Geometriyadagi Eyler teoremasi - Eulers theorem in geometry - Wikipedia

Eyler teoremasi:
${ displaystyle d = | IO | = { sqrt {R (R-2r)}}}$

Yilda geometriya, Eyler teoremasi masofani bildiradi d o'rtasida aylanma va rag'batlantirish a uchburchak tomonidan berilgan^[1][2]

${ displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}$

yoki unga teng ravishda

${ displaystyle { frac {1} {R-d}} + { frac {1} {R + d}} = { frac {1} {r}},}$

qayerda R va r mos ravishda sirkramadius va nurlanishni belgilang (ning radiuslari cheklangan doira va yozilgan doira tegishli ravishda). Teorema nomlangan Leonhard Eyler, uni 1765 yilda kim nashr etgan.^[3] Biroq, xuddi shu natija tomonidan ilgari nashr etilgan Uilyam Chapl 1746 yilda.^[4]

Teoremadan quyidagilar kelib chiqadi Eyler tengsizligi:^[5][6]

${ displaystyle R geq 2r,}$

bu faqat tenglik bilan amalga oshiriladi teng tomonli ish.^{[7]:p. 198}

Isbot

Geometriyadagi Eyler teoremasining isboti

Ruxsat berish O uchburchakning aylanasi bo'ling ABCva Men uning maqsadi, kengaytmasi bo'lishi kerak A.I. atrofi bilan kesishadi L. Keyin L yoyning o'rta nuqtasi Miloddan avvalgi. Qo'shiling LO va uni aylana bilan kesib o'tadigan qilib uzaytiring M. Kimdan Men AB ga perpendikulyar tuzing va D uning oyog'i bo'lsin, shuning uchun ID = r. Ushbu uchburchakni isbotlash qiyin emas ADI uchburchakka o'xshaydi MBL, shuning uchun ID / BL = A.I. / ML, ya'ni ID × ML = A.I. × BL. Shuning uchun 2Rr = A.I. × BL. Qo'shiling BI. Chunki

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

bizda ∠ bor BIL = ∠ IBL, shuning uchun BL = Ilva A.I. × Il = 2Rr. Uzaytirish OI shunday qilib u aylana bilan kesishadi P va Q; keyin PI × QI = A.I. × Il = 2Rr, shunday qilib (R + d)(R − d) = 2Rr, ya'ni d² = R(R − 2r).

Tengsizlikning kuchli versiyasi

Keyinchalik kuchli versiya^{[7]:p. 198} bu

${ displaystyle { frac {R} {r}} geq { frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} geq { frac {a } {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} - 1 geq { frac {2} {3}} chap ({ frac {a} {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} right) geq 2,}$

qayerda a, b, c uchburchakning yon uzunliklari.

Belgilangan doira uchun Eyler teoremasi

Agar ${ displaystyle r_ {a}}$ va ${ displaystyle d_ {a}}$ radiusini mos ravishda belgilang tasvirlangan doira tepaga qarama-qarshi ${ displaystyle A}$ va uning markazi bilan sunnat qilingan doiraning markazi orasidagi masofa, keyin ${ displaystyle d_ {a} ^ {2} = R (R + 2r_ {a})}$.

Eylerning mutlaq geometriyadagi tengsizligi

Eylerning tengsizligi, berilgan doiraga chizilgan barcha uchburchaklar uchun, chizilgan aylananing radiusining maksimal qiymatiga teng qirrali uchburchak uchun erishiladi va faqat u uchun amal qiladi. mutlaq geometriya.^[8]

Shuningdek qarang

• Fuss teoremasi Bisentrik to'rtburchaklardagi bir xil uchta o'zgaruvchiga bog'liqlik uchun
• Ponceletning yopilish teoremasi, bir xil ikkita doiraga ega bo'lgan uchburchaklar cheksizligi (va shuning uchun ham bir xil) ekanligini ko'rsatib beradi R, rva d)
• Uchburchak tengsizliklari ro'yxati

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Vayshteyn, Erik V. "Eyler uchburchagi formulasi". MathWorld.