Tarqatilgan parametrlar tizimi - Distributed parameter system

Yilda boshqaruv nazariyasi, a tarqatilgan parametrlar tizimi (a dan farqli o'laroq bir martalik parametrlar tizimi ) a tizim kimning davlat maydoni cheksizdiro'lchovli. Shuning uchun bunday tizimlar cheksiz o'lchovli tizimlar deb ham ataladi. Odatda, misollar tomonidan tavsiflangan tizimlar mavjud qisman differentsial tenglamalar yoki tomonidan differentsial tenglamalarni kechiktirish.

Lineer vaqt-o'zgarmas taqsimlangan parametr tizimlari

Mavhum evolyutsiya tenglamalari

Diskret vaqt

Bilan U, X va Y Hilbert bo'shliqlari va ${displaystyle A,}$ ∈ L(X), ${displaystyle B,}$ ∈ L(U, X), ${displaystyle C,}$ ∈ L(X, Y) va ${displaystyle D,}$ ∈ L(U, Y) quyidagi farq tenglamalari diskret vaqtni aniqlang chiziqli vaqt-o'zgarmas tizim:

{displaystyle x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k),}

{displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k),}

bilan ${displaystyle x,}$ (holat) in qiymatlari bo'lgan ketma-ketlik X, ${displaystyle u,}$ (kirish yoki boshqarish) qiymatlari bo'lgan ketma-ketlik U va ${displaystyle y,}$ (chiqish) qiymatlari bilan ketma-ketlik Y.

Doimiy vaqt

Uzluksiz vaqt ishi diskret vaqt holatiga o'xshaydi, ammo endi farq tenglamalari o'rniga differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz:

{displaystyle {nuqta {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t),}

,

{displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t),}

.

Ammo hozirda yana bir murakkablik shuki, qisman differentsial tenglamalar kabi qiziqarli fizikaviy misollarni kiritish va differentsial tenglamalarni ushbu mavhum doiraga kechiktirish. cheksiz operatorlar. Odatda A hosil qiladi deb taxmin qilinadi kuchli uzluksiz yarim guruh davlat makonida X. Faraz qiling B, C va D. cheklangan operatorlar ko'plab qiziqarli jismoniy misollarni kiritishga imkon beradi,^[1] ammo boshqa ko'plab qiziqarli jismoniy misollarning kiritilishi cheksizdir B va C shuningdek.

Misol: qisman differentsial tenglama

Bilan qisman differentsial tenglama ${displaystyle t> 0}$ va ${displaystyle xi [0,1]} da$ tomonidan berilgan

{displaystyle {frac {qisman} {qisman t}} w (t, xi) = - {frac {qisman} {qisman xi}} w (t, xi) + u (t),}

{displaystyle w (0, xi) = w_ {0} (xi),}

{displaystyle w (t, 0) = 0,}

{displaystyle y (t) = int _ {0} ^ {1} w (t, xi), dxi,}

yuqorida ta'riflangan mavhum evolyutsiya tenglamasi tizimiga mos keladi. Kirish maydoni U va chiqish maydoni Y ikkalasi ham murakkab sonlar to'plami sifatida tanlangan. Davlat maydoni X bo'lish uchun tanlangan L²(0, 1). Operator A sifatida belgilanadi

{displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = chap {xin X: x {ext {mutlaqo doimiy}}, x'in L ^ {2} (0,1) {ext {va}} x (0) = 0ight}.}

Buni ko'rsatish mumkin^[2] bu A kuchli uzluksiz hosil qiladi yarim guruh kuni X. Chegaralangan operatorlar B, C va D. sifatida belgilanadi

{displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = int _ {0} ^ {1} x (xi), dxi, ~~~ D = 0.}

Misol: kechikish differentsial tenglamasi

Kechikish differentsial tenglamasi

{displaystyle {nuqta {w}} (t) = w (t) + w (t- au) + u (t),}

{displaystyle y (t) = w (t),}

yuqorida ta'riflangan mavhum evolyutsiya tenglamasi tizimiga mos keladi. Kirish maydoni U va chiqish maydoni Y ikkalasi ham murakkab sonlar to'plami sifatida tanlangan. Davlat maydoni X bilan kompleks sonlarning ko'paytmasi sifatida tanlangan L²(−τ, 0). Operator A sifatida belgilanadi

{displaystyle A {egin {pmatrix} r fend {pmatrix}} = {egin {pmatrix} r + f (- au) f'end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = chap {{egin { pmatrix} r fend {pmatrix}} ichida X: f {ext {mutlaqo doimiy}}, f'in L ^ {2} ([- au, 0]) {ext {va}} r = f (0) ight }.}

Buni ko'rsatish mumkin^[3] bu A X da kuchli uzluksiz yarim guruh yaratadi B, C va D. sifatida belgilanadi

{displaystyle Bu = {egin {pmatrix} u 0end {pmatrix}}, ~~~ C {egin {pmatrix} r fend {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}

Funksiyalarni uzatish

Sonli o'lchovli holatda bo'lgani kabi uzatish funktsiyasi orqali aniqlanadi Laplasning o'zgarishi (doimiy vaqt) yoki Z-konvertatsiya qilish (diskret vaqt). Cheklangan o'lchovli holatda, uzatish funktsiyasi to'g'ri oqilona funktsiya bo'lsa, davlat makonining cheksiz o'lchovliligi irratsional funktsiyalarga olib keladi (ular hanuzgacha mavjud holomorfik ).

Diskret vaqt

Diskret vaqt ichida uzatish funktsiyasi holat fazoviy parametrlari bo'yicha berilgan ${displaystyle D + sum _ {k = 0} ^ {infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$ va u kelib chiqishi markazida joylashgan diskda holomorfikdir.^[4] Holda 1 /z ning rezoventsion to'plamiga tegishli A (bu boshida markazlashtirilgan, ehtimol kichikroq diskda), uzatish funktsiyasi tengdir ${displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$ . Qizig'i shundaki, nolga teng bo'lgan har qanday funktsiya ba'zi bir diskret vaqt tizimining uzatish funktsiyasidir.

Doimiy vaqt

Agar A kuchli uzluksiz yarim guruh yaratadi va B, C va D. chegaralangan operatorlar, keyin^[5] uzatish funktsiyasi holat fazoviy parametrlari bo'yicha berilgan ${displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$ uchun s tomonidan yaratilgan yarim guruhning eksponent o'sish chegarasidan kattaroq haqiqiy qismi bilan A. Ko'proq umumiy holatlarda ushbu formulaning ma'nosi ham bo'lmasligi mumkin, ammo ushbu formulaning tegishli umumlashtirilishi hanuzgacha davom etmoqda.^[6]O'tkazish funktsiyasi uchun oson ifodani olish uchun yuqoridagi misollarda quyida ko'rsatilgan holat kosmik formulalarini ishlatishdan ko'ra, Laplas konvertatsiyasini berilgan differentsial tenglamada olish yaxshiroqdir.

Qisman differentsial tenglama misoli uchun uzatish funktsiyasi

Dastlabki shartni o'rnatish ${displaystyle w_ {0}}$ nolga teng va Laplasning o'zgarishini bildiradi t katta harflar bilan biz yuqorida berilgan qisman differentsial tenglamadan olamiz

{displaystyle sW (s, xi) = - {frac {d} {dxi}} W (s, xi) + U (s),}

{displaystyle W (s, 0) = 0,}

{displaystyle Y (s) = int _ {0} ^ {1} W (s, xi), dxi.}

Bu bilan bir hil bo'lmagan chiziqli differentsial tenglama ${displaystyle xi}$ o'zgaruvchi sifatida, s parametr va boshlang'ich shart nolga teng. Yechim ${displaystyle W (s, xi) = U (s) (1-e ^ {- sxi}) / s}$ . Buni tenglama bilan almashtirish Y va integratsiya beradi ${displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$ uzatish funktsiyasi shunday bo'ladi ${displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$ .

Kechikish differentsial tenglamasi uchun uzatish funktsiyasi

Qisman differentsial tenglama misolida bo'lgani kabi, kechikish tenglamasi uchun uzatish funktsiyasi ham bo'ladi^[7] ${displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$ .

Boshqarish qobiliyati

Cheksiz o'lchovli holatda bir nechta ekvivalent bo'lmagan ta'riflar mavjud boshqarish qobiliyati bu cheklangan o'lchovli holat uchun odatdagi boshqariladigan tushunchaga qulaydi. Boshqarishning uchta eng muhim tushunchalari:

To'liq nazorat qilish,
Taxminan boshqarish qobiliyati,
Nol nazorati.

Diskret vaqtdagi boshqarish

Xaritalar muhim rol o'ynaydi ${displaystyle Phi _ {n}}$ barchasi majmui xaritasi U $ X $ ga to'g'ri keladigan ketma-ketliklar va tomonidan berilgan ${displaystyle Phi _ {n} u = sum _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$ . Tafsir shu ${displaystyle Phi _ {n} u}$ kirish ketma-ketligini qo'llash orqali erishiladigan holat siz dastlabki shart nolga teng bo'lganda. Tizim deyiladi

o'z vaqtida to'liq boshqarilishi mumkin n agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {n}}$ teng X,
o'z vaqtida taxminan boshqarilishi mumkin n agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {n}}$ zich X,
o'z vaqtida null boshqarilishi mumkin n agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {n}}$ qatorini o'z ichiga oladi Aⁿ.

Uzluksiz vaqt ichida boshqarish imkoniyati

Uzluksiz vaqt tizimlarini boshqarishda xarita ${displaystyle Phi _ {t}}$ tomonidan berilgan ${displaystyle int _ {0} ^ {t} {m {e}} ^ {As} Bu (lar), ds}$ rol o'ynaydi ${displaystyle Phi _ {n}}$ diskret vaqtda o'ynaydi. Biroq, endi ushbu operator ishlaydigan boshqaruv funktsiyalari maydoni ta'rifga ta'sir qiladi. Odatiy tanlov L²(0, ∞;U), (ekvivalentlik sinflari) maydoni U(0, ∞) oralig'idagi kvadrat integral funktsiyalari, lekin shunga o'xshash boshqa tanlovlar L¹(0, ∞;U) mumkin. Boshqarish qobiliyatining turli xil tushunchalari domenidan keyin aniqlanishi mumkin ${displaystyle Phi _ {t}}$ tanlangan. Tizim deyiladi^[8]

o'z vaqtida to'liq boshqarilishi mumkin t agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {t}}$ teng X,
o'z vaqtida taxminan boshqarilishi mumkin t agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {t}}$ zich X,
o'z vaqtida null boshqarilishi mumkin t agar oralig'i ${displaystyle Phi _ {t}}$ qatorini o'z ichiga oladi ${displaystyle {m {e}} ^ {At}}$ .

Kuzatuvchanlik

Sonli o'lchovli holatda bo'lgani kabi, kuzatuvchanlik boshqaruvning ikki tomonlama tushunchasi. Cheksiz o'lchovli holatda cheklangan o'lchovli holatda mos keladigan bir necha xil kuzatuv tushunchalari mavjud. Eng muhim uchta narsa:

Aniq kuzatuvchanlik (doimiy kuzatuvchanlik deb ham ataladi),
Taxminan kuzatuvchanlik,
Oxirgi holat kuzatilishi.

Diskret vaqtdagi kuzatuv

Xaritalar muhim rol o'ynaydi ${displaystyle Psi _ {n}}$ qaysi xarita X hamma makoniga Y qiymatli ketma-ketliklar va tomonidan berilgan ${displaystyle (Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$ agar k ≤ n va agar nol bo'lsa k > n. Tafsir shu ${displaystyle Psi _ {n} x}$ boshlang'ich sharti bilan qisqartirilgan chiqish x va nolni boshqaring. Tizim deyiladi

vaqtida aniq kuzatilishi mumkin n agar mavjud bo'lsa a k_n > 0 shunday ${displaystyle | Psi _ {n} x | geq k_ {n} | x |}$ Barcha uchun x ∈ X,
vaqtida kuzatilishi mumkin n agar ${displaystyle Psi _ {n}}$ bu in'ektsion,
o'z vaqtida kuzatiladigan yakuniy holat n agar mavjud bo'lsa a k_n > 0 shunday ${displaystyle | Psi _ {n} x | geq k_ {n} | A ^ {n} x |}$ Barcha uchun x ∈ X.

Uzluksiz vaqt davomida kuzatuvchanlik

Uzluksiz vaqt tizimlarini kuzatish imkoniyati bo'yicha xarita ${displaystyle Psi _ {t}}$ tomonidan berilgan ${displaystyle (Psi _ {t}) (s) = C {m {e}} ^ {As} x}$ uchun s∈ [0, t] va uchun nol s> t rol o'ynaydi ${displaystyle Psi _ {n}}$ diskret vaqtda o'ynaydi. Shu bilan birga, ushbu operator xaritaga tushadigan funktsiyalar maydoni endi ta'rifga ta'sir qiladi. Odatiy tanlov L²(0, ∞, Y), (ekvivalentlik sinflari) maydoni Y- intervaldagi kvadratik integral funktsiyalar (0,∞)kabi boshqa tanlovlar L¹(0, ∞, Y) mumkin. Ning ko-domenidan keyin kuzatiladigan har xil tushunchalarni aniqlash mumkin ${displaystyle Psi _ {t}}$ tanlangan. Tizim deyiladi^[9]

vaqtida aniq kuzatilishi mumkin t agar mavjud bo'lsa a k_t > 0 shunday ${displaystyle | Psi _ {t} x | geq k_ {t} | x |}$ Barcha uchun x ∈ X,
vaqtida kuzatilishi mumkin t agar ${displaystyle Psi _ {t}}$ bu in'ektsion,
o'z vaqtida kuzatiladigan yakuniy holat t agar mavjud bo'lsa a k_t > 0 shunday ${displaystyle | Psi _ {t} x | geq k_ {t} | {m {e}} ^ {At} x |}$ Barcha uchun x ∈ X.

Nazorat va kuzatuvchanlik o'rtasidagi ikkilik

Cheklangan o'lchovli vaziyatda bo'lgani kabi, boshqarish va kuzatuvchanlik ikki tomonlama tushunchalardir (hech bo'lmaganda ${displaystyle Phi}$ va ko-domeni ${displaystyle Psi}$ odatiy L² tanlov qilingan). Turli xil tushunchalarning ikkilik darajasidagi yozishmalar:^[10]

Aniq nazorat qilish, aniq kuzatuv,
Taxminan boshqariladiganlik, taxminiy kuzatuvchanlik,
Nol bilan boshqariladigan ↔ holatning yakuniy kuzatilishi.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Pardasi va Zvart
^ Pardalar va Tsvart 2.2.4-misol
^ Pardalar va Tsvart teoremasi 2.4.6
^ Bu matematik konventsiya, muhandislar uzatish funktsiyalarini abadiylikda holomorf bo'lishini afzal ko'rishgan; bunga almashtirish orqali erishiladi z 1 / tomonidanz
^ Pardalar va Zvart Lemma 4.3.6
^ Staffans teoremasi 4.6.7
^ Pardalar va Zvart 4.3.13-misol
^ Tucsnak ta'rifi 11.1.1
^ Tucsnak ta'rifi 6.1.1
^ Tucnak teoremasi 11.2.1

Adabiyotlar

Parda, Rut; Zvart, Xans (1995), Cheksiz o'lchovli chiziqli tizimlar nazariyasiga kirish, Springer
Tucnak, Marius; Vayss, Jorj (2009), Operator guruhlari uchun kuzatish va boshqarish, Birxauzer
Staffans, Olof (2005), Yaxshi joylashtirilgan chiziqli tizimlar, Kembrij universiteti matbuoti
Luo, Chjen-Xua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Ilovalar bilan cheksiz o'lchovli tizimlarning barqarorligi va barqarorligi, Springer
Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto (2000), Qisman differentsial tenglamalarni boshqarish nazariyasi, Kembrij universiteti matbuoti
Benussan, Alen; Da Prato, Juzeppe; Delfur, Mishel; Mitter, Sanjoy (2007), Cheksiz o'lchovli tizimlarni aks ettirish va boshqarish (ikkinchi nashr), Birxauzer

[1] Pardasi va Zvart

[2] Pardalar va Tsvart 2.2.4-misol

[3] Pardalar va Tsvart teoremasi 2.4.6

[4] Bu matematik konventsiya, muhandislar uzatish funktsiyalarini abadiylikda holomorf bo'lishini afzal ko'rishgan; bunga almashtirish orqali erishiladi z 1 / tomonidanz

[5] Pardalar va Zvart Lemma 4.3.6

[6] Staffans teoremasi 4.6.7

[7] Pardalar va Zvart 4.3.13-misol

[8] Tucsnak ta'rifi 11.1.1

[9] Tucsnak ta'rifi 6.1.1

[10] Tucnak teoremasi 11.2.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]