Eksponent ob'ekt - Exponential object

Yilda matematika, xususan toifalar nazariyasi, an eksponent ob'ekt yoki xarita ob'ekti a-ning kategorik umumlashtirilishi funktsiya maydoni yilda to'plam nazariyasi. Kategoriyalar hamma bilan cheklangan mahsulotlar va eksponent obyektlar deyiladi kartezian yopiq toifalari. Kategoriyalar (masalan kichik toifalar ning Yuqori) qo'shni mahsulotlarsiz hali ham bo'lishi mumkin eksponent qonun.^[1][2]

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle mathbf {C}}$ toifa bo'ling, ruxsat bering ${ displaystyle Z}$ va ${ displaystyle Y}$ bo'lishi ob'ektlar ning ${ displaystyle mathbf {C}}$va ruxsat bering ${ displaystyle mathbf {C}}$ hammasi bor ikkilik mahsulotlar bilan ${ displaystyle Y}$. Ob'ekt ${ textstyle Z ^ {Y}}$ bilan birga morfizm ${ textstyle mathrm {eval} colon (Z ^ {Y} times Y) rightarrow Z}$ bu eksponent ob'ekt agar biron bir ob'ekt uchun bo'lsa ${ displaystyle X}$ va morfizm ${ textstyle g ikki nuqta X marta Y dan Z gacha}$ noyob morfizm mavjud ${ textstyle lambda g nuqta X dan Z ^ {Y}} gacha$ (deb nomlangan ko'chirish ning ${ displaystyle g}$) shunday qilib, quyidagi diagramma qatnovlar:

Ushbu noyob topshiriq ${ displaystyle lambda g}$ har biriga ${ displaystyle g}$ tashkil etadi izomorfizm ning uy to'plamlari, ${ textstyle mathrm {Hom} (X marta Y, Z) cong mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$

Agar ${ textstyle Z ^ {Y}}$barcha ob'ektlar uchun mavjud ${ displaystyle Z, Y}$ yilda ${ displaystyle mathbf {C}}$, keyin funktsiya ${ displaystyle (-) ^ {Y} colon mathbf {C} to mathbf {C}}$ ob'ektlar tomonidan belgilangan ${ displaystyle Z mapsto Z ^ {Y}}$ va o'qlarda ${ displaystyle (f nuqta X dan Zgacha) mapsto (f ^ {Y} nuqta X ^ {Y} dan Z ^ {Y} gacha)}$, a o'ng qo'shma mahsulot funktsiyasiga ${ displaystyle - marta Y}$. Shu sababli morfizmlar ${ displaystyle lambda g}$ va ${ displaystyle g}$ ba'zan deyiladi eksponentli qo'shimchalar bir-birining.^[3]

Tenglama ta'rifi

Shu bilan bir qatorda, eksponent ob'ekt tenglamalar orqali aniqlanishi mumkin:

• Mavjudligi ${ displaystyle lambda g}$ operatsiya mavjudligi bilan kafolatlanadi ${ displaystyle lambda -}$.
• Yuqoridagi diagrammalarning komutativligi tenglik bilan kafolatlanadi ${ displaystyle forall g nuqta X marta Y dan Zgacha, mathrm {eval} circ ( lambda g times mathrm {id} _ {Y}) = g}$.
• Ning o'ziga xosligi ${ displaystyle lambda g}$ tenglik bilan kafolatlanadi ${ displaystyle forall h nuqta X dan Z ^ {Y}, lambda ( mathrm {eval} circ (h times mathrm {id} _ {Y})) = h}$.

Umumiy mulk

Eksponent ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ a tomonidan berilgan universal morfizm mahsulot funktsiyasidan ${ displaystyle - marta Y}$ ob'ektga ${ displaystyle Z}$. Ushbu universal morfizm ob'ektdan iborat ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ va morfizm ${ textstyle mathrm {eval} colon (Z ^ {Y} times Y) rightarrow Z}$.

Misollar

In to'plamlar toifasi, eksponentli ob'ekt ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ barcha funktsiyalar to'plamidir ${ displaystyle Y to Z}$.^[4] Xarita ${ displaystyle mathrm {eval} colon (Z ^ {Y} marta Y) to Z}$ faqat baholash xaritasi, bu juftlikni yuboradi ${ displaystyle (f, y)}$ ga ${ displaystyle f (y)}$. Har qanday xarita uchun ${ displaystyle g colon (X times Y) rightarrow Z}$ xarita ${ displaystyle lambda g ikki nuqta X dan Z ^ {Y}} gacha$ bo'ladi kori shakli ${ displaystyle g}$:

${ displaystyle lambda g (x) (y) = g (x, y). ,}$

A Heyting algebra ${ displaystyle H}$ faqat cheklangan panjara bu barcha eksponent ob'ektlarga ega. Heyting ma'nosi, ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$, uchun muqobil yozuvdir ${ displaystyle Z ^ {Y}}$. Yuqoridagi qo'shimcha natijalar implikatsiyaga aylanadi (${ displaystyle Rightarrow: H H dan H gacha H}$) bo'lish o'ng qo'shma ga uchrashmoq (${ displaystyle wedge: H times H to H}$). Ushbu qo'shimcha quyidagicha yozilishi mumkin ${ displaystyle (- wedge Y) dashv (Y Rightarrow -)}$yoki to'liqroq:

$${ displaystyle (- wedge Y): H { stackrel { longrightarrow} { underset { longleftarrow} { top}}} H: (Y Rightarrow -)}$$

In topologik bo'shliqlarning toifasi, eksponent ob'ekt ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ mavjud bo'lgan taqdirda mavjud ${ displaystyle Y}$ a mahalliy ixcham Hausdorff maydoni. Bunday holda, bo'sh joy ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ barchaning to'plamidir doimiy funktsiyalar dan ${ displaystyle Y}$ ga ${ displaystyle Z}$ bilan birga ixcham-ochiq topologiya. Baholash xaritasi to'plamlar toifasidagi kabi; u yuqoridagi topologiya bilan uzluksiz.^[5] Agar ${ displaystyle Y}$ mahalliy ixcham Hausdorff emas, eksponent ob'ekt mavjud bo'lmasligi mumkin ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ hali ham mavjud, lekin u eksponent ob'ekt bo'lmasligi mumkin, chunki baholash funktsiyasi doimiy bo'lishi shart emas). Shu sababli topologik bo'shliqlar toifasi kartezian yopiq bo'lmayapti, ammo mahalliy ixcham topologik bo'shliqlar toifasi ham kartezian yopiq emas, chunki ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ mahalliy ixcham joylar uchun mahalliy darajada ixcham bo'lmasligi kerak ${ displaystyle Z}$ va ${ displaystyle Y}$. Bo'shliqlarning kartezian yopiq toifasi, masalan, tomonidan berilgan to'liq pastki toifa tomonidan kengaytirilgan ixcham hosil qilingan Hausdorff bo'shliqlari.

Yilda funktsional dasturlash tillari, morfizm ${ displaystyle operatorname {eval}}$ ko'pincha deb nomlangan ${ displaystyle operatorname {apply}}$ va sintaksis ${ displaystyle lambda g}$ ko'pincha yozilgan ${ displaystyle operatorname {curry} (g)}$. Morfizm ${ displaystyle operatorname {eval}}$ bu erda bilan aralashtirmaslik kerak baholash ba'zilarida funktsiya dasturlash tillari, keltirilgan iboralarni baholaydigan.

Shuningdek qarang

• Yopiq monoidal kategoriya

Izohlar

Adabiyotlar

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; Jorj Streker (2006) [1990]. Mavhum va aniq toifalar (mushuklarning quvonchi). John Wiley & Sons.
• Avodey, Stiv (2010). "6-bob: Eksponentlar". Kategoriya nazariyasi. Oksford Nyu-York: Oksford universiteti matbuoti. ISBN  978-0199237180.
• Maklen, Sonders (1998). "4-bob: qo'shimchalar". Ishlayotgan matematik uchun toifalar. Nyu-York: Springer. ISBN  978-0387984032.

Tashqi havolalar

• Interfaol veb-sahifa eksponent ob'ektlar va boshqa toifali inshootlar misollarini yaratadi. Tomonidan yozilgan Jocelyn Paine.