Giperbolik geometriyadagi konstruksiyalar - Constructions in hyperbolic geometry - Wikipedia

Giperbolik geometriya a evklid bo'lmagan geometriya bu erda birinchi to'rtta aksioma Evklid geometriyasi saqlanmoqda, ammo beshinchi aksioma, parallel postulat, o'zgartirildi. Giperbolik geometriyaning beshinchi aksiomasida chiziq berilganligi aytilgan L va nuqta P bu satrda emas, kamida ikkita chiziq o'tgan P ga parallel bo'lgan L.[1] Evklid geometriyasida bo'lgani kabi, qaerda qadimgi yunon matematiklari uchun kompas va idealizatsiya qilingan o'lchagichdan foydalangan inshootlar uzunliklar, burchaklar va boshqa geometrik figuralarning konstruktsiyalari giperbolik geometriyada ham amalga oshirilishi mumkin.

Psevdosfera

Giperbolik geometriya modellari

Giperbolik geometriya uchun konstruktsiyalarni bajarish va tasavvur qilishni osonlashtiradigan ikkita model mavjud. Giperbolik tekislikning qismlarini a ga joylashtirish mumkin psevdosfera burchaklar va giperbolik masofalarni saqlab turing, shuningdek, psevdosfera atrofida egilib, hanuzgacha uning xususiyatlarini saqlang.[2] Biroq, butun giperbolik tekislikni model sifatida psevdosferaga joylashtirish mumkin emas, faqat giperbolik tekislikning faqat bir qismi.[2]

Giperbolik parallel chiziqlar bilan bezatilgan disk

Butun giperbolik tekislikni a ga ham qo'yish mumkin Poincaré disk va uning burchaklarini saqlab turing. Biroq, chiziqlar dumaloq yoylarga aylanadi, bu esa ularni buzadi.[2]

Asboblar

Yilda giperbolik geometriya, tez-tez ishlatiladigan standart o'lchagich va kompasdan foydalanish mumkin Evklid tekisligi geometriyasi. Biroq, giperbolik konstruktsiyalar uchun ishlab chiqilgan turli xil kompaslar va chiziqlar mavjud.

A giperkompas a qurish uchun ishlatilishi mumkin gipersikl markaziy chiziq va radius berilgan.[3] A horokompass a qurish uchun ishlatilishi mumkin horosikl diametri va yo'nalishi ham ta'minlansa, ma'lum bir nuqta orqali. Ularning ikkalasi ham standart kabi tekis chekka talab qiladi hukmdor.[3] Giperbolik geometriyada konstruktsiyalarni bajarishda, agar siz qurilish uchun mos o'lchagichdan foydalangan bo'lsangiz, uchta kompas (horokompas, giperkompas va standartni bildiradi) kompas ) barchasi bir xil konstruktsiyalarni bajarishi mumkin.[3]

A parallel chiziq yordamida berilgan A nuqta orqali va berilgan nurga parallel ravishda chiziq chizish uchun foydalanish mumkin a[3]. Har qanday ikkita satr uchun a giperbolik o'lchagich birinchi qatorga parallel, ikkinchisiga perpendikulyar bo'lgan chiziqni qurish uchun foydalanish mumkin.[3]

Hukmdorlarning foydalanishiga oid bir nechta eslatmalar:

  • Parallel o'lchagich yordamida standart o'lchagich va uchta o'lchagich ham qurishi mumkin bo'lgan hamma narsani qurish mumkin[3]
  • Parallel o'lchagich Evklid geometriyasida boshqaruvchi vazifasini bajarishi mumkin[3]
  • Giperbolik o'lchagich Evklid geometriyasi konstruktsiyalarini bajara olmaydi[3]
  • Giperbolik geometriyada yuqorida sanab o'tilgan uchta kompasning istalgan biri va parallel chizg'ich yordamida bajariladigan konstruksiyalar ham giperbolik o'lchagich yordamida bajarilishi mumkin.[3]

Oddiy inshootlar

Burchak bissektrisasi

ᗉ IAI '≠ berilgan burchakni ko'rib chiqingπ/ 2 radian kimning burchak bissektrisasi qidirilmoqda. Bu ikki xil holatga olib keladi: yoki ᗉ IAI '<π/ 2 radian yoki ᗉ IAI '>π/ 2 radian.[3] Ikkala holatda ham BI 'qaerda BI' chiziqni qurish uchun giperbolik o'lchagich kerak perpendikulyar AI ga va AI 'ga parallel. Shuningdek, B'I AI 'ga perpendikulyar va AI ga parallel bo'lgan B'I chiziqni tuzing.[3]

1-holat: ᗉ IAI '< π/ 2 radian

C - BI 'va B'I ning kesishishi bo'lsin. Buning natijasi shuki, AC chiziq ᗉ IAI 'ni ikkiga bo'linadi.[3]

2-holat: ᗉ IAI '>π/ 2 radian

Ushbu holat yana uchta kichik holatga bo'linadi:

  • 2a holat: IB 'I'B bilan kesishadi
    • A 'IB' va I'B kesishmasi bo'lsin. U holda AA 'ᗉ IAI' ning burchak bissektrisasi.[3]
  • 2b holat: IB 'I'B ga parallel
    • BB 'chiziq segmentini tuzing va giperbolik o'lchagich yordamida OI chizig'ini "OI" BB' ga perpendikulyar va B'I 'ga parallel qilib qo'ying. Keyin OA chizig'i ᗉ IAI' uchun burchak bissektrisidir.[3]
  • Holat 2c: IB ' ultraparallel I'B ga.
    • Dan foydalanish ultraparallel teorema, IB 'va I'B, CC' ning umumiy perpendikulyarini tuzing. CB "va BC 'ning kesishishi D ga teng bo'lsin. Natijada AD ᗉ BDB' ning burchak bissektrisasi bo'ladi. Keyin biz OD orqali chiziq ᗉ IAI 'ning bissektrisasi ekanligini aniqladik.[3]

Ikki qatorga umumiy parallel chiziq

Ikkala berilgan qatorga parallel chiziq topish muammosini ko'rib chiqamiz, a va a '. Uchta holat mavjud: a va a ' O nuqtada kesishadi, a va a ' bir-biriga parallel va a va a ' bir-biriga ultraparalleldir.[3]

1-holat: a va a 'O nuqtada kesishadi,

Ushbu ikkita chiziq tomonidan hosil qilingan burchaklardan birini ikkiga bo'ling va burchak bissektrisasini nomlang b. Giperbolik o'lchagich yordamida chiziq yasang v shu kabi v ga perpendikulyar b va ga parallel a. Natijada, v ga parallel a ', qilish v chiziqlarga umumiy parallel a va a '.[3]

2-holat: a va a 'bir-biriga parallel

Giperbolik o'lchagichdan foydalanib, AI 'ga parallel bo'ladigan AI tuzing a ' va ga perpendikulyar a. A'I ga parallel bo'ladigan boshqa A'I chiziqni tuzing a va ga perpendikulyar a '. AI 'va A'I kesishmasi B bo'lsin, chunki ᗉ IBI'>π/ 2 radian, ish endi BI va BI 'ga umumiy parallel qurilishga imkon beradigan 1-holat kabi o'ynaydi.[3]

3-holat: a va a 'bir-biriga ultraparallel

Giperbolik o'lchagich yordamida BI ni perpendikulyar bo'ladigan qilib BI ni tuzing a va ga parallel a ' va B'I ga perpendikulyar bo'ladigan B'I chiziqni tuzing a ' va ga parallel a BI 'va B'I ni umumiy perpendikulyarning bir tomoniga qo'yadigan tarzda a va a ', yordamida topish mumkin ultraparallel teorema. BI 'va B'I chorrahasi S bo'lsin. Keyin ᗉ ICI' ≠π/ 2 radian, bu sizga boshqa ikkita holat singari qurilishni tugatishga imkon beradi.[3]

Nuqtada boshqa chiziqqa perpendikulyar chiziq

Sizda chiziq bor deylik a va shu satrda A nuqta bor va siz unga perpendikulyar chiziq yasamoqchisiz a va A. orqali Keyin ruxsat bering a ' bu erda A orqali chiziq bo'ling a va a ' ikkita aniq chiziq. Shunda sizda ikkita holatdan biri bo'ladi.[3]

1-holat: a 'ga' perpendikulyar

Bunday holda, biz allaqachon perpendikulyar chiziqqa egamiz a A. orqali[3]

2-holat: a va a 'bir-biriga perpendikulyar emas

Giperbolik o'lchagich yordamida BI perpendikulyar bo'ladigan BI chiziq hosil qiling a va ga parallel a '. Bundan tashqari, CI 'ga perpendikulyar bo'ladigan CI' chiziq hosil qiling a va ga parallel a ' ammo BI ning teskari yo'nalishida. Endi "II" chiziqni BI va I'C ga umumiy parallel qilib qo'ying. The ultraparallel teorema endi II ga umumiy perpendikulyarni yaratishga imkon beradi "va a chunki bu ikki chiziq ultraparallel. Ushbu umumiy perpendikulyar endi ga perpendikulyar chiziq a va A. orqali[3]

Chiziq segmentining o'rta nuqtasi

Aytaylik, AB chiziqli segmentning o'rta nuqtasini topishga harakat qilyapsiz. Keyin AI chizig'ini AI A orqali va AB ga perpendikulyar qilib qo'ying. Bundan tashqari, BI 'AB ni AB bilan kesadigan va AB ga perpendikulyar bo'ladigan BI' chiziq hosil qiling. Endi II 'AI va BI' ga umumiy parallel bo'lgan II chiziqni tuzing.[3] Ning yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan II 'va AB ga umumiy perpendikulyar tuzing ultraparallel teorema chunki II 'va AB bir-biriga ultraparallel. Ushbu satrga CC nom bering. C endi AB ning o'rta nuqtasi bo'lib tugaydi.[3]

Murakkab qurilishlar uchun ta'riflar

Burchaklarga ijobiy yoki manfiy belgi berganda, XY dan YZ gacha bo'lgan eng qisqa yo'lning yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq bo'lsa, Y XYZ burchagi ijobiy bo'ladi.

Quyidagi ta'riflar uchun odatda giperbolik geometriyada amalga oshirib bo'lmaydigan quyidagi taxminlar tuziladi.

  • Uchta aniq nuqta noyob doirani yaratadi[4]
  • Har qanday ikkita satrni hisobga olgan holda, ular noyob nuqtada uchrashadilar[4] (odatda, bu giperbolik geometriyaning parallel aksiomasiga zid keladi, chunki bir xil chiziqqa parallel ravishda har xil chiziqlar bo'lishi mumkin[1])
  • Burchak o'lchovlari belgilarga ega. Bu erda ular quyidagicha aniqlanadi: XYZ uchburchagini ko'rib chiqing. ᗉ XYZ burchak belgisi ijobiy bo'ladi, agar faqat XY tomondan YZ tomonga eng qisqa yoy bo'ylab yo'lning yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq bo'lsa. O'ng tomondagi uchburchakning tasviri buni tasvirlaydi. Taqqoslash uchun, bilan ishlashda birlik doirasi, burchak o'lchovi soat sohasi farqli o'laroq ijobiy, soat yo'nalishi bo'yicha esa salbiy.[4]

Tsiklik to'rtburchaklar

To'rtburchak tsiklik agar ikkala qarama-qarshi tepaliklar pi radianlariga yoki 180 gradusgacha qo'shilsa.[4] Shuningdek, agar to'rtburchak aylanaga uning barcha tepalari aylana ustida yotadigan tarzda yozilgan bo'lsa, u tsiklikdir.[5]

Soxta munosabat

ABC uchburchagini ko'rib chiqing, u erda nuqtalar soat yo'nalishi bo'yicha belgilanadi, shuning uchun barcha burchaklar ijobiy bo'ladi. X nuqta miloddan avval B dan S gacha harakatlanuvchi nuqta bo'lsin, X C ga yaqinlashganda ᗉAXB burchak kamayadi va ᗉ AXC burchak kuchayadi. X B ga yaqinlashganda, ᗉ AXB> ᗉ AXC. X C ga etarlicha yaqin bo'lganda, ᗉ AXB <ᗉ AXC. Bu shuni anglatadiki, biron bir vaqtda X $ ᗉ AXB = ᗉ AXC bo'lgan holatda bo'ladi. X bu holatda bo'lganida, u A tepasidan psevdoaltitning oyog'i sifatida aniqlanadi.[4] Soxta kattalik AX chiziqli segment bo'ladi.[4]

Bu erda psevdoaltitatsiyalarga misollar A bo'lishi mumkin1H1, A2H2va A3H3.

Soxta uzunliklar

$ D $ ga ruxsat beringE(A, B) berilgan giperbolik chiziq AB kesmasi uchun pseudol uzunligini belgilang. Transformatsiya A ni a markaziga o'tkazsin Poincaré disk ga teng radiusi bilan 1. pseudol uzunlik dE(A, B) - bu segmentning evklid geometriyasidagi uzunligi.[4]

Homethety

P nuqta, A nuqta gomotetiyaning markazi bo'lgan A va gomotetiyaning nisbatini ifodalovchi k son berilgan bo'lsa, gomotetiya bu P ni nurda joylashgan P 'nuqtaga olib boradigan o'zgarishdir. AP va dE(A, P ') = k · dE(A, P).[4]

Uch duns cap teoremasi

Uchta doirani ko'rib chiqing ω1, ω2va ω3 umumiy tekislikda. P ga ruxsat bering1 ning ikkita tashqi teginish chizig'ining kesishishi bo'lsin ω2 va ω3. P ga ruxsat bering2 va P3 xuddi shu tarzda topiladi. Keyin Uch Duns Kepsi Teoremasida P1, P2va P3 barchasi bir xil chiziqda yotadi.[4]

Isbot: Har bir aylananing ustiga shar qurib, so'ngra ushbu uchta sharga teginuvchi tekislik yarating. Samolyot aylanalar yotadigan tekislikni P ni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq bilan kesib o'tadi1, P2va P3. Ushbu nuqtalar, shuningdek, ular olingan doiralar uchun homotetiya markazlari hisoblanadi.[4]

Sferik geometriyaga murojaat qilish

Algebraik, giperbolik va sferik geometriya bir xil tuzilishga ega.[4] Bu bizga kontseptsiyalar va teoremalarni bir geometriyaga boshqasiga qo'llashga imkon beradi.[4] Giperbolik geometriyani sharsimon geometriyaga tatbiq qilish uni tushunishni osonlashtirishi mumkin, chunki sharlar ancha konkret bo'lib, keyinchalik sharsimon geometriyani kontseptsiyalash osonroq bo'ladi.

Adabiyotlar

  1. ^ a b Kannon, Jeyms V.; Floyd, Uilyam J.; Kenyon, Richard; Perri, Uolter R. (1997). "Giperbolik geometriya" (PDF). library.msri.org. Olingan 2018-12-13.
  2. ^ a b v Rot, Franz (2006-09-07). "Giperbolik geometriya va psevdo-sfera" (PDF). math2.uncc.edu. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2018-01-09 da. Olingan 2018-12-13.
  3. ^ a b v d e f g h men j k l m n o p q r s t siz v w x Al-Dohir, M. V. (1962). "Giperbolik geometriyadagi asbob". Amerika matematik jamiyati materiallari. 13 (2): 298–304. doi:10.1090 / S0002-9939-1962-0138036-7. JSTOR  2034487.
  4. ^ a b v d e f g h men j k l Akopyan, Arseniy V. (2011-05-11). "Giperbolik geometriyaga cho'zilgan ba'zi klassik konstruktsiyalar to'g'risida". arXiv:1105.2153 [math.MG ].
  5. ^ 1938-, Leonard, I. Ed. (2014-06-04). Klassik geometriya: Evklid, o'zgaruvchan, teskari va proektiv. Lyuis, J. E. (Jeyms Edvard) ,, Liu, A. C. F. (Endryu Chiang-Fung) ,, Tokarskiy, G. V. Xoboken, NJ. ISBN  9781118839430. OCLC  861966488.CS1 maint: raqamli ismlar: mualliflar ro'yxati (havola)