De Bryuyns teoremasi - De Bruijns theorem - Wikipedia

Birlikdagi kublarning ranglari a uni qadoqlash mumkin emasligini isbotlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan quti g'isht, chunki har bir g'isht 4 ta oq va 4 ta qora kubiklarni qoplaydi, ammo qutida qora kubiklarga qaraganda 8 ta oq rang ko'proq bo'ladi

1969 yilgi maqolada gollandiyalik matematik Nikolaas Gvert de Bryuyn qadoqlash bo'yicha bir nechta natijalarni isbotladi uyg'un to'rtburchaklar g'ishtlarni (har qanday o'lchamdagi) kattaroq to'rtburchaklar qutilarga, bo'sh joy qolmasligi uchun. Ushbu natijalardan biri endi sifatida tanilgan de Bryuyn teoremasi. Ushbu teoremaga ko'ra, "garmonik g'isht" (har bir tomonning uzunligi keyingi kichikroq uzunlikning ko'paytmasi) faqat g'ishtning o'lchamlari ko'paytmasi bo'lgan qutiga solinishi mumkin.[1]

Misol

De Bruyn bu natijani uning o'sha paytdagi etti yashar o'g'li F. V. de Bruyn o'lchovli g'ishtlarni yig'ib ololmagandan keyin isbotladi. ichiga kub.[2][3] Kub hajmiga teng hajmga ega g'isht, lekin faqat uning ichiga g'isht solingan bo'lishi mumkin. Buni ko'rishning bir usuli kubni qismlarga ajratishdir kichikroq kubiklar navbat bilan qora va oq rangda. Ushbu rang boshqa rangga qaraganda ko'proq bitta birlik hujayralariga ega, ammo bu rang bilan g'isht har bir rangning teng miqdordagi kataklariga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun, g'isht bilan har qanday plitka qo'yish, har bir rangning teng miqdordagi katakchalariga ega bo'ladi, buning iloji yo'q.[4] De Bryuyn teoremasi, bu o'lchamlarga ega bo'lgan mukammal qadoqlash mumkin emasligini, g'isht va qutilarning boshqa o'lchamlariga taalluqli bo'lgan umumiyroq tarzda isbotlaydi.

G'ishtning ko'paytmasi bo'lgan qutilar

Aytaylik -o'lchovli to'rtburchaklar quti (matematik jihatdan a kubik ) bor tamsayı yon uzunliklar va g'ishtning uzunligi bor . Agar g'ishtning yon tomonlarini boshqa butun sonlar to'plami bilan ko'paytirish mumkin bo'lsa Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida a almashtirish ning , quti a deb nomlanadi bir nechta g'isht. Keyin qutini bunday g'ishtlar bilan barcha g'ishtlarni bir xil yo'naltirilgan holda ahamiyatsiz tarzda to'ldirish mumkin.[1]

Umumlashtirish

Har bir qadoqlashda bir necha g'ishtli qutilar mavjud emas. Masalan, de Bryuyn ta'kidlaganidek, a to'rtburchaklar qutini a nusxalari bilan to'ldirish mumkin to'rtburchaklar g'isht, garchi barcha g'ishtlar bir xil yo'naltirilmagan bo'lsa ham. Biroq, de Bryuyn (1969) agar g'ishtlar qutini to'ldirishi mumkin bo'lsa, demak har biri uchun ulardan kamida bittasi ko'p sonli. Yuqoridagi misolda uzunlik tomoni ikkalasining ham ko'paytmasi va .[1]

Garmonik g'ishtlar

De Bryuyn natijalarining ikkinchisi, de Bryuyn teoremasi, g'ishtning har bir tomoni keyingi kichik tomonning butun soniga teng bo'lgan holatga tegishli. De Bruijn ushbu xususiyat bilan g'ishtni chaqiradi harmonik. Masalan, eng ko'p ishlatiladigan g'isht AQShda o'lchamlari bor (dyuymda), bu garmonik emas, lekin "Rim g'ishtlari" sifatida sotiladigan g'ishtlarning turi garmonik o'lchamlarga ega .[5]

De Bryuyn teoremasida ta'kidlanganidek, agar garmonik g'isht qutiga solingan bo'lsa, u holda quti g'ishtning ko'paytmasi bo'lishi kerak. Masalan, yonma-yon uzunligi 1, 2 va 6 bo'lgan uch o'lchovli garmonik g'ishtni faqat uchta tomonning biri oltitaning ko'paytmasi bo'lgan, qolgan ikki tomonning biri esa tekis bo'lgan qutilarga qadoqlash mumkin.[1][6] Garmonik g'ishtning qutiga solinishi g'ishtning bir-biriga nisbatan aylantirilgan nusxalarini o'z ichiga olishi mumkin. Shunga qaramay, teorema shuni ko'rsatadiki, shu tarzda qadoqlash mumkin bo'lgan yagona qutilar - bu g'isht tarjimasi bilan ham qadoqlangan qutilar.

Boisen (1995) ning algebrasiga asoslangan de Bryuyn teoremasining uch o'lchovli holatining muqobil isboti taqdim etildi. polinomlar.[7]

Garmonik bo'lmagan g'ishtlar

Bruijn natijalarining uchinchisi shundan iboratki, agar g'isht harmonik bo'lmasa, unda u g'ishtning ko'paytmasi bo'lmagan qutini to'ldirishi mumkin. Qadoqlash ichiga g'isht box ushbu hodisaga misol keltiradi.[1]

An plitka bilan qoplangan quti g'isht, ish uchun va

Ikki o'lchovli holatda, de Bryuyn natijalarining uchdan birini tasavvur qilish oson. Olchamlari bo'lgan quti va bilan o'rash oson o'lchamlari bo'lgan g'ishtning nusxalari , yonma-yon joylashtirilgan. Xuddi shu sababga ko'ra, o'lchamlari bo'lgan quti va bir xil g'ishtning nusxalari bilan to'plash ham oson. Ushbu ikkita qutining uzun tomonlari parallel bo'lishi uchun ularni aylantirish va ularni yonma-yon joylashtirish, kattaroq qutining qadoqlanishiga olib keladi. va . Ushbu kattaroq quti g'ishtning ko'paytmasi, agar g'isht uyg'un bo'lsa.

Adabiyotlar

  1. ^ a b v d e de Bryuyn, N. G. (1969), "Qutilarni g'isht bilan to'ldirish", Amerika matematikasi oyligi, 76 (1): 37–40, doi:10.2307/2316785, JSTOR  2316785, JANOB  0234841.
  2. ^ Xonsberger, Ross (1976), Matematik toshlar II, Vashington, DC: Amerika matematik assotsiatsiyasi, p. 69, ISBN  9780883853009.
  3. ^ Nienhuys, J. V. (2011 yil 11 sentyabr), Kloks, Ton; Xang, Ling-Ju (tahr.), De Bryuynning kombinatorikasi: sinf yozuvlari, p. 156.
  4. ^ Uotkins, Jon J. (2012), Kengash bo'ylab: Shaxmat taxtasi matematikasi, Prinston universiteti matbuoti, p. 226, ISBN  9781400840922.
  5. ^ Kreh, R. T. (2003), Masonluk mahoratlari (5-nashr), Cengage Learning, p. 18, ISBN  9780766859364.
  6. ^ Shteyn, Sherman K.; Sabo, Shandor (1994), Algebra va kafel: geometriya xizmatidagi gomomorfizmlar, Carus matematik monografiyalari, 25, Vashington, DC: Amerika matematik assotsiatsiyasi, p. 52, ISBN  0-88385-028-1, JANOB  1311249.
  7. ^ Boisen, Pol (1995), "Polinomlar va qadoqlar: de Bryuyn teoremasining yangi isboti", Diskret matematika, 146 (1–3): 285–287, doi:10.1016 / 0012-365X (94) 00070-1, JANOB  1360122.

Tashqi havolalar