ko'paytmasi ${ displaystyle { overline {V}}}$ qondiradi

${ displaystyle alpha , * , v = {, { overline { alpha}} cdot , v ,}}$

qayerda ${ displaystyle *}$ ning skalyar ko'paytmasi ${ displaystyle { overline {V}}}$ va ${ displaystyle cdot}$ ning skalyar ko'paytmasi ${ displaystyle V}$.Xat ${ displaystyle v ,}$ vektorni anglatadi ${ displaystyle V ,}$, ${ displaystyle alpha ,}$ bu murakkab son va ${ displaystyle { overline { alpha}}}$ belgisini bildiradi murakkab konjugat ning ${ displaystyle alpha ,}$.^[1]

Aniqroq aytganda, murakkab konjugat vektor maydoni bir xil asosda yotadi haqiqiy konjugat bilan vektor maydoni (bir xil nuqtalar to'plami, bir xil vektor qo'shilishi va haqiqiy skalar ko'paytmasi) chiziqli murakkab tuzilish J (tomonidan turli xil ko'paytmalar men).

Motivatsiya

Agar ${ displaystyle V ,}$ va ${ displaystyle W ,}$ murakkab vektor bo'shliqlari, funktsiyasi ${ displaystyle f colon colon V to W ,}$ bu antilinear agar

${ displaystyle f (v + v ') = f (v) + f (v') quad { text {and}} quad f ( alpha v) = { overline { alfa}} , f (v)}$

Konjuge vektor makonidan foydalanish bilan ${ displaystyle { overline {V}}}$, antilinear xarita ${ displaystyle f: V to W}$ oddiy deb hisoblash mumkin chiziqli xarita turdagi ${ displaystyle { overline {V}} to W}$. Lineerlik quyidagilarni tekshirish orqali tekshiriladi:

${ displaystyle f ( alpha * v) = f ({ overline { alpha}} cdot v) = { overline { overline { alpha}}}} cdot f (v) = alpha cdot f (v)}$

Aksincha, belgilangan har qanday chiziqli xarita ${ displaystyle { overline {V}}}$ ustida antilinear xaritani keltirib chiqaradi ${ displaystyle V ,}$.

Bu belgilashdagi kabi bir xil asosiy printsipdir qarama-qarshi halqa shunday qilib huquq ${ displaystyle R}$-modul chap sifatida qaralishi mumkin ${ displaystyle R ^ {op}}$-module yoki an qarshi turkum shunday qilib a qarama-qarshi funktsiya ${ displaystyle C to D}$ oddiy tipdagi funktsiya sifatida qaralishi mumkin ${ displaystyle C ^ {op} dan D}$.

Murakkab konjugatsiya funktsiyasi

Chiziqli xarita ${ displaystyle f colon colon V to W ,}$ tegishli chiziqli xaritani keltirib chiqaradi ${ displaystyle { overline {f}} colon colon overline {V}} to { overline {W}}}$ bilan bir xil harakatga ega bo'lgan ${ displaystyle f}$. Yozib oling ${ displaystyle { overline {f}}}$ skalar ko'payishini saqlaydi, chunki

${ displaystyle { overline {f}} ( alpha * v) = f ({ overline { alpha}} cdot v) = { overline { alpha}} cdot f (v) = alpha * { overline {f}} (v)}$

Shunday qilib, murakkab konjugatsiya ${ displaystyle V mapsto { overline {V}}}$ va ${ displaystyle f mapsto { overline {f}}}$ a ni aniqlang funktsiya dan toifasi o'zi uchun murakkab vektor bo'shliqlarining.

Agar ${ displaystyle V ,}$ va ${ displaystyle W ,}$ cheklangan o'lchovli va xarita ${ displaystyle f ,}$ majmuasi tomonidan tasvirlangan matritsa ${ displaystyle A ,}$ ga nisbatan asoslar ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ ning ${ displaystyle V ,}$ va ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ ning ${ displaystyle W ,}$, keyin xarita ${ displaystyle { overline {f}}}$ ning murakkab konjugati bilan tavsiflanadi ${ displaystyle A ,}$ bazalarga nisbatan ${ displaystyle { overline { mathcal {B}}}}$ ning ${ displaystyle { overline {V}}}$ va ${ displaystyle { overline { mathcal {C}}}}$ ning ${ displaystyle { overline {W}}}$.

Konjugatning tuzilishi

Vektor bo'shliqlari ${ displaystyle V ,}$ va ${ displaystyle { overline {V}}}$ bir xil narsaga ega o'lchov murakkab sonlar ustida va shuning uchun izomorfik murakkab vektor bo'shliqlari sifatida. Biroq, yo'q tabiiy izomorfizm dan ${ displaystyle V ,}$ ga ${ displaystyle { overline {V}}}$.

Ikki juft konjugat ${ displaystyle { overline { overline {V}}}}$ bilan bir xil ${ displaystyle V}$.

Hilbert fazosining murakkab konjugati

Berilgan Hilbert maydoni ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ (cheklangan yoki cheksiz o'lchovli), uning murakkab konjugati ${ displaystyle { overline { mathcal {H}}}}$ u bilan bir xil vektor maydoni doimiy er-xotin bo'shliq ${ displaystyle { mathcal {H}} '}$.Uzluksiz chiziqli funktsionallar va vektorlar o'rtasida birma-bir antilinear yozishmalar mavjud, boshqacha qilib aytganda, har qanday uzluksiz chiziqli funktsional kuni ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ bu ba'zi bir sobit vektorga ichki ko'paytma va aksincha.^{[iqtibos kerak ]}

Shunday qilib, kompleks vektorga birikadi ${ displaystyle v}$, ayniqsa, cheklangan o'lchov holatida, deb belgilanishi mumkin ${ displaystyle v ^ {*}}$ (v-yulduz, a qator vektori qaysi konjugat transpozitsiyasi ustunli vektorga ${ displaystyle v}$Kvant mexanikasida a ga konjugat ket vektori ${ displaystyle | psi rangle}$ deb belgilanadi ${ displaystyle langle psi |}$ - a sutyen vektori (qarang bra-ket yozuvlari ).

Shuningdek qarang

• Chiziqli murakkab tuzilish

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Budinich, P. va Trautman, A. Spinorial shaxmat taxtasi. Springer-Verlag, 1988 yil. ISBN  0-387-19078-3. (murakkab konjuge vektor bo'shliqlari 3.3-bo'lim, 26-betda muhokama qilingan).