Diagonal morfizm (algebraik geometriya) - Diagonal morphism (algebraic geometry) - Wikipedia

Algebraik geometriyada a berilgan sxemalarning morfizmi ${ displaystyle p: X to S}$, diagonal morfizm

${ displaystyle delta: X dan X marta _ {S} X}$

ning universal xususiyati bilan belgilanadigan morfizmdir tola mahsuloti ${ displaystyle X times _ {S} X}$ ning p va p shaxsga nisbatan qo'llaniladi ${ displaystyle 1_ {X}: X dan X} gacha$ va shaxsiyat ${ displaystyle 1_ {X}}$.

Bu $ a $ ning alohida holatidir graf morfizmi: morfizm berilgan ${ displaystyle f: X to Y}$ ustida S, uning graf morfizmi ${ displaystyle X to X times _ {S} Y}$ tomonidan qo'zg'atilgan ${ displaystyle f}$ va shaxsiyat ${ displaystyle 1_ {X}}$. Diagonal joylashtirish - bu morfizmning grafigi ${ displaystyle 1_ {X}}$.

Ta'rifga ko'ra, X a ajratilgan sxema ustida S (${ displaystyle p: X to S}$ a ajratilgan morfizm) agar diagonal morfizm a bo'lsa yopiq suvga cho'mish. Shuningdek, morfizm ${ displaystyle p: X to S}$ cheklangan taqdimotning mahalliy qismi an tasdiqlanmagan morfizm agar va faqat diagonal ko'mish ochiq suvga cho'mish bo'lsa.

Izoh

Misol tariqasida, algebraik xilma ustidan algebraik yopiq maydon k va ${ displaystyle p: X to operatorname {Spec} (k)}$ tuzilish xaritasi. Keyin, aniqlash X uning to'plami bilan k- oqilona fikrlar, ${ displaystyle X times _ {k} X = {(x, y) in X times X }}$ va ${ displaystyle delta: X dan X marta _ {k} X}$ sifatida berilgan ${ displaystyle x mapsto (x, x)}$; diagonal morfizm nomi qaerdan.

Alohida morfizm

A ajratilgan morfizm morfizmdir ${ displaystyle f}$ shunday tola mahsuloti ning ${ displaystyle f}$ o'zi bilan birga ${ displaystyle f}$ bor diagonal yopiq subkema sifatida - boshqacha aytganda diagonal morfizm a yopiq suvga cho'mish.

Natijada, sxema ${ displaystyle X}$ bu ajratilgan qachon diagonali ${ displaystyle X}$ ichida sxema mahsuloti ning ${ displaystyle X}$ o'zi bilan yopiq suvga cho'mish. Nisbatan nuqtai nazarni ta'kidlab, agar noyob morfizm bo'lsa, uni ajratish sxemasini teng ravishda belgilash mumkin ${ displaystyle X rightarrow { textrm {Spec}} ( mathbb {Z})}$ ajratilgan.

E'tibor bering a topologik makon Y bu Hausdorff agar diagonal joylashtirish

${ displaystyle Y { stackrel { Delta} { longrightarrow}} Y marta Y, , y mapsto (y, y)}$

yopiq. Algebraik geometriyada yuqoridagi formuladan foydalaniladi, chunki Xausdorff maydoni bo'lgan sxema albatta bo'sh yoki nol o'lchovli bo'ladi. Topologik va algebro-geometrik kontekst o'rtasidagi farq tolalar mahsulotining topologik tuzilishidan kelib chiqadi (sxemalar toifasida) ${ displaystyle X times _ {{ textrm {Spec}} ( mathbb {Z})} X}$, bu topologik bo'shliqlar mahsulotidan farq qiladi.

Har qanday afine sxema A xususiyati ajratilgan, chunki diagonal halqalarning sur'ektiv xaritasiga to'g'ri keladi (shu sababli sxemalarni yopiq immersiyasi):

${ displaystyle A otimes _ { mathbb {Z}} A rightarrow A, a otimes a ' mapsto a cdot a'}$.

Ruxsat bering ${ displaystyle S}$ identifikatsiya xaritasi orqali ikkita afin chizig'ini aniqlash orqali olingan sxema, kelib chiqishi manbalaridan tashqari (qarang) yopishtirish sxemasi # Misollar ). U ajratilmagan.^[1] Darhaqiqat, diagonal morfizmning tasviri ${ displaystyle S to S times S}$ Rasm ikkita kelib chiqishga ega, yopilishi esa to'rtta kelib chiqishga ega.

Kesishmalar nazariyasida foydalaning

Ni aniqlashning klassik usuli kesishish mahsuloti ning algebraik tsikllar ${ displaystyle A, B}$ a silliq xilma-xillik X ularning kartezyen mahsulotini diagonali (bilan) kesishishi (cheklashi) bilan: aniq,

${ displaystyle A cdot B = delta ^ {*} (A marta B)}$

qayerda ${ displaystyle delta ^ {*}}$ diagonal ko'mish bo'ylab orqaga tortishdir ${ displaystyle delta: X dan X marta X gacha$.

Shuningdek qarang

• muntazam ko'mish
• Diagonal morfizm

Adabiyotlar

• Xartshorn, Robin (1977), Algebraik geometriya, Matematikadan aspirantura matnlari, 52, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, JANOB  0463157

Bu algebraik geometriya bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.