Tashqi va etishmayotgan echimlar - Extraneous and missing solutions

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Tashqi va etishmayotgan echimlar"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2008 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, an begona eritma (yoki soxta echim) bu muammoni echish jarayonida paydo bo'lgan, ammo masalaning to'g'ri echimi bo'lmagan tenglama echimi.^[1] A etishmayotgan echim muammoning to'g'ri echimi bo'lgan, ammo muammoni hal qilish jarayonida g'oyib bo'lgan echimdir. Ikkalasi ham tez-tez bajarilmaydigan operatsiyalarning natijasidir teskari o'zgaruvchining ba'zi yoki barcha qiymatlari uchun, bu dalildagi mantiqiy ta'sirlar zanjirining ikki yo'nalishli bo'lishiga to'sqinlik qiladi.

Chet eritmalar: ko'paytirish

Algebraning asosiy tamoyillaridan biri shundaki, tenglama echimlarini o'zgartirmasdan tenglamaning ikkala tomonini bir xil ifoda bilan ko'paytirish mumkin. Biroq, qat'iyan aytganda, bu to'g'ri emas, chunki ba'zi bir iboralar bilan ko'paytirish ilgari mavjud bo'lmagan yangi echimlarni taklif qilishi mumkin. Masalan, quyidagi tenglamani ko'rib chiqing:

${displaystyle x + 2 = 0.}$

Agar ikkala tomonni nolga ko'paytirsak,

${displaystyle 0 = 0.}$

Bu barcha qiymatlari uchun amal qiladi x, shuning uchun echim to'plami barcha haqiqiy sonlardir. Ammo aniq raqamlarning hammasi ham asl tenglamaning echimi emas. Muammo shundaki, nolga ko'paytirish emas teskari: har qanday nolga teng bo'lmagan qiymatga ko'paytirsak, xuddi shu qiymatga bo'lish orqali qadamni orqaga qaytarishimiz mumkin, lekin nolga bo'linish aniqlanmagan, shuning uchun nolga ko'paytirishni qaytarib bo'lmaydi.

Nozikroq qilib aytganda, biz bir xil tenglamani olamiz va ikkala tomonni ko'paytiramiz x. Biz olamiz

${displaystyle x (x + 2) = (0) x,}$

${displaystyle x ^ {2} + 2x = 0.}$

Ushbu kvadrat tenglama ikkita echimga ega - 2 va 0. Ammo nol o'rnini bosadigan bo'lsa x asl tenglamada natija bekor qilingan tenglama 2 = 0 bo'ladi. Ushbu qarama-qarshi natija, chunki qaerda bo'lsa x= 0, ikkala tomonni ko'paytiramiz x ikkala tomonni nolga ko'paytiradi va shuning uchun birinchi misolda bo'lgani kabi haqiqiy tenglikni hosil qiladi.

Umuman olganda, biz har doim tenglamaning ikkala tomonini o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda bilan ko'paytirsak, bu ifoda nolga teng bo'lgan har qanday joyda begona echimlarni kiritamiz. Ammo bu qiymatlarni istisno qilish etarli emas, chunki ular asl tenglama uchun qonuniy echimlar bo'lishi mumkin. Masalan, biz asl tenglamamizning ikkala tomonini ko'paytiramiz x + 2 = 0 tomonidan x + 2. Biz olamiz

${displaystyle (x + 2) (x + 2) = 0 (x + 2),}$

${displaystyle x ^ {2} + 4x + 4 = 0,}$

faqat bitta haqiqiy echimga ega: x = -2 va bu asl tenglamaning echimi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin emas x Ning qiymati uchun + 2 nolga teng x.

Chet el echimlari: oqilona

Ajratuvchi o'zgaruvchiga ega bo'lgan kasrlar bilan bog'liq muammolarda begona echimlar tabiiy ravishda paydo bo'lishi mumkin. Masalan, ushbu tenglamani ko'rib chiqing:

${displaystyle {frac {1} {x-2}} = {frac {3} {x + 2}} - {frac {6x} {(x-2) (x + 2)}}.}$

Yechishni boshlash uchun biz tenglamaning har bir tomonini eng kichik umumiy maxraj tenglamada joylashgan barcha kasrlarning. Bunday holda, eng kichik umumiy bo'luvchi ${displaystyle (x-2) (x + 2)}$. Ushbu operatsiyalarni bajargandan so'ng, kasrlar chiqarib tashlanadi va tenglama quyidagicha bo'ladi:

${displaystyle x + 2 = 3 (x-2) -6x ,.}$

Buni hal qilish yagona echimni beradi x = -2. Biroq, biz echimni asl tenglamaga almashtirsak, quyidagilarga erishamiz:

${displaystyle {frac {1} {- 2-2}} = {frac {3} {- 2 + 2}} - {frac {6 (-2)} {(- 2-2) (- 2 + 2) }}.}$

Keyin tenglama quyidagicha bo'ladi:

${displaystyle {frac {1} {- 4}} = {frac {3} {0}} + {frac {12} {0}} ,.}$

Ushbu tenglama haqiqiy emas, chunki buni amalga oshirish mumkin emas nolga bo'lish. Shuning uchun, echim x = –2 begona va haqiqiy emas va asl tenglamada echim yo'q.

Ushbu aniq misol uchun, (x = -2 qiymati uchun) bilan ko'paytirish amalini tan olish mumkin ${displaystyle (x-2) (x + 2)}$ 0 ga ko'paytma bo'ladi. Biroq, bajarilgan har bir operatsiyaga yakuniy javob bilan ruxsat berilganligini baholash har doim ham oddiy emas. Shu sababli, ko'pincha o'zgaruvchini o'z ichiga olgan iboralar bilan ko'paytirishni hal qilishning yagona oddiy samarali usuli bu olingan har bir echimning asl tenglamaga almashtirilishi va bu to'g'ri tenglama hosil bo'lishini tasdiqlashdir. Noto'g'ri tenglama keltiradigan echimlarni bekor qilgandan so'ng, biz to'g'ri echimlar to'plamiga ega bo'lamiz. Ba'zi hollarda, yuqoridagi misolda bo'lgani kabi, barcha echimlar bekor qilinishi mumkin, bu holda asl tenglamada echim bo'lmaydi.

Yo'qolgan echimlar: bo'linish

Chet el echimlari bilan ishlash juda qiyin emas, chunki ular barcha echimlarning haqiqiyligini tekshirishni talab qiladi. Shu bilan birga, hiyla-nayrang etishmayotgan echimlar mavjud bo'lib, ular ushbu iboralarning ma'lum qiymatlari uchun yaroqsiz bo'lgan iboralar ustida operatsiyalarni bajarishda paydo bo'lishi mumkin.

Masalan, agar biz quyidagi tenglamani echayotgan bo'lsak, to'g'ri echim ikkala tomondan 4 ni chiqarib, keyin ikkala tomonni 2 ga bo'lish orqali olinadi:

${displaystyle 2x + 4 = 0,}$

${displaystyle 2x = -4,}$

${displaystyle x = -2.}$

O'xshatishga ko'ra, biz quyidagi tenglamani 2 ni olib tashlaymiz deb o'ylaymizx ikkala tomondan, keyin bo'linadi x:

${displaystyle x ^ {2} + 2x = 0,}$

${displaystyle x ^ {2} = - 2x,}$

${displaystyle x = -2.}$

Yechim x = -2 aslida asl tenglamaning to'g'ri echimi; ammo boshqa echim, x = 0, g'oyib bo'ldi. Muammo shundaki, biz ikkala tomonni ikkiga bo'ldik xo'z ichiga oladi noaniq qachon nolga bo'lish jarayoni x = 0.

Odatda nolga teng har qanday ifoda bilan bo'linmaslik mumkin (va tavsiya etiladi); ammo, agar bu zarur bo'lsa, uni nolga tenglashtiradigan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari ham asl tenglamani qondira olmasligini ta'minlash kifoya. Masalan, bizda bu tenglama bor deylik:

${displaystyle x + 2 = 0.}$

Ikkala tomonni ham bo'lishga to'g'ri keladi x-2, quyidagi tenglamani olamiz:

${displaystyle {frac {x + 2} {x-2}} = 0.}$

Bu to'g'ri, chunki ning yagona qiymati x qiladi xZero2 nolga teng x= 2 va x= 2 asl tenglamaning echimi emas.

Ba'zi hollarda bizni ma'lum echimlar qiziqtirmaydi; masalan, biz faqat qaerda echimlarni istashimiz mumkin x ijobiy. Bunday holda, faqat qachon nolga teng bo'lgan ifoda bilan bo'lishish yaxshi bo'ladi x nol yoki salbiy, chunki bu biz uchun ahamiyatsiz bo'lgan echimlarni olib tashlashi mumkin.

Boshqa operatsiyalar

Ko'paytirish va bo'linish echimlar to'plamini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona operatsiyalar emas. Masalan, muammoni ko'rib chiqing:

${displaystyle x ^ {2} = 4.}$

Agar ikkala tomonning musbat kvadrat ildizini olsak, quyidagilarni olamiz:

${displaystyle x = 2.}$

Biz bu erda hech qanday salbiy qadriyatlarning kvadrat ildizini olmaymiz, chunki ikkalasi ham x² va 4 albatta ijobiydir. Ammo biz echimni yo'qotdik x = -2. Sababi shu x aslida umuman emas ijobiy ning kvadrat ildizi x². Agar x manfiy, musbat kvadrat ildizi x² bu -x. Agar qadam to'g'ri bajarilgan bo'lsa, u tenglamaga olib keladi:

${displaystyle {sqrt {x ^ {2}}} = {sqrt {4}}.}$

${displaystyle | x | = 2.}$

${displaystyle x = pm 2.}$

Ushbu tenglama asl echim bilan bir xil ikkita echimga ega: x = 2 va x = −2.

Shuningdek qarang

• Yaroqsiz dalil

Adabiyotlar