Yassi yaqinlashish - Flat convergence

Yilda matematika, tekis konvergentsiya Evklid fazosining submanifoldlarining yaqinlashuvi tushunchasidir. Bu birinchi tomonidan kiritilgan Xassler Uitni 1957 yilda va keyinchalik kengaytirilgan ajralmas oqimlar tomonidan Federer va Fleming 1960 yilda. Bu maydonning asosiy qismini tashkil etadi geometrik o'lchov nazariyasi. Ushbu tushuncha echimlarni topish uchun qo'llanilgan Platoning muammosi. 2001 yilda integral oqim tushunchasi o'zboshimchalik bilan metrik bo'shliqlarga kengaytirildi Ambrosio va Kirchxaym.

Integral oqimlar

A ko'lchovli oqim T silliq realizatsiyalangan ko'p qirrali operator k- shakllar. Masalan, berilgan Lipschitz xaritasi dan ko'p qirrali ichiga Evklid fazosi, F: N^k → Rⁿ, bitta ajralmas oqimga ega T(ω) integratsiyalash orqali aniqlanadi orqaga tortish differentsial k-form, ω, ustida N. Oqimlarda chegara tushunchasi mavjud ${ displaystyle kısalt {T}}$ (bu odatdagi chegara qachon N chegara bilan ko'p qirrali) va massa tushunchasi, M(T), (bu tasvirning hajmiN). To'liq rektifikatsiya qilinadigan oqim, bu jihatdan hosil bo'lgan oqimlarning hisoblanadigan yig'indisi sifatida tavsiflanadi. Integral tok deganda chegarasi cheklangan massaga ega bo'lgan butun rektifikatsiya qilinadigan tok tushuniladi. Bu Federer-Flemingning chuqur teoremasi, bu chegara ham ajralmas oqimdir.

Yassi norma va tekis masofa

Yassi norma |T| a k- o'lchovli integral oqim T ning cheksiz qismi M(A) + M(B), bu erda barcha integral oqimlar bo'yicha cheksiz olinadi A va B shu kabi ${ displaystyle T = A + qisman B}$.

Ikki integral oqim orasidagi tekis masofa u holda d_F(T,S) = |T − S|.

Kompaktlik teoremasi

Federer-Fleming, agar ajralmas oqimlar ketma-ketligi bo'lsa, buni isbotladi ${ displaystyle T_ {i}}$ uning tayanchlari ixcham to'plamda yotadi K bir tekis yuqori chegara bilan ${ displaystyle M (T_ {i}) + M ( qisman T_ {i})}$, keyin bir tekislik ma'noda integral oqimga yaqinlashadi.

Ushbu teorema sobit chegara submanifoldlarining ketma-ketligini o'rganish uchun qo'llanilgan bo'lib, ularning hajmi berilgan chegara bilan submanifoldlarning barcha hajmlari bo'yicha cheksizga yaqinlashdi. Bu nomzodning zaif echimini ishlab chiqardi Platoning muammosi.

Adabiyotlar

• Federer, Gerbert (1969), Geometrik o'lchov nazariyasi, Die Grundlehren derhematischen Wissenschaften, 153-band, Nyu-York: Springer-Verlag New York Inc., xiv + 676-betlar, ISBN  978-3-540-60656-7, JANOB  0257325
• Federer, H. (1978), "Geometrik o'lchov nazariyasi bo'yicha kollokvium ma'ruzalari", Buqa. Amer. Matematika. Soc., 84 (3): 291–338, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0

• Morgan, Frank (2009), Geometrik o'lchov nazariyasi: yangi boshlanuvchilar uchun qo'llanma (To'rtinchi nashr), San-Diego, Kaliforniya: Academic Press Inc., viii + 249-bet, ISBN  978-0-12-374444-9, JANOB  2455580
• Ambrosio, Luidji; Kirchheim, Bernd (2000), "Metrik bo'shliqlardagi oqimlar", Acta Mathematica, 185: 1–80, doi:10.1007 / bf02392711