Konvey - Maksvell - binomial taqsimot - Conway–Maxwell–binomial distribution - Wikipedia

Konvey-Maksvell-binomial

Parametrlar	${ displaystyle n in {1,2, ldots },}$ ${ displaystyle 0 leq p leq 1,}$ ${ displaystyle - infty < nu < infty}$
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle x in {0,1,2, dots, n }}$
PMF	${ displaystyle { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {x}} ^ { nu} p ^ {j} (1-p) ^ {nx} }$
CDF	${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {x} Pr (X = i)}$
Anglatadi	Ro'yxatda yo'q
Median	Yopiq shakl yo'q
Rejim	Matnni ko'ring
Varians	Ro'yxatda yo'q
Noqulaylik	Ro'yxatda yo'q
Ex. kurtoz	Ro'yxatda yo'q
Entropiya	Ro'yxatda yo'q
MGF	Matnni ko'ring
CF	Matnni ko'ring

Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, Konvey-Maksvell-binomial (CMB) taqsimlash - bu uchta parametrning ehtimolligini taqsimlash binomial taqsimot shunga o'xshash tarzda Konvey-Maksvell-Puasson taqsimoti umumlashtiradi Poissonning tarqalishi. CMB taqsimotidan ijobiy va salbiy assotsiatsiyani modellashtirish uchun foydalanish mumkin Bernulli summands ,.^[1][2]

The tarqatish Shumeli va boshqalar tomonidan kiritilgan. (2005),^[1] va Konvey-Maksvell-binomial tarqatish nomi Kadane tomonidan mustaqil ravishda kiritilgan (2016) ^[2] va Deyli va Gaunt (2016).^[3]

Ehtimollik massasi funktsiyasi

Konvey-Maksvell-binomial (CMB) taqsimotiga ega ehtimollik massasi funktsiyasi

${ displaystyle Pr (Y = j) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {j}} ^ { nu} p ^ {j} ( 1-p) ^ {nj} ,, qquad j in {0,1, ldots, n },}$

qayerda ${ displaystyle n in mathbb {N} = {1,2, ldots }}$, ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ va ${ displaystyle - infty < nu < infty}$. The doimiylikni normalizatsiya qilish ${ displaystyle C_ {n, p, nu}}$ bilan belgilanadi

${ displaystyle C_ {n, p, nu} = sum _ {i = 0} ^ {n} { binom {n} {i}} ^ { nu} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}.}$

Agar a tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle Y}$ yuqoridagi massa funktsiyasiga ega, keyin biz yozamiz ${ displaystyle Y sim operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$.

Ish ${ displaystyle nu = 1}$ odatdagi binomial taqsimot ${ displaystyle Y sim operator nomi {Bin} (n, p)}$.

Konvey-Maksvell-Puasson taqsimotiga bog'liqlik

Konvey-Maksvell-Puasson (CMP) va CMB tasodifiy o'zgaruvchilari o'rtasidagi quyidagi bog'liqlik ^[1] Puasson va binomial tasodifiy o'zgaruvchilarga tegishli taniqli natijani umumlashtiradi. Agar ${ displaystyle X_ {1} sim operatorname {CMP} ( lambda _ {1}, nu)}$ va ${ displaystyle X_ {2} sim operatorname {CMP} ( lambda _ {2}, nu)}$ bor mustaqil, keyin ${ displaystyle X_ {1} , | , X_ {1} + X_ {2} = n sim operatorname {CMB} (n, lambda _ {1} / ( lambda _ {1} + lambda) _ {2}), nu)}$.

Ehtimol, bog'liq bo'lgan Bernulli tasodifiy o'zgaruvchilari yig'indisi

Tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle Y sim operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$ yozilishi mumkin ^[1] yig'indisi sifatida almashinadigan Bernulli tasodifiy o'zgaruvchilar ${ displaystyle Z_ {1}, ldots, Z_ {n}}$ qoniqarli

${ displaystyle Pr (Z_ {1} = z_ {1}, ldots, Z_ {n} = z_ {n}) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} p ^ {k} (1-p) ^ {nk},}$

qayerda ${ displaystyle k = z_ {1} + cdots + z_ {n}}$. Yozib oling ${ displaystyle operatorname {E} Z_ {1} not = p}$ umuman, agar bo'lmasa ${ displaystyle nu = 1}$.

Funktsiyalarni yaratish

Ruxsat bering

${ displaystyle T (x, nu) = sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} { binom {n} {k}} ^ { nu}.}$

Keyin ehtimollik yaratish funktsiyasi, moment hosil qiluvchi funktsiya va xarakterli funktsiya navbati bilan quyidagilar beriladi:^[2]

${ displaystyle G (t) = { frac {T (tp / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}},}$

${ displaystyle M (t) = { frac {T ( mathrm {e} ^ {t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}} ,}$

${ displaystyle varphi (t) = { frac {T ( mathrm {e} ^ { mathrm {i} t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p)) , nu)}}.}$

Lahzalar

Umuman olganda ${ displaystyle nu}$uchun yopiq shaklli iboralar mavjud emas lahzalar CMB taqsimoti. Quyidagi toza formula mavjud, ammo.^[3] Ruxsat bering ${ displaystyle (j) _ {r} = j (j-1) cdots (j-r + 1)}$ ni belgilang tushayotgan faktorial. Ruxsat bering ${ displaystyle Y sim operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$, qayerda ${ displaystyle nu> 0}$. Keyin

${ displaystyle operator nomi {E} [((Y) _ {r}) ^ { nu}] = { frac {C_ {nr, p, nu}} {C_ {n, p, nu}} } ((n) _ {r}) ^ { nu} p ^ {r} ,,}$

uchun ${ displaystyle r = 1, ldots, n-1}$.

Rejim

Ruxsat bering ${ displaystyle Y sim operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$ va aniqlang

${ displaystyle a = { frac {n + 1} {1+ chap ({ frac {1-p} {p}} o'ng) ^ {1 / nu}}}.}$

Keyin rejimi ning ${ displaystyle Y}$ bu ${ displaystyle lfloor a rfloor}$ agar ${ displaystyle a}$ emas tamsayı. Aks holda, rejimlari ${ displaystyle Y}$ bor ${ displaystyle a}$ va ${ displaystyle a-1}$.^[3]

Stein xarakteristikasi

Ruxsat bering ${ displaystyle Y sim operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$va, deylik ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {+} mapsto mathbb {R}}$ shundaymi? ${ displaystyle operator nomi {E} | f (Y + 1) | < infty}$ va ${ displaystyle operator nomi {E} | Y ^ { nu} f (Y) | < infty}$. Keyin ^[3]

${ displaystyle operator nomi {E} [p (n-Y) ^ { nu} f (Y + 1) - (1-p) Y ^ { nu} f (Y)] = 0.}$

Konvey-Maksvell-Puasson taqsimoti bo'yicha yaqinlashish

Tuzatish ${ displaystyle lambda> 0}$ va ${ displaystyle nu> 0}$ va ruxsat bering ${ displaystyle Y_ {n} sim mathrm {CMB} (n, lambda / n ^ { nu}, nu)}$ Keyin ${ displaystyle Y_ {n}}$ yaqinlashadi ga tarqatishda ${ displaystyle mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$ sifatida tarqatish ${ displaystyle n rightarrow infty}$.^[3] Ushbu natija binomial taqsimotning klassik Poisson yaqinlashishini umumlashtiradi.

Konvey-Maksvell-Puasson binomial taqsimoti

Ruxsat bering ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ bilan Bernulli tasodifiy o'zgaruvchilari bo'ling qo'shma tarqatish tomonidan berilgan

${ displaystyle Pr (X_ {1} = x_ {1}, ldots, X_ {n} = x_ {n}) = { frac {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} prod _ {j = 1} ^ {n} p_ {j} ^ {x_ {j}} (1-p_ {j}) ^ {1-x_ {j} },}$

qayerda ${ displaystyle k = x_ {1} + cdots + x_ {n}}$ va normalizatsiya doimiysi ${ displaystyle C_ {n} ^ { prime}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle C_ {n} '= sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} sum _ {A in F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j}),}$

qayerda

${ displaystyle F_ {k} = left {A subseteq {1, ldots, n }: | A | = k right }.}$

Ruxsat bering ${ displaystyle W = X_ {1} + cdots + X_ {n}}$. Keyin ${ displaystyle W}$ ommaviy funktsiyaga ega

${ displaystyle Pr (W = k) = { frac {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} sum _ {A in F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j}),}$

uchun ${ displaystyle k = 0,1, ldots, n}$. Ushbu taqsimot Poisson binomial taqsimoti Poisson va binomial taqsimotlarning CMP va CMB umumlashmalariga o'xshash tarzda. Shuning uchun bunday tasodifiy o'zgaruvchi aytiladi ^[3] Konvey-Maksvell-Puasson binomial (CMPB) taqsimotiga rioya qilish. Buni Konvey-Maksvell-Puasson-binomial tomonidan qo'llanilgan juda baxtsiz atamalar bilan adashtirmaslik kerak. ^[1] CMB tarqatish uchun.

Ish ${ displaystyle nu = 1}$ odatdagi Poisson binomial taqsimoti va ishi ${ displaystyle p_ {1} = cdots = p_ {n} = p}$ bo'ladi ${ displaystyle operator nomi {CMB} (n, p, nu)}$ tarqatish.

Adabiyotlar