Logarifmning diskret yozuvlari - Discrete logarithm records

Logarifmning diskret yozuvlari ni hal qilishda hozirgi kungacha erishilgan eng yaxshi natijalar alohida logaritma muammo, bu echimlarni topish muammosi x tenglamaga gx = h berilgan elementlar g va h cheklangan tsiklik guruh  G. Ushbu muammoning qiyinligi bir nechtasining xavfsizligi uchun asosdir kriptografik tizimlar, shu jumladan Diffie-Hellman asosiy kelishuv, ElGamal shifrlash, ElGamal imzo sxemasi, Raqamli imzo algoritmi, va egri chiziqli kriptografiya ularning o'xshashlari. Uchun umumiy tanlov G ushbu algoritmlarda ishlatiladigan modullarning multiplikativ guruhi kiradip, a ning multiplikativ guruhi cheklangan maydon va nuqtalar guruhi an elliptik egri chiziq ustidan cheklangan maydon.

Butun sonli modul p

  • 2019 yil 2-dekabr kuni Fabris Boudot, Perrik Gaudri, Avrore Guillevich, Nadiya Xeninger, Emmanuel Tome va Pol Zimmermann 240 raqamli (795 bit) asosiy modulni diskretli logarifma moduli bo'yicha hisoblashini e'lon qildi RSA-240 + 49204 (birinchi xavfsiz bosh RSA-240 dan yuqori). Ushbu hisoblash RSA-240ni faktorizatsiya qilish bilan bir vaqtda, Number Field Sieve algoritmi va ochiq manbali CADO-NFS dasturidan foydalangan holda amalga oshirildi. Hisoblashning diskret logaritma qismi taxminan 3100 yadro yilini tashkil etdi va Intel Xeon Gold 6130 protsessorlari mos yozuvlar sifatida (2,1 GGts) ishlatildi. Tadqiqotchilarning taxmin qilishicha, algoritmlar va dasturiy ta'minotni takomillashtirish ushbu hisob-kitobni apparatni takomillashtirishni hisobga olganidan keyin avvalgi yozuvlardan kutilganidan uch baravar tezroq amalga oshirdi. [1][2]

Butun sonli modul uchun oldingi yozuvlar p quyidagilarni o'z ichiga oladi:

  • 2016 yil 16-iyun kuni Thorsten Kleinjung, Klaus Diem, Arjen K. Lenstra, Kristin Priplata va Kolin Stahlke 232 xonali (768 bit) diskret logarifma modulini hisoblashini e'lon qilishdi. xavfsiz bosh, raqamli maydonchadan foydalanib. Hisoblash 2015 yil fevral oyida boshlangan va 2,6 gigagertsli chastotada Intel Xeon E5-2660 ga qadar taxminan 6600 asosiy yil davom etgan.[3]
  • 2005 yil 18 iyunda, Antuan Jou va Reynald Lercier 130 xonali (431 bit) alohida logarifma modulini hisoblashini e'lon qildi kuchli bosh 1,15 gigagertsli 16 protsessorli HP yordamida uch hafta ichida AlphaServer GS1280 kompyuter va a raqamli elak algoritm.[4]
  • 2007 yil 5 fevralda Thorsten Kleinjung tomonidan 160 raqamli (530 bit) modulli diskret logaritma hisoblash to'g'risida e'lon e'lon qilindi. xavfsiz bosh, yana raqamli maydonchadan foydalanib. Hisoblashning katta qismi har xil kompyuterlarda va parallel hisoblash klasterida bo'sh vaqtdan foydalangan holda amalga oshirildi.[5]
  • 2014 yil 11-iyun kuni Kiril Buvye, Perik Gaudri, Loran Imbert, Xamza Jeljeli va Emmanuel Tome disk maydonidagi elak algoritmidan foydalangan holda 180 xonali (596 bit) xavfsiz bosh modulli diskret logarifma hisoblashini e'lon qilishdi.[6]

Shuni ham ta'kidlash joizki, 2016 yil iyul oyida Joshua Frid, Perrik Gaudri, Nadiya Xeninger, Emmanuel Tome diskret logarifma hisob-kitoblarini 1024-bitli tubda nashr etishdi.[7] Ular nisbatan kichik kichik guruhda (160-bit) ixtisoslashgan algoritmdan foydalanib, maxsus sonli maydon elagiga sezgirlikni hosil qildilar. Bu kichik kichik guruh bo'lsa-da, 1024-bitli raqamli imzo algoritmi (DSA) bilan ishlatiladigan standartlashtirilgan kichik guruh hajmi edi.

Cheklangan maydonlar

Amaldagi rekord (2019 yil iyul holatiga ko'ra) 2-sonli xarakterli sohada Robert Granger, Thorsten Kleinjung, Arjen Lenstra, Benjamin Vesolovski va Yens Zumbrägel tomonidan 2019 yil 10-iyulda e'lon qilindi.[8] Ushbu jamoa GF da diskret logarifmlarni hisoblashga muvaffaq bo'ldi (230750) Intel Xeon arxitekturasiga asoslangan klasterlarda 25.481.219 yadro soatidan foydalanish. Ushbu hisoblash kvazi polinomial algoritmni yo'q qilish bosqichidan foydalangan holda birinchi keng ko'lamli misol bo'ldi.[9]

2-sonli xarakteristikadagi oldingi yozuvlar e'lon qilindi:

  • Robert Granger, Thorsten Kleinjung va Yens Zumbrägel 2014 yil 31 yanvarda. Ushbu jamoa GF da diskret logaritmalarni hisoblashga muvaffaq bo'ldi (29234) taxminan 400,000 asosiy soatdan foydalanish. Ushbu hisob-kitobning yangi xususiyatlariga ikkinchi darajali elementlarning logarifmlarini olishning o'zgartirilgan usuli va tizimli ravishda optimallashtirilgan tushish strategiyasi kiradi.[10]
  • Antuan Jou 2013 yil 21 mayda. Uning jamoasi maydonda diskret logarifmlarni 2 bilan hisoblashga muvaffaq bo'ldi.6168 = (2257)24 550 CPU-soatdan kam vaqtni ishlatadigan elementlar. Ushbu hisoblash indekslarni hisoblash algoritmi yordamida maydonda yaqinda 2 bilan hisoblashda bo'lgani kabi amalga oshirildi4080 elementlar.[11]
  • Robert Granger, Faruk Go'lo'g'li, Gari Makguayr va Yens Zumbrägel 2013 yil 11 aprelda. Yangi hisoblash maydonga tegishli 26120 elementlarni tashkil etdi va 749,5 yadro-soatni tashkil etdi.
  • Antuan Jou 2013 yil 22-mart kuni. Bunda xuddi shu algoritm ishlatilgan [12] maydon bilan oldingi hisoblash kabi kichik xarakterli maydonlar uchun1778 elementlar. Yangi hisoblash 2 ga tegishli maydonga tegishli4080 maydonning 2 bilan 255 darajali kengaytmasi sifatida ifodalangan elementlar16 elementlar. Hisoblash 14100 asosiy soatdan kam davom etdi.[13]
  • 2013 yil 19-fevral kuni Robert Granjer, Faruk Go'log'lu, Gari Makguayr va Yens Zumbrägel. Ular o'rta bazaning yangi variantidan foydalanganlar. funktsiya maydonchasi elagi, ikkilik maydonlar uchun 2-maydonda diskret logarifmni hisoblash1971 elementlar. O'rta kattalikdagi tayanch maydonidan foydalanish uchun ular maydonni 2 darajadagi 73 daraja kengaytmasi sifatida namoyish etdilar27 elementlar. Hisoblash Intel (Westmere) Xeon E5650 olti yadroli protsessorlari yordamida SGI Altix ICE 8200EX klasterida 3132 soat davom etdi.[14]
  • Antuan Jou 2013 yil 11 fevralda. Bunda kichik xarakteristikalar uchun yangi algoritm ishlatilgan. Hisoblash 2 maydoniga tegishli1778 elementlar, maydonning 127 darajali kengaytmasi sifatida ko'rsatilgan14 elementlar. Hisoblash 220 asosiy soatdan kam davom etdi.[15]

Amaldagi rekord (2014 yil holatiga ko'ra) 2 darajali xarakterli sonli sohada Thorsten Kleinjung tomonidan 2014 yil 17 oktyabrda e'lon qilingan. Hisoblash 2 maydonida qilingan1279 elementlari va asosan chizilgan yo'lni ta'qib qilgan yilda[16] chiziqli algebra hisoblash va tushish bosqichidagi ikkita asosiy istisno bilan. Umumiy ishlash muddati to'rt asosiy yildan kam edi.[17] Old darajadagi 2 darajali xarakterli sohadagi oldingi rekordni CARAMEL guruhi 2013 yil 6 aprelda e'lon qilgan edi. funktsiya maydonchasi elagi maydonida diskret logarifmni hisoblash809 elementlar.[18]

Amaldagi rekord (2016 yil iyul holatiga ko'ra) xarakterli maydon uchun Gora Adj, Isaak Kanales-Martines, Nareli Kruz-Kortes, Alfred Menezes, Thomaz Oliveyra, Fransisko Rodriges-Henrikes va Luis Rivera-Zamarripa tomonidan 2016 yil 18 iyunda e'lon qilingan. Hisoblash 3 bilan 4841 bitli cheklangan maydon6 · 509 elementlari va bir nechta kompyuterlarda bajarilgan CINVESTAV va Vaterloo universiteti. Umuman olganda, hisoblash uchun taxminan 200 asosiy yil vaqt sarflandi.[19]

3 xarakteristikasining so'nggi sohasidagi oldingi yozuvlar e'lon qilindi:

  • Joux and Pierrot-ning Asiacrypt 2014 qog'ozining to'liq versiyasida (2014 yil dekabr).[20] DLP GF maydonida hal qilinadi (35 · 479), bu 3796 bitli maydon. Ushbu ish maydonning Kummer yoki o'ralgan-Kummer xususiyatlari kabi har qanday "maxsus" jihatlaridan foydalanmadi. Umumiy hisoblash 8600 CPU-soatdan kam vaqtni oldi.
  • 2014 yil 26-fevralda Gora Adj, Alfred Menezes, Tmazaz Oliveyra va Fransisko Rodriges-Henriquez tomonidan 2014 yil 27 yanvarda avvalgi e'lon yangilangan. Hisoblash DLP-ni 1551 bitli GF maydonida hal qiladi (36 · 163), 1201 CPU soatni oladi.[21][22]
  • 2012 yilda Fujitsu, NICT va Kyushu universiteti qo'shma jamoasi tomonidan 3 ta maydonda alohida logaritma hisoblangan.6 · 97 elementlar va hajmi 923 bit,[23] ning o'zgarishini ishlatib funktsiya maydonchasi elagi va oldingi rekordni 3 maydonida mag'lub etish6 · 71 elementlar va hajmi 676 bit keng chegarada.[24]

"O'rtacha" o'lchamdagi xarakterli maydonlar bo'yicha 2005 yildagi e'tiborga loyiq hisob-kitoblar 65537 maydonni o'z ichiga olgan.25 elementlar (401 bit) 2005 yil 24 oktyabrda e'lon qilingan va 370801 maydonida30 elementlar (556 bit) 2005 yil 9-noyabrda e'lon qilingan.[25] "O'rtacha" xarakteristikaning so'ngi maydoni bo'yicha joriy rekord (2013 yil holatiga ko'ra) 2013 yil 6 yanvarda e'lon qilindi. Jamoa yangi o'zgarishni qo'lladi funktsiya maydonchasi elagi 33341353 maydonida diskret logarifmni hisoblash uchun o'rtacha bosh harf uchun57 elementlar (1425 bitli cheklangan maydon).[26][27] Xuddi shu texnikadan bir necha hafta oldin 33553771 maydonida diskret logarifmni hisoblash uchun foydalanilgan47 elementlar (1175 bitli cheklangan maydon).[27][28]

2014 yil 25 iyunda Razvan Barbulesku, Perrik Gaudri, Avrore Guillevich va Fransua Moreyn tartiblari 160 raqamdan iborat bo'lgan va asosiy maydonning 2 darajali kengaytmasi bo'lgan cheklangan maydonda diskret logarifmaning yangi hisoblanishini e'lon qildilar.[29] Algoritm turli xil modifikatsiyali, sonli maydon elagi (NFS) ishlatilgan. Hisoblashning umumiy vaqti protsessorning bir yadrosida 68 kunga (elakda) va GPU (chiziqli algebra) da 30 soatga teng edi.

Elliptik egri chiziqlar

Sertifikat Corp. Elliptik egri kriptografiyasining bir qator muammolarini chiqardi. I darajaga 109 va 131 bit o'lchamdagi maydonlar kiradi. II darajaga 163, 191, 239, 359 bit o'lchamlari kiradi. Hozirgi vaqtda II darajadagi barcha qiyinchiliklarni hisoblash mumkin emas deb hisoblashadi.[30]

I darajadagi muammolar quyidagilar:[31]

  • ECC2K-108, a-ga diskret logarifma olishni o'z ichiga oladi Koblitz egri chizig'i 2 maydon ustida108 elementlar. Sovrin 2000 yil 4 aprelda Robert Xarli vakili bo'lgan 1300 kishilik guruhga topshirildi. Ular parallel ravishda ishlatilgan Pollard rho usuli tezlashtirish bilan.
  • ECC2-109, 2-maydon bo'yicha egri chiziq bo'yicha diskret logarifma olishni o'z ichiga oladi109 elementlar. Sovrin 2004 yil 8 aprelda Kris Moniko vakili bo'lgan 2600 kishilik guruhga topshirildi. Shuningdek, ular parallellashtirilgan versiyadan foydalanganlar Pollard rho usuli, taqvim vaqtining 17 oyini olish.
  • ECCp-109, 109-bitli oddiy modulga egri chiziq bo'yicha alohida logarifma olishni o'z ichiga oladi. Sovrin 2002 yil 15 aprelda Kris Moniko tomonidan namoyish etilgan 10308 kishilik guruhga topshirildi. Yana bir bor, ular parallellashtirilgan versiyadan foydalanishdi Pollard rho usuli, taqvimiy vaqt 549 kunni oladi.

2019 yilga kelib 131-bitli (yoki kattaroq) muammolarning hech biri bajarilmagan.

2009 yil iyul oyida Joppe W. Bos, Marcelo E. Kayhara, Thorsten Kleinjung, Arjen K. Lenstra va Piter L. Montgomeri elliptik egri chiziq bo'yicha diskret logarifma hisob-kitoblarini amalga oshirganlarini e'lon qildi (secp112r1 nomi bilan tanilgan[32]) 112-bitli modul. Hisoblash 200 dan ortiq klasterda amalga oshirildi PlayStation 3 taxminan 6 oy davomida o'yin konsollari. Ning umumiy parallellashtirilgan versiyasidan foydalanganlar Pollard rho usuli.[33]

2014 yil aprel oyida, Erix Venger va Pol Volfger dan Graz Texnologiya Universiteti 113 yadroli Koblitz egri chizig'ining diskret logarifmini 18 yadro yordamida ekstrapolyatsiyalangan 24 kun ichida hal qildi Virtex-6 FPGA klaster.[34] 2015 yil yanvar oyida o'sha tadqiqotchilar 113 bitli ikkilik maydon ustida aniqlangan elliptik egri chiziqning diskret logarifmini echishdi. O'rtacha ish vaqti 10 yadrodan foydalangan holda taxminan 82 kun Kintex-7 FPGA klaster.[35]

2016 yil 2-dekabrda, Daniel J. Bernshteyn, Susanne Engels, Tanja Lange, Ruben Niederhagen, Kristof Paar, Piter Shvabe va Ralf Zimmermann parallel 117.35 bitli elliptik egri chiziqli diskret logaritma masalasini ikkilik egri chiziq bo'yicha hal etilishini e'lon qildi, unga parallel versiyasini optimallashtirilgan FPGA dasturidan foydalangan holda Pollardning rho algoritmi. Hujum taxminan olti oy davomida parallel ravishda 64 dan 576 gacha bo'lgan FPGA-larda davom etdi.[36]

2017 yil 23 avgustda Takuya Kusaka, Sho Joichi, Ken Ikuta, Al-Amin Xandaker, Yasuyuki Nogami, Satoshi Uehara, Nariyoshi Yamay va Silvayn Dukne 114-bitli "juftlik" bo'yicha diskret logaritma muammosini hal qilishganini e'lon qilishdi. do'stona "Barreto-Naehrig (BN) egri chizig'i,[37] Pollardning rho usulining tasodifiy yurishini samarali bajarish uchun BN egri chizig'ining maxsus sekstik burilish xususiyatidan foydalangan holda. Amalga oshirishda 2000 protsessor yadrosi ishlatilgan va muammoni hal qilish uchun taxminan 6 oy davom etgan.[38]

2020 yil 16-iyun kuni Aleksandr Zienevich (zielar) va Jan Lyuk Pons (JeanLucPons ) 114-bitli yopiq kalitni Bitcoin Puzzle Transaction Challenge-da echish orqali secp256k1 egri chizig'ida 114-bitli intervalli elliptik egri chiziqli diskret logaritma masalasini hal qilishni e'lon qildi. Yangi rekord o'rnatish uchun ular o'zlarining dasturiy ta'minotlaridan foydalanishdi [39] asosida Pollard kengurusi 256x NVIDIA Tesla V100 GPU protsessori va ularga 13 kun kerak bo'ldi. Ikki hafta oldin - Ular faqat 3 kun ichida 109 bitli intervalli ECDLP ni echish uchun bir xil miqdordagi grafik kartalardan foydalanganlar.

Adabiyotlar

  1. ^ Emmanuel Tome, "795-bitli faktoring va diskretli logaritmalar" 2019 yil 2-dekabr.
  2. ^ F. Budot va boshq. "Faktorizatsiya va diskretli logaritmni qiyoslash: 240 xonali tajriba" 2020 yil 10-iyun.
  3. ^ Thorsten Kleinjung, "GF-dagi diskret logaritmalar (p) - 768 bit ” 2016 yil 16-iyun.
  4. ^ Antuan Jou, "GF-dagi diskret logaritmalar (p) - 130 raqam ” 2005 yil 18-iyun.
  5. ^ Torsten Kleinjung, "GF-dagi diskret logaritmalar (p) - 160 ta raqam » 2007 yil 5-fevral.
  6. ^ Kiril Buvye, Perik Gaudri, Loran Imbert, Hamza Jeljeli va EmmanuelTom, "GF-dagi diskret logaritmalar (p) - 180 raqam "
  7. ^ Joshua Frid, Perrik Gaudri, Nadiya Xeninger, Emmanuel Tome, "Kilobitli maxfiy snfs diskret logaritma hisoblashi", IACR bahor, 2016 yil iyul
  8. ^ Jens Zumbrägel, "GFdagi diskret logaritmalar (2 ^ 30750)", 2019 yil 10-iyul, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;62ab27f0.1907.
  9. ^ R. Granger, T. Kleinjung, J. Zumbragel. Belgilangan xarakteristikaning cheklangan maydonlarida diskret logaritma masalasida. Trans. Amer. Matematika doktori 370, yo'q. 5 (2018), 3129-3145-betlar.
  10. ^ Jens Zumbrägel, "GFdagi diskret logaritmalar (2 ^ 9234)", 31 yanvar 2014 yil, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;9aa2b043.1401.
  11. ^ Antuan Jou, "GFdagi diskret logaritmalar (2.)6168) [= GF ((2257)24)] ", 2013 yil 21-may, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1305&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=3034.
  12. ^ Antuan Jou. $ L (1/4 + o (1)) $ murakkabligi bilan yangi indekslarni hisoblash algoritmi, juda kichik xarakteristikada, 2013 yil http://eprint.iacr.org/2013/095
  13. ^ Antuan Jou, "GFdagi diskret logaritmalar (2.)4080) ", 2013 yil 22-mart, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1303&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=13682.
  14. ^ Faruk Gologlu va boshq., Funktsiya maydonchasi elagi va yuqori bo'linish ehtimollarining ta'siri to'g'risida: alohida logaritmalarni qo'llash , 2013, http://eprint.iacr.org/2013/074.
  15. ^ Antuan Jou, "GFdagi diskret logaritmalar (2.)1778) ", 2013 yil 11 fevral, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1302&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=2317.
  16. ^ Greynjer, Robert, Thorsten Kleinjung va Yens Zumbrägel. "128 bitli xavfsiz" supersingular ikkilik egri chiziqlarni sindirish (yoki diskret logaritmalarni qanday echish mumkin va ). ”Deb nomlangan. arXiv: 1402.3668 [cs, Math], 15 fevral, 2014 yil. https://arxiv.org/abs/1402.3668.
  17. ^ Thorsten Kleinjung, 2014 yil 17 oktyabr, "GF (2 ^ 1279) da diskret logaritmalar" " https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;256db68e.1410.
  18. ^ CARAMEL guruhi: Razvan Barbulesku va Kiril Buvier va Jeremi Drey va Perrik Gaudri va Hamza Jeljeli va Emmanuel Tome va Marion Videu va Pol Zimmermann, "GFdagi diskret logaritma (2809) FFS bilan ", 2013 yil 6-aprel, http://eprint.iacr.org/2013/197.
  19. ^ Francisco Rodriguez-Henriquez, 2016 yil 18-iyul, "GF-dagi diskret logaritmalar (3 ^ {6 * 509})", https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;65bedfc8.1607.
  20. ^ "Arxivlangan nusxa" (PDF). Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2014-12-11. Olingan 2014-12-11.CS1 maint: nom sifatida arxivlangan nusxa (havola)
  21. ^ Fransisko Rodriges-Henriquez, "E'lon", 2014 yil 27-yanvar, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;763a9e76.1401.
  22. ^ Gora Adj va Alfred Menezes va Tomaz Oliveyra va Fransisko Rodrigez-Henrikes, "Magma yordamida F_ {3 ^ {6 * 137}} va F_ {3 ^ {6 * 163}} da diskret logaritmalarni hisoblash", 2014 yil 26-fevral, http://eprint.iacr.org/2014/057.
  23. ^ Kyushu universiteti, NICT va Fujitsu laboratoriyalari keyingi avlod kriptografiyasining rekord kriptanaliziga erishdi, 2012 yil, http://www.nict.go.jp/en/press/2012/06/PDF-att/20120618en.pdf.
  24. ^ Takuya Xayashi va boshq., 676-bitli diskret logaritma masalasini GF da echish (36n), 2010, http://eprint.iacr.org/2010/090.
  25. ^ A. Durand, "Ko'p sonli hisob-kitoblarda yangi yozuvlar", Xavfsizlik yangiliklari, 2005 yil yanvar, http://eric-diehl.com/letter/Newsletter1_Final.pdf Arxivlandi 2011-07-10 da Orqaga qaytish mashinasi.
  26. ^ Antuan Jou, "1425-bitli cheklangan maydonda diskret logaritmalar", 2013 yil 6-yanvar, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1301&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=2214.
  27. ^ a b O'rta bosh harf uchun tezroq indeksni hisoblash. 1175 va 1425 bitli cheklangan maydonlarga dastur, Eprint arxivi, http://eprint.iacr.org/2012/720
  28. ^ Antuan Jou, "1175-bitli cheklangan maydonda diskret logaritmalar", 2012-yil 24-dekabr, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1212&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=13902.
  29. ^ Razvan Barbulesku, "GFdagi diskret logaritmalar (p ^ 2) --- 160 ta raqam", 2014 yil 24 iyun, https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;2ddabd4c.1406.
  30. ^ Certicom Corp., "Certicom ECC Challenge", https://www.certicom.com/content/certicom/en/the-certicom-ecc-challenge.html
  31. ^ Certicom Research, Certicom ECC Challenge (Certicom Research, 2009 yil 10-noyabr), "Arxivlangan nusxa" (PDF). Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2015-10-22. Olingan 2010-12-30.CS1 maint: nom sifatida arxivlangan nusxa (havola) .
  32. ^ Certicom Research, "SEC 2: Tavsiya etilgan elliptik egri domen parametrlari" https://www.secg.org/SEC2-Ver-1.0.pdf
  33. ^ Joppe W. Bos va Marcelo E. Kayhara, "PlayStation 3 hisoblash 2 ^ 60 to'siqni buzadi: 112 bitli asosiy ECDLP hal qilindi", EPFL kriptologik algoritmlar laboratoriyasi - LACAL, http://lacal.epfl.ch/112bit_prime
  34. ^ Erix Venger va Pol Vulfger, "FPGA klasteri bilan 113-bitli Koblitz egri chizig'ining diskret logaritmini echish" http://eprint.iacr.org/2014/368
  35. ^ Erix Venger va Pol Volfger, "FPGA'larda elliptik egri chiziqli alohida logaritm hisoblari", "Qattiqroq, yaxshiroq, tezroq, kuchliroq" http://eprint.iacr.org/2015/143/
  36. ^ Ruben Niederhagen, "Ikkilik egri chizig'idagi 117.35 bitli ECDLP," https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;628a3b51.1612[o'lik havola ]
  37. ^ "BN egri chizig'idagi 114-bitli ECDLP hal qilindi". Olingan 2018-05-03.
  38. ^ Kusaka, Takuya; Joichi, Sho; Ikuta, Ken; Xandaker, Al-Amin xonim; Nogami, Yasuyuki; Uehara, Satoshi; Yamai, Nariyoshi; Duquesne, Sylvain (2018). "Barreto-Naehrig egri chizig'i uchun 114-bitli ECDLP-ni echish" (PDF). Axborot xavfsizligi va kriptologiya - ICISC 2017. Springer. 231–244 betlar. doi:10.1007/978-3-319-78556-1_13.
  39. ^ Pons, Jan-Lyuk; Zienevich, Aleksandr. "SECPK1 uchun Pollard kengurusi".

Tashqi havolalar