Fraktal mag'lubiyat - Fractal string - Wikipedia

Oddiy fraktal torlar

Oddiy fraktal mag'lubiyat ${ displaystyle omega}$ haqiqiy son satrining chegaralangan, ochiq kichik to'plamidir. Har qanday bunday pastki qism eng ko'p yozilishi mumkinhisoblanadigan ulangan birlashma ochiq intervallar bog'liq uzunliklar bilan ${ displaystyle { mathcal {L}} = { ell _ {1}, ell _ {2}, ldots }}$ o'smaydigan tartibda yozilgan. Biz ruxsat beramiz ${ displaystyle omega}$ juda ko'p ochiq oraliqlardan iborat bo'lishi kerak, bu holda ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ juda ko'p uzunliklardan iborat. Biz murojaat qilamiz ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ kabi fraktal mag'lubiyat.

Misol

The o'rtada Kantor to'plami birlik oralig'idan o'rta uchdan birini olib tashlash yo'li bilan qurilgan ${ displaystyle (0,1)}$ , so'ngra keyingi intervallarning uchdan uchini olib tashlang, reklama infinitum. O'chirilgan intervallar ${ displaystyle Omega = chap { chap ({ frac {1} {3}}, { frac {2} {3}} o'ng), chap ({ frac {1} {9}) }, { frac {2} {9}} o'ng), chap ({ frac {7} {9}}, { frac {8} {9}} o'ng), ldots o'ng } }$ tegishli uzunliklarga ega ${ displaystyle { mathcal {L}} = left {{ frac {1} {3}}, { frac {1} {9}}, { frac {1} {9}}, ldots o'ng }}$ . Induktiv ravishda biz borligini namoyish etishimiz mumkin ${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$ ning har bir uzunligiga mos keladigan intervallar ${ displaystyle 3 ^ {- n}}$ . Shunday qilib, biz ko'plik uzunlik ${ displaystyle 3 ^ {- n}}$ bu ${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$ .

Evristik

Yuqoridagi misolda keltirilgan Kantorning geometrik ma'lumotlari oddiy fraktal qatorda joylashgan ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ . Ushbu ma'lumotlardan biz hisoblashimiz mumkin qutini hisoblash o'lchovi Cantor to'plami. Ushbu tushuncha fraktal o'lchov bilan umumlashtirilishi mumkin murakkab o'lchov, bu bizga Kantor to'plamining geometriyasidagi mahalliy tebranishlar haqida to'liq geometrik ma'lumot beradi.

Geometrik zeta funktsiyasi

Agar ${ displaystyle sum _ {j in mathbb {J}} { ell _ {j}} < infty,}$ biz buni aytamiz ${ displaystyle Omega}$ geometrik tasavvurga ega ${ displaystyle mathbb {R},}$ ${ displaystyle Omega = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} I_ {i}}$ , qaerda ${ displaystyle I_ {i}}$ intervallar ${ displaystyle mathbb {R}}$ , barcha uzunliklar ${ displaystyle { ell _ {j} } _ {j in mathbb {J}}}$ , ko'plik bilan olingan.

Har bir fraktal mag'lubiyat uchun ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ , biz bilan bog'lanishimiz mumkin ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ geometrik zeta funktsiyasi ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}}}$ Dirichlet seriyali sifatida belgilangan ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (s) = sum _ {j in mathbb {J}} ell _ {j} ^ {s}}$ . Geometrik zeta funktsiyasining qutblari ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (lar)}$ fraktal ipning murakkab o'lchamlari deyiladi ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ . Fraktal torlar uchun murakkab o'lchovlar nazariyasining umumiy falsafasi shundan iboratki, murakkab o'lchovlar fraktal chiziqning geometriyasidagi, spektridagi va dinamikasidagi ichki tebranishni tavsiflaydi. ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ .

The konvergentsiya abstsissasi ning ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (lar)}$ sifatida belgilanadi ${ displaystyle sigma = inf left { alpha in mathbb {R}: sum _ {j = 1} ^ { infty} ell _ {j} ^ { alpha} < infty o'ngda}}$ .

Fraktal mag'lubiyat uchun ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ noldan ko'p bo'lmagan uzunliklarga ega bo'lgan, yaqinlashish abstsissasi ${ displaystyle sigma}$ ga to'g'ri keladi Minkovskiy o'lchovi ipning chegarasi, ${ displaystyle kısmi Omega}$ . Bizning misolimiz uchun, Cantor chegara satrining o'zi Cantor to'plamidir. Demak, geometrik zeta funktsiyasining yaqinlashish abssissasi ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (lar)}$ Cantor to'plamining Minkovskiy o'lchovidir, ya'ni ${ displaystyle { frac { log 2} { log 3}}}$ .

Murakkab o'lchamlar

Fraktal mag'lubiyat uchun ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ , uzunliklarning cheksiz ketma-ketligidan tashkil topgan, murakkab o'lchovlar fraktal ipning geometrik zeta funktsiyasining analitik davomi fraktal mag'lubiyatga bog'langan qutblari. (Geometrik zeta funktsiyasining analitik davomi barcha murakkab tekislik uchun aniqlanmagan bo'lsa, biz "oyna" deb nomlangan murakkab tekislikning bir qismini olamiz va shu oynada mavjud bo'lgan "ko'rinadigan" murakkab o'lchamlarni qidiramiz.^[1])

Misol

Kantor to'plamining o'rtalarida uchdan biriga bog'langan fraktal mag'lubiyat misolida davom etamiz ${ displaystyle zeta _ { mathbb {C}} (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ {n-1}} {3 ^ {ns}}} = { frac { frac {1} {3 ^ {s}}} {1 - { frac {2} {3 ^ {s}}}}}}}$ . Biz hisoblaymiz konvergentsiya abstsissasi ning qiymati bo'lishi ${ displaystyle s}$ qoniqarli ${ displaystyle 3 ^ {s} = 2}$ , Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle s = log _ {3} 2 = { frac { log 2} { log 3}}}$ bo'ladi Minkovskiy o'lchovi Kantor to'plami.

Murakkab uchun ${ displaystyle s}$ , ${ displaystyle zeta _ { mathbb {C}} (s)}$ bor qutblar ning cheksiz ko'p echimlarida ${ displaystyle 3 ^ {s} = 2}$ , bu misol uchun sodir bo'lgan ${ displaystyle s = { frac { log 2 + 2 pi ik} { log 3}}}$ , barcha butun sonlar uchun ${ displaystyle k}$ . Ushbu ballar to'plami Kantor to'plamining o'rtalarida uchdan bir qismining murakkab o'lchamlari to'plami deb ataladi.

Ilovalar

Kantor to'plamlari kabi to'plamlar bilan bog'langan fraktal satrlari uchun o'chirilgan intervallardan hosil bo'lgan oqilona asosiy uzunlikdagi kuchlar, murakkab o'lchamlar xayoliy o'qga parallel ravishda muntazam, arifmetik progressiyada paydo bo'ladi va deyiladi panjara fraktal torlar. Ushbu xususiyatga ega bo'lmagan to'plamlar chaqiriladi panjara bo'lmagan. Bunday ob'ektlarning o'lchovlari nazariyasida ikkilamchi narsa mavjud: oddiy fraktal mag'lubiyat Minkovskiy, agar u panjara bo'lmagan taqdirda o'lchanadi.

Fraktal narsalarning imzo xususiyati sifatida ijobiy real qismga ega bo'lgan haqiqiy bo'lmagan murakkab o'lchovlarning mavjudligi taklif qilingan.^[1] Rasmiy ravishda Mishel Lapidus va Masiel van Frankenxuysen «fraktallik» ni ijobiy real qismga ega bo'lgan kamida bitta nodavlat murakkab o'lchovning mavjudligi sifatida ta'riflashni taklif qilmoqdalar.^[1] Fraktallikning ushbu yangi ta'rifi fraktal geometriyadagi ba'zi eski muammolarni hal qiladi. Masalan, hamma bunga rozi bo'lishi mumkin Kantorning shaytoni zinapoyasi fraktaldir, bu fraktallikning ushbu yangi ta'rifi bilan murakkab o'lchovlar nuqtai nazaridan, ammo Mandelbrot ma'nosida emas.

Umumlashgan fraktal torlar

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v M. L. Lapidus, M. van Frankenxuysen, Fraktal geometriya, murakkab o'lchovlar va Zeta funktsiyalari: geometrik va fraktal torlari spektrlari, Matematikada monografiyalar, Springer, Nyu-York, Ikkinchi qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan nashr, 2012 y. doi:10.1007/978-1-4614-2176-4

[one-1] v M. L. Lapidus, M. van Frankenxuysen, Fraktal geometriya, murakkab o'lchovlar va Zeta funktsiyalari: geometrik va fraktal torlari spektrlari, Matematikada monografiyalar, Springer, Nyu-York, Ikkinchi qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan nashr, 2012 y. doi:10.1007/978-1-4614-2176-4

[1]