Aniq kvadratik shakl - Definite quadratic form

Yilda matematika, a aniq kvadrat shakli a kvadratik shakl ba'zilari ustidan haqiqiy vektor maydoni $V$ u xuddi shunday imzo ning har qanday nol bo'lmagan vektori uchun (har doim ijobiy yoki har doim salbiy) $V$ . O'sha belgiga ko'ra kvadratik shakl deyiladi ijobiy-aniq yoki salbiy-aniq.

A yarim cheksiz (yoki yarim aniq) kvadratik shakl deyarli bir xil tarzda aniqlanadi, faqat "har doim ijobiy" va "har doim salbiy" mos ravishda "har doim salbiy" va "har doim ijobiy bo'lmagan" bilan almashtiriladi. Boshqacha qilib aytganda, u nol qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

An noaniq kvadratik shakl ham ijobiy, ham manfiy qiymatlarni qabul qiladi va an deyiladi izotrop kvadratik shakl.

Umuman olganda, ushbu ta'riflar har qanday vektor maydoniga tegishli buyurtma qilingan maydon.^[1]

Bog'langan nosimmetrik bilinear shakl

Kvadratik shakllar bir-biriga mos keladi nosimmetrik bilinear shakllar bir xil maydonda.^[2] Nosimmetrik bilinear shakl ham tasvirlangan aniq, yarim cheksizva boshqalarni bog'liq kvadrat shakliga ko'ra. Kvadratik shakl $Q$ va unga bog'langan nosimmetrik bilinear shakl $B$ quyidagi tenglamalar bilan bog'liq:

{displaystyle {egin {hizalanmış} Q (x) & = B (x, x) B (x, y) & = B (y, x) = {frac {1} {2}} (Q (x + y) ) -Q (x) -Q (y)) oxiri {hizalanmış}}}

Oxirgi formula kengayishdan kelib chiqadi ${displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}$ .

Misollar

Misol tariqasida, ruxsat bering ${displaystyle V = mathbb {R} ^ {2}}$ va kvadrat shaklini ko'rib chiqing

{displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}

qayerda $x = (x 1, x 2)$ ${displaystyle in V}$ va $v 1$ va $v 2$ doimiydir. Agar $v 1 > 0$ va $v 2 > 0$ , kvadrat shakli $Q$ ijobiy-aniq, shuning uchun Q har doim ijobiy raqamga baho beradi ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) ekv (0,0).}$ Agar konstantalardan biri musbat, ikkinchisi 0 bo'lsa, u holda $Q$ ijobiy yarim cheksiz va har doim 0 yoki musbat songa baho beradi. Agar $v 1 > 0$ va $v 2 < 0$ , yoki aksincha, keyin $Q$ noaniq va ba’zan musbat songa, ba’zan salbiy songa baho beradi. Agar $v 1 < 0$ va $v 2 < 0$ , kvadrat shakli manfiy aniq va har doim har doim salbiy songa baho beradi ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) ekv (0,0).}$ Agar konstantalardan biri manfiy, ikkinchisi 0 ga teng bo'lsa $Q$ yarim yarim cheksiz va har doim 0 yoki salbiy songa baho beradi.

Umuman olganda, ikkita o'zgaruvchidagi kvadratik shaklda o'zaro bog'liqlik atamasi ham bo'ladi x₁x₂:

{displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2}. }

Ushbu kvadratik shakl ijobiy bo'lsa, aniqlanadi ${displaystyle c_ {1}> 0}$ va ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ agar salbiy bo'lsa ${displaystyle c_ {1} <0}$ va ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ va agar noaniq bo'lsa ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.}$ Bu ijobiy yoki salbiy yarim cheksiz, agar ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}$ belgisiga to'g'ri keladigan yarimfinitlik belgisi bilan ${displaystyle c_ {1}.}$

Ushbu ikki o'zgaruvchan kvadrat shakli kontekstida paydo bo'ladi konusning qismlari kelib chiqishi markazida. Agar yuqoridagi umumiy kvadratik shakl 0 ga tenglashtirilsa, hosil bo'lgan tenglama an ga teng bo'ladi ellips agar kvadratik shakl ijobiy yoki manfiy-aniq bo'lsa, a giperbola agar u muddatsiz bo'lsa va a parabola agar ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}$

Kvadrat Evklid normasi yilda n- o'lchov oralig'i, eng ko'p ishlatiladigan masofa o'lchovidir

{displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}.}

Ikki o'lchovda bu shuni anglatadiki, ikki nuqta orasidagi masofa kvadrat bo'ylab masofalar yig'indisining kvadrat ildizi ${displaystyle x_ {1}}$ o'qi va ${displaystyle x_ {2}}$ o'qi.

Matritsa shakli

Kvadratik shaklni atamalar bo'yicha yozish mumkin matritsalar kabi

{displaystyle x ^ {ext {T}} Ax}

qayerda x har qanday n×1 Dekart vektori ${displaystyle (x_ {1}, cdots, x_ {n}) ^ {ext {T}}}$ unda barcha elementlar 0 emas, yuqori belgi ^T a ni bildiradi ko'chirish va A bu n×n nosimmetrik matritsa. Agar A bu diagonal bu faqat kvadratik o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan atamalarni o'z ichiga olgan matritsasiz shaklga teng; lekin agar A nolga teng bo'lmagan har qanday diagonal bo'lmagan elementlarga ega, matritsasiz shaklda ikki xil o'zgaruvchiga ega bo'lgan ba'zi atamalar ham bo'ladi.

Ushbu kvadrat shaklning ijobiy yoki salbiy aniqligi yoki yarim aniqligi yoki noaniqligi tengdir ning xuddi shu xususiyati A, barchasini hisobga olgan holda tekshirilishi mumkin o'zgacha qiymatlar ning A yoki uning belgilarini tekshirish orqali asosiy voyaga etmaganlar.

Optimallashtirish

Belgilangan kvadratik shakllar o'zlarini osonlikcha qarzga berishadi optimallashtirish muammolar. Matritsaning kvadratik shakli chiziqli atamalar bilan kengaytirilgan deylik

{displaystyle x ^ {ext {T}} Ax + 2b ^ {ext {T}} x,}

qayerda b bu n脳 1 doimiy vektor. The birinchi darajali shartlar maksimal yoki minimal qiymatini belgilash orqali topiladi matritsa hosilasi nol vektoriga:

{displaystyle 2Ax + 2b = 0,}

berib

{displaystyle x = -A ^ {- 1} b}

taxmin qilish A bu bema'ni. Agar kvadratik shakl bo'lsa va shuning uchun A, ijobiy-aniq, ikkinchi darajali shartlar chunki bu vaqtda minimal darajaga erishiladi. Agar kvadratik shakl salbiy-aniq bo'lsa, maksimal uchun ikkinchi darajali shartlar bajariladi.

Bunday optimallashtirishning muhim namunasi paydo bo'ladi bir nechta regressiya, bu erda ma'lumotlar to'plamiga mukammal mos kelishidan kvadratik chetlanishlar yig'indisini minimallashtiradigan taxmin qilingan parametrlarning vektori qidiriladi.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Milnor va Husemoller 1973 yil, p. 61.
^ Bu faqat bitta maydonda amal qiladi xarakterli 2-dan tashqari, ammo bu erda biz faqat ko'rib chiqamiz buyurtma qilingan maydonlar, albatta 0 xususiyatiga ega.

Adabiyotlar

Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Kvadratik shakllarning arifmetikasi. Matematikadan Kembrij traktlari. 106. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
Lang, Serj (2004), Algebra, Matematikadan aspirantura matnlari, 211 (To'rtinchi bosma nashr, tahrirlangan uchinchi tahr.), Nyu-York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Nosimmetrik ikki tomonlama shakllar. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

[1] Milnor va Husemoller 1973 yil, p. 61.

[2] Bu faqat bitta maydonda amal qiladi xarakterli 2-dan tashqari, ammo bu erda biz faqat ko'rib chiqamiz buyurtma qilingan maydonlar, albatta 0 xususiyatiga ega.

[1]

[2]