Engset formulasi - Engset formula

Yilda navbat nazariyasi, Engset formulasi M / M / c / c / N navbatini blokirovka qilish ehtimolini aniqlash uchun ishlatiladi (in.) Kendallning yozuvi ).

Formulani ishlab chiquvchi nomi bilan nomlangan, T. O. Engset.

Namunaviy dastur

Ning parkini ko'rib chiqing ${ displaystyle c}$ transport vositalari va ${ displaystyle N}$ operatorlar. Operatorlar avtotransport vositasidan foydalanishni so'rash uchun tizimga tasodifiy ravishda kirishadi. Agar biron bir transport vositasi mavjud bo'lmasa, so'rovchi operator "blokirovka qilinadi" (ya'ni operator transport vositasiz ketadi). Filo egasi tanlamoqchi ${ displaystyle c}$ xarajatlarni minimallashtirish uchun kichik, ammo blokirovka qilish ehtimoli toqat qilinishini ta'minlash uchun etarlicha katta.

Formula

Ruxsat bering

• ${ displaystyle c> 0}$ serverlarning (tamsayı) soni bo'lishi.
• ${ displaystyle N> c}$ trafik manbalarining (tamsayı) soni bo'lishi;
• ${ displaystyle lambda> 0}$ bo'sh manbaga kelish darajasi (ya'ni bepul manbaning so'rovlarni boshlash tezligi);
• ${ displaystyle h> 0}$ o'rtacha ushlab turish vaqti (ya'ni server so'rovni bajarishi uchun o'rtacha vaqt) bo'lishi;

Keyin ehtimollik blokirovkalash tomonidan berilgan^[1]

${ displaystyle P = { frac {{ binom {N-1} {c}} chap ( lambda h right) ^ {c}} { sum _ {i = 0} ^ {c} { binom {N-1} {i}} chap ( lambda h o'ng) ^ {i}}}.}$

Shartlarni qayta tuzish orqali yuqoridagi formulani quyidagicha yozish mumkin^[2]

${ displaystyle P = { frac {1} {{} _ {2} F_ {1} (1, -c; N-c; -1 / ( lambda h))}}}$

qayerda ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ Gauss Gipergeometrik funktsiya.

Hisoblash

Bir nechta rekursiyalar mavjud^[3] hisoblash uchun ishlatilishi mumkin ${ displaystyle P}$ son jihatdan barqaror ravishda.

Shu bilan bir qatorda, ni qo'llab-quvvatlaydigan har qanday raqamli paket Gipergeometrik funktsiya foydalanish mumkin.Ba'zi misollar quyida keltirilgan.

Python bilan SciPy

dan maxsus Import hyp2f1P = 1.0 / hyp2f1(1, -v, N - v, -1.0 / (Lambda * h))

MATLAB bilan Simvolli matematik vositalar qutisi

P = 1 / gipergeom([1, -v], N - v, -1 / (Lambda * h))

Noma'lum manbaga kelish darajasi

Amalda, ko'pincha manba kelish darajasi tez-tez uchraydi ${ displaystyle lambda}$ esa noma'lum (yoki taxmin qilish qiyin) ${ displaystyle alpha> 0}$, trafik taklif qildi manba boshiga ma'lum, bu holda munosabatlarni almashtirish mumkin

${ displaystyle lambda h = { frac { alfa} {1- alfa (1-P)}}}$

manba kelish tezligi va belgilangan nuqta tenglamasiga kelish uchun Engset formulasini blokirovka qilish ehtimoli o'rtasida

${ displaystyle P = f (P)}$

qayerda

${ displaystyle f (P) = { frac {1} {{} _ {2} F_ {1} (1, -c; N-c; 1-P-1 / alfa)}}.}$

Hisoblash

Yuqoridagi narsa noma'lum narsani olib tashlaydi ${ displaystyle lambda}$ formuladan u murakkablikning qo'shimcha nuqtasini taqdim etadi: biz endi to'sib qo'yish ehtimolligini to'g'ridan-to'g'ri hisoblay olmaymiz va buning o'rniga iterativ usulni qo'llashimiz kerak. A sobit nuqtali takrorlash jozibador bo'lib, ba'zida bunday takrorlanish bo'lishi ko'rsatildi turli xil qo'llanilganda ${ displaystyle f}$.^[2] Shu bilan bir qatorda, ulardan birini ishlatish mumkin ikkiga bo'linish yoki Nyuton usuli, buning uchun ochiq manbali dastur mavjud.

Adabiyotlar