Gipergeometrik tenglamaga Frobenius eritmasi - Frobenius solution to the hypergeometric equation

Quyida biz ikkinchi tartibni hal qilamiz differentsial tenglama deb nomlangan gipergeometrik differentsial tenglama nomidagi Frobenius usulidan foydalangan holda Ferdinand Georg Frobenius. Bu ishlatadigan usul seriyali Differentsial tenglama uchun echim, bu erda biz yechim ketma-ket shaklga ega bo'ladi. Bu odatda biz oddiy oddiy differentsial tenglamalar uchun ishlatadigan usul.

Gipergeometrik differentsial tenglamaning echimi juda muhimdir. Masalan, Legendrning differentsial tenglamasini gipergeometrik differentsial tenglamaning maxsus holati sifatida ko'rsatish mumkin. Demak, gipergeometrik differentsial tenglamani echish orqali kerakli almashtirishlarni amalga oshirgandan so'ng, Legendrening differentsial tenglamasining echimlarini olish uchun uning echimlarini to'g'ridan-to'g'ri taqqoslash mumkin. Qo'shimcha ma'lumot uchun, iltimos gipergeometrik differentsial tenglama.

Ushbu tenglama uchta o'ziga xos xususiyatga ega ekanligini isbotlaymiz, ya'ni x = 0, x = 1 va atrofida x = cheksizlik. Biroq, bular bo'lib chiqadi muntazam yagona fikrlar, biz ketma-ket shaklda echim qabul qilishimiz mumkin. Bu ikkinchi darajali differentsial tenglama bo'lgani uchun bizda ikkitasi bo'lishi kerak chiziqli mustaqil echimlar.

Muammo shundaki, bizning taxmin qilingan echimlarimiz mustaqil bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, yoki undan ham yomoni, hatto aniqlanmasligi ham mumkin (tenglama parametrlari qiymatiga qarab). Shuning uchun biz parametrlar uchun har xil holatlarni o'rganib chiqamiz va o'zimiz taxmin qilingan echimni o'zgartiramiz.

Tenglama

Hal qiling gipergeometrik tenglama barcha o'ziga xosliklar atrofida:

{displaystyle x (1-x) y '' + chap {gamma - (1 + alfa + eta) xight} y'-alfa eta y = 0}

Atrofdagi echim x = 0

Ruxsat bering

{displaystyle {egin {aligned} P_ {0} (x) & = - alfa eta, P_ {1} (x) & = gamma - (1 + alfa + eta) x, P_ {2} (x) &) = x (1-x) oxiri {hizalangan}}}

Keyin

{displaystyle P_ {2} (0) = P_ {2} (1) = 0.}

Shuning uchun, x = 0 va x = 1 bitta nuqta. Boshlaymiz x = 0. Muntazammi yoki yo'qligini bilish uchun quyidagi chegaralarni o'rganamiz:

{displaystyle {egin {hizalanmış} lim _ {x oa} {frac {(xa) P_ {1} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 0} {frac {( x-0) (gamma - (1 + alfa + eta) x)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 0} {frac {x (gamma - (1 + alfa + eta) x) } {x (1-x)}} = gamma lim _ {x oa} {frac {(xa) ^ {2} P_ {0} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 0} {frac {(x-0) ^ {2} (- alfa eta)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 0} {frac {x ^ {2} ( -alpha eta)} {x (1-x)}} = 0end {hizalangan}}}

Demak, ikkala chegaralar ham mavjud x = 0 - bu a muntazam birlik. Shuning uchun, biz hal qilish shaklini oladi deb taxmin qilamiz

{displaystyle y = sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c}}

bilan a₀ ≠ 0. Demak,

{displaystyle {egin {aligned} y '& = sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} y' '& = sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} .end {aligned}}}

Bularni gipergeometrik tenglamaga almashtirib, biz olamiz

{displaystyle xsum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} -x ^ {2} sum _ {r = 0 } ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} + gamma sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r +) c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) xsum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} -alpha eta sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c} = 0}

Anavi,

{displaystyle sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c} + gamma sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c} -alpha eta sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c} = 0}

Ushbu tenglamani soddalashtirish uchun barcha kuchlar bir xil, teng bo'lishi kerak r + v - 1, eng kichik quvvat. Shunday qilib, biz indekslarni quyidagicha o'zgartiramiz:

{displaystyle {egin {aligned} & sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 1 } ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) (r + c-2) x ^ {r + c-1} + gamma sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r } (r + c) x ^ {r + c-1} & qquad - (1 + alfa + eta) sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) x ^ {r + c-1} -alpha eta sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} x ^ {r + c-1} = 0end {hizalanmış}}}

Shunday qilib, 0 dan boshlanadigan yig'indilarning birinchi muddatini ajratib olamiz

{displaystyle {egin {aligned} & a_ {0} (c (c-1) + gamma c) x ^ {c-1} + sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) (r + c-2) x ^ {r + c-1} & qquad + gamma sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) x ^ {r + c-1} -alpha eta sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1 } x ^ {r + c-1} = 0end {hizalanmış}}}

Endi, barcha kuchlarning chiziqli mustaqilligidan x, ya'ni 1 funktsiyalaridan, x, x²va hokazolarning koeffitsientlari x^k hamma uchun yo'q bo'lib ketmoq k. Shunday qilib, birinchi davrdan boshlab bizda

{displaystyle a_ {0} (c (c-1) + gamma c) = 0}

qaysi rasmiy tenglama. Beri a₀ ≠ 0, bizda

{displaystyle c (c-1 + gamma) = 0.}

Shuning uchun,

{displaystyle c_ {1} = 0, c_ {2} = 1-gamma}

Shuningdek, qolgan shartlardan bizda mavjud

{displaystyle ((r + c) (r + c-1) + gamma (r + c)) a_ {r} + (- (r + c-1) (r + c-2) - (1 + alfa +) eta) (r + c-1) -alpha eta) a_ {r-1} = 0}

Shuning uchun,

{displaystyle {egin {aligned} a_ {r} & = {frac {(r + c-1) (r + c-2) + (1 + alfa + eta) (r + c-1) + alfa eta} { (r + c) (r + c-1) + gamma (r + c)}} a_ {r-1} & = {frac {(r + c-1) (r + c + alfa + eta -1 ) + alfa eta} {(r + c) (r + c + gamma -1)}} a_ {r-1} end {hizalangan}}}

Ammo

{displaystyle {egin {hizalanmış} (r + c-1) (r + c + alfa + eta -1) + alfa eta & = (r + c-1) (r + c + alfa -1) + (r + c-1) eta + alfa eta & = (r + c-1) (r + c + alfa -1) + eta (r + c + alfa -1) oxiri {hizalangan}}}

Shunday qilib, biz takrorlanish munosabati

{displaystyle a_ {r} = {frac {(r + c + alfa -1) (r + c + eta -1)} {(r + c) (r + c + gamma -1)}} a_ {r-1 }, {ext {for}} rgeq 1.}

Keling, ushbu munosabatni berish orqali soddalashtiramiz a_r xususida a₀ o'rniga a_r₋₁. Takrorlanish munosabatlaridan (izoh: quyida, shakl ifodalari (siz)_r ga murojaat qiling Pochhammer belgisi ).

{displaystyle {egin {aligned} a_ {1} & = {frac {(c + alfa) (c + eta)} {(c + 1) (c + gamma)}} a_ {0} a_ {2} & = {frac {(c + alfa +1) (c + eta +1)} {(c + 2) (c + gamma +1)}} a_ {1} = {frac {(c + alfa +1) (c +) alfa) (c + eta) (c + eta +1)} {(c + 2) (c + 1) (c + gamma) (c + gamma +1)}} a_ {0} = {frac {(c + alfa) ) _ {2} (c + eta) _ {2}} {(c + 1) _ {2} (c + gamma) _ {2}}} a_ {0} a_ {3} & = {frac {( c + alfa +2) (c + eta +2)} {(c + 3) (c + gamma +2)}} a_ {2} = {frac {(c + alfa) _ {2} (c + alfa +) 2) (c + eta) _ {2} (c + eta +2)} {(c + 1) _ {2} (c + 3) (c + gamma) _ {2} (c + gamma +2)}} a_ {0} = {frac {(c + alfa) _ {3} (c + eta) _ {3}} {(c + 1) _ {3} (c + gamma) _ {3}}} a_ {0 } end {hizalangan}}}

Ko'rib turganimizdek,

{displaystyle a_ {r} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gamma) _ {r}}} a_ {0}, {ext {for}} rgeq 0}

Demak, bizning taxmin qilingan echimimiz shaklga ega

{displaystyle y = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {mohir}} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gamma) _ {r}}} x ^ {r + c}.}

Endi biz har xil holatlarga mos keladigan echimlarni o'rganishga tayyormiz v₁ − v₂ = ph - 1 (bu parametr parametrini o'rganishga qisqartiradi: u butun son bo'ladimi yoki yo'qmi).

Ikkala ildizning γ - 1 farqi bo'yicha eritmani tahlil qilish

an butun son emas

Keyin y₁ = y|_{v = 0} va y₂ = y|_{v = 1 - γ}. Beri

{displaystyle y = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {mohir}} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gamma) _ {r}}} x ^ {r + c},}

bizda ... bor

{displaystyle {egin {aligned} y_ {1} & = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} (gamma) _ {r}}} x ^ {r} = a_ {0} cdot {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; gamma; x) y_ {2} & = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa + 1-gamma) _ {r} (eta + 1-gamma) _ {r}} {(1-gamma +1 ) _ {r} (1-gamma + gamma) _ {r}}} x ^ {r + 1-gamma} & = a_ {0} x ^ {1-gamma} sum _ {r = 0} ^ { infty} {frac {(alfa + 1-gamma) _ {r} (eta + 1-gamma) _ {r}} {(1) _ {r} (2-gamma) _ {r}}} x ^ { r} & = a_ {0} x ^ {1-gamma} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa -gamma +1, eta -gamma +1; 2-gamma; x) end {hizalanmış }}}

Shuning uchun, ${displaystyle y = A'y_ {1} + B'y_ {2}.}$ Ruxsat bering A′ A₀ = a va B′ a₀ = B. Keyin

{displaystyle y = A {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; gamma; x) + Bx ^ {1-gamma} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa -gamma) +1, eta -gamma +1; 2-gamma; x),}

b = 1

Keyin y₁ = y|_{v = 0}. Ph = 1 bo'lgani uchun bizda mavjud

{displaystyle y = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {mohir}} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r + c}.}

Shuning uchun,

{displaystyle {egin {aligned} y_ {1} & = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r}}} x ^ {r} = a_ {0} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1; x) y_ {2} & = chap. {frac {qisman y} {qisman c}} ight | _ {c = 0} .end {aligned}}}

Ushbu lotinni hisoblash uchun ruxsat bering

{displaystyle M_ {r} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}}.}

Keyin

{displaystyle ln (M_ {r}) = ln chap ({frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}}) ight) = ln (c + alfa) _ {r} + ln (c + eta) _ {r} -2ln (c + 1) _ {r}}

Ammo

{displaystyle ln (c + alfa) _ {r} = ln chap ((c + alfa) (c + alfa +1) cdots (c + alfa + r-1) ight) = sum _ {k = 0} ^ { r-1} ln (c + alfa + k).}

Shuning uchun,

{displaystyle {egin {hizalanmış} ln (M_ {r}) & = sum _ {k = 0} ^ {r-1} ln (c + alfa + k) + sum _ {k = 0} ^ {r-1 } ln (c + eta + k) -2sum _ {k = 0} ^ {r-1} ln (c + 1 + k) & = sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap (ln ( c + alfa + k) + ln (c + eta + k) -2ln (c + 1 + k) ight) end {hizalanmış}}}

Tenglamaning ikkala tomonini nisbatan farqlash v, biz olamiz:

{displaystyle {frac {1} {M_ {r}}} {frac {qisman M_ {r}} {qisman c}} = sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {) c + alfa + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 + k}} ight).}

Shuning uchun,

{displaystyle {frac {qisman M_ {r}} {qisman c}} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ { 2}}} sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {c + alfa + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2 } {c + 1 + k}} kech).}

Hozir,

{displaystyle y = a_ {0} x ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1 ) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r} = a_ {0} x ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} M_ {r} x ^ {r}.}

Shuning uchun,

{displaystyle {egin {hizalanmış} {frac {qisman y} {qisman c}} & = a_ {0} x ^ {c} ln (x) sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c +) alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r} + a_ {0} x ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} chap ({frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} chap {sum _) {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {c + alfa + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 +) k}} ight) ight} ight) x ^ {r} & = a_ {0} x ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} ( c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r}) ^ {2}}} chap (ln x + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1}) {c + alfa + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 + k}} ight) ight) x ^ {r} .end {aligned}} }

Uchun v = 0, biz olamiz

{displaystyle y_ {2} = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} ^ { 2}}} chap (ln x + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa + k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight) ight) x ^ {r}.}

Shuning uchun, y = C′y₁ + D.′y₂. Ruxsat bering C′a₀ = C va D.′a₀ = D.. Keyin

{displaystyle y = C {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1; x) + Dsum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta ) _ {r}} {(1) _ {r} ^ {2}}} chap (ln (x) + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa +) k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight) ight) x ^ {r}}

γ butun son va γ ≠ 1

γ ≤ 0

Ning qiymati ${displaystyle gamma}$ bu ${displaystyle gamma = 0, -1, -2, cdots}$ . Dastlab, biz ma'lum bir qiymatni jamlash orqali masalalarni soddalashtiramiz ${displaystyle gamma}$ va natijani keyingi bosqichda umumlashtiring.Biz qiymatdan foydalanamiz ${displaystyle gamma = -2}$ . Rasmiy tenglamaning ildizi bor ${displaystyle c = 0}$ , va biz takrorlanish munosabatlaridan ko'ramiz

${displaystyle a_ {r} = {frac {(r + c + alfa -1) (r + c + eta -1)} {(r + c) (r + c-3)}} a_ {r-1}, }$

bu qachon ${displaystyle r = 3}$ bu maxrajning omili borligi ${displaystyle c}$ qachon yo'qoladi ${displaystyle c = 0}$ . Bunday holda, eritma orqali echim olish mumkin ${displaystyle a_ {0} = b_ {0} c}$ qayerda ${displaystyle b_ {0}}$ doimiy.

Ushbu almashtirish bilan, ning koeffitsientlari ${displaystyle x ^ {r}}$ qachon yo'qoladi ${displaystyle c = 0}$ va ${displaystyle r <3}$ . Omil ${displaystyle c}$ takrorlanish munosabati maxrajida raqam bilan munosabati bekor qilinadi qachon ${displaystyle rgeq 3}$ . Shunday qilib, bizning echimimiz shaklga ega

${displaystyle y_ {1} = {frac {b_ {0}} {(- 2) imes (-1)}} chap ({frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {(3) ! 0!}} X ^ {3} + {frac {(alfa) _ {4} (eta) _ {4}} {4! 1!}} X ^ {4} + {frac {(alfa) _ { 5} (eta) _ {5}} {5! 2!}} X ^ {5} + cdots ight)}$

${displaystyle = {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} sum _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {r! (r-3)!}} x ^ {r} = {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {3!}} Sum _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa +3) _ {r-3} (eta +3) _ {r-3}} {(1 +3) _ {r-3} (r-3)!}} X ^ {r}.}$

Agar biz yig'ishni boshlasak ${displaystyle r = 0}$ dan ko'ra ${displaystyle r = 3}$ biz buni ko'ramiz

${displaystyle y_ {1} = b_ {0} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {(- 2) _ {2} imes 3!}} x ^ {3} {_ {2} F_ {1}} (alfa +3, eta +3; (1 + 3); x).}$

Natija (biz yozganimizdek) osonlikcha umumlashtiriladi. Uchun ${displaystyle gamma = 1 + m}$ , bilan ${displaystyle m = 1,2,3, cdots}$ keyin

${displaystyle y_ {1} = b_ {0} {frac {(alfa) _ {m} (eta) _ {m}} {(1-m) _ {m-1} imes m!}} x ^ {m } {_ {2} F_ {1}} (alfa + m, eta + m; (1 + m); x).}$

Shubhasiz, agar ${displaystyle gamma = -2}$ , keyin ${displaystyle m = 3}$ . Uchun ifoda ${displaystyle y_ {1} (x)}$ biz oddiygina ixtiyoriy multiplikativ doimiydan tashqari multiplikativ doimiyga ega bo'lganimiz uchun ozgina nafis ko'rinishga ega bo'ldik ${displaystyle b_ {0}}$ .Keyinchalik, biz bu kabi doimiy doimiy paydo bo'lmaydigan tarzda narsalarni qayta tiklashimiz mumkinligini ko'ramiz

Rasmiy tenglamaning boshqa ildizi ${displaystyle c = 1-gamma = 3}$ , lekin bu bizga (multiplikativ doimiydan tashqari) foydalanishda bir xil natijalarni beradi ${displaystyle c = 0}$ . Bu shuni anglatadiki, biz qisman lotinni olishimiz kerak (w.r.t. ${displaystyle c}$ Ikkinchi mustaqil echimni topish uchun odatiy sinov echimini, agar biz chiziqli operatorni aniqlasak ${displaystyle L}$ kabi

${displaystyle L = x (1-x) {frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} - (alfa + eta +1) x {frac {d} {dx}} + gamma {frac { d} {dx}} - alfa va boshqalar,}$

keyin beri ${displaystyle gamma = -2}$ bizning holimizda,

${displaystyle Lcsum _ {r = 0} ^ {infty} b_ {r} (c) x ^ {r} = b_ {0} c ^ {2} (c-3).}$

(Biz shuni ta'kidlaymiz ${displaystyle b_ {0} eq 0}$ .) Qisman hosilasini olish w.r.t ${displaystyle c}$ ,

${displaystyle L {frac {kısalt} {qisman c}} csum _ {r = 0} ^ {infty} b_ {r} (c) x ^ {r + c} = b_ {0} (3c ^ {2} - 6c).}$

E'tibor bering, biz qisman lotinni baholashimiz kerak ${displaystyle c = 0}$ (va boshqa ildizda emas ${displaystyle c = 3}$ ). Aks holda, o'ng tomon yuqoridagi nolga teng emas va bizda uning echimi yo'q ${displaystyle Ly (x) = 0}$ .Faktor ${displaystyle c}$ uchun bekor qilinmagan ${displaystyle r = 0,1}$ va ${displaystyle r = 2}$ .Ikkinchi mustaqil echimning bu qismi

${displaystyle {igg [} {frac {qisman} {qisman c}} b_ {0} {igg (} c + c {frac {(c + alfa) (c + eta)} {(c + 1) (c-2) }} x + c {frac {(c + alfa) (c + alfa +1) (c + eta) (c + eta +1)} {(c + 1) (c + 2) (c-2) (c) -1)}} x ^ {2} {igg)} {igg]} {igg vert} _ {c = 0}.}$ ${displaystyle = b_ {0} chap (1+ {frac {alfa eta} {1! imes (-2)}} x + {frac {alfa (alfa +1) eta (eta +1)} {2! imes (-) 2) imes (-1)}} x ^ {2} ight) = b_ {0} sum _ {r = 0} ^ {3-1} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r }} {r! (1-3) _ {r}}} x ^ {r}.}$

Endi biz e'tiborimizni omil bo'lgan shartlarga qaratamiz ${displaystyle c}$ bekor qiladi.Birinchidan

${displaystyle cb_ {3} = {frac {b_ {0}} {(c-1) (c-2)}} {bekor qilish {c}} {frac {(c + alfa) (c + alfa +1)) c + alfa +2) (c + eta) (c + eta +1) (c + eta +2)} {{bekor qilish {c}} (c + 1) (c + 2) (c + 3)}}.}$

Shundan so'ng, takroriy munosabatlar bizga beradi

${displaystyle cb_ {4} = cb_ {3} (c) {frac {(c + alfa +3) (c + eta +3)} {(c + 1) (c + 4))}}.}$

${displaystyle cb_ {5} = cb_ {3} (c) {frac {(c + alfa +3) (c + alfa +4) (c + eta +3) (c + eta +4))}} (c + 2) ) (c + 1) (c + 5) (c + 4)}}.}$

Shunday qilib, agar ${displaystyle rgeq 3}$ bizda ... bor

${displaystyle cb_ {r} = {frac {b_ {0}} {(c-1) (c-2)}} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} { (c + 1) _ {r-3} (c + 1) _ {r}}}.}$

Bizga qisman hosilalar kerak

${displaystyle {frac {qisman cb_ {3} (c)} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {0! 3!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} + {frac {1} {alfa}} + + frac {1} {alfa +1}} + {frac {1} {alfa +2}}}$ ${displaystyle + {frac {1} {eta}} + {frac {1} {eta +1}} + {frac {1} {eta +2}} - {frac {1} {1}} - {frac { 1} {2}} - {frac {1} {3}} {igg]}.}$

Xuddi shunday, biz yozishimiz mumkin

${displaystyle {frac {qisman cb_ {4} (c)} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {4} (eta) _ {4}} {1! 4!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} }$ ${displaystyle + sum _ {k = 0} ^ {k = 3} {frac {1} {alfa + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = 3} {frac {1} {eta + k }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} - {frac {1} {3}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {1 }} {igg]},}$

va

${displaystyle {frac {qisman cb_ {5} (c)} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {5} (eta) _ {5}} {2! 5!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} }$ ${displaystyle + sum _ {k = 0} ^ {k = 4} {frac {1} {alfa + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = 4} {frac {1} {eta + k }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} - {frac {1} {3}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {5 }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} {igg]}.}$

Uchun ekanligi ayon bo'ladi ${displaystyle rgeq 3}$

${displaystyle {frac {qisman cb_ {r} (c)} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(r-3)! r!}} {igg [} H_ {2} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alfa + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {r-3} {igg]}.}$

Bu yerda, ${displaystyle H_ {k}}$ bo'ladi ${displaystyle k}$ ning qisman yig'indisi garmonik qator va ta'rifi bo'yicha ${displaystyle H_ {0} = 0}$ va ${displaystyle H_ {1} = 1}$ .

Ish uchun ularni birlashtirish ${displaystyle gamma = -2}$ bizda ikkinchi echim bor

${displaystyle y_ {2} (x) = log x imes {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} sum _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (r-3)!}} x ^ {r} + b_ {0} sum _ {r = 0} ^ {3-1} {frac {(alfa) ) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (1-3) _ {r}}} x ^ {r}}$

${displaystyle + {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} sum _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {(r-3)! r!}} {igg [} H_ {2} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alfa + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {r-3} {{igg]} x ^ {r}}.}$

Uchun ikkita mustaqil echim ${displaystyle gamma = 1-m}$ (qayerda ${displaystyle m}$ musbat tamsayı) keyin bo'ladi

${displaystyle y_ {1} (x) = {frac {1} {(1-m) _ {m-1}}} sum _ {r = m} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (rm)!}} x ^ {r}}$

va

${displaystyle y_ {2} (x) = log x imes y_ {1} (x) + sum _ {r = 0} ^ {m-1} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r }} {r! (1-m) _ {r}}} x ^ {r}}$

${displaystyle + {frac {1} {(1-m) _ {m-1}}} sum _ {r = m} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {(rm)! r!}} {igg [} H_ {m-1} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alfa + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {rm} {igg]} x ^ {r}.}$

Umumiy echim odatdagidek ${displaystyle y (x) = Ay_ {1} (x) + By_ {2} (x)}$ qayerda ${displaystyle A}$ va ${displaystyle B}$ Endi, agar o'quvchi ushbu holat uchun "standart echim" bilan maslahatlashsa, masalan Abramovits va Stegun tomonidan berilgan ^[1] §15.5.21 da (keyingi qism oxirida yozamiz) bu topilgan ${displaystyle y_ {2}}$ Biz topgan echim standart echimdan bir oz farq qiladi ${displaystyle y_ {2}}$ , cheksiz qator qismidagi birinchi atama ${displaystyle y_ {2}}$ atamasi ${displaystyle x ^ {m}}$ . Standart echimdagi tegishli infiniteseriyalardagi birinchi atama in atamadir ${displaystyle x ^ {m + 1}}$ .The ${displaystyle x ^ {m}}$ standart echimida atama etishmayapti, shunga qaramay, ikkala echim butunlay tengdir.

Standart "Qaror shakli γ Form 0

Yuqorida keltirilgan eritma bilan Abramovits va Stegundagi standart echim o'rtasidagi ziddiyatning sababi ^[1]§15.5.21 - bu gipergeometrik ODE ning ikkita mustaqil echimini ifodalaydigan cheksiz sonli yo'llar, masalan, oxirgi qismda biz almashtirdik ${displaystyle a_ {0}}$ bilan ${displaystyle b_ {0} c}$ . Aytaylik, bizga qandaydir funktsiya berilgan ${displaystyle h (c)}$ har qanday joyda o'zboshimchalik bilan kichik oraliqda doimiy va cheklangan ${displaystyle c = 0}$ . Bizga ham berilgan deylik

${displaystyle h (c) vert _ {c = 0} ekv 0,}$ va ${displaystyle {frac {dh} {dc}} {igg vert} _ {c = 0} eq 0.}$

Keyin almashtirish o'rniga ${displaystyle a_ {0}}$ bilan ${displaystyle b_ {0} c}$ biz almashtiramiz ${displaystyle a_ {0}}$ bilan ${displaystyle b_ {0} h (c) c}$ , biz hali ham gipergeometrik tenglamaning to'g'ri echimiga egamiz. Shubhasiz, bizda imkoniyatlarning cheksizligi bor ${displaystyle h (c)}$ . Biroq, "tabiiy tanlov" mavjud ${displaystyle h (c)}$ .Shuningdek ${displaystyle cb_ {N} (c) = b_ {0} f (c)}$ birinchi nolga teng bo'lmagan birinchisi ${displaystyle y_ {1} (x)}$ bilan hal qilish ${displaystyle c = 0}$ . Agar qilsak ${displaystyle h (c)}$ o'zaro ${displaystyle f (c)}$ , unda biz multiplikativ doimiyga ega bo'lmaymiz ${displaystyle y_ {1} (x)}$ oldingi bo'limda qilganimiz kabi. Boshqa nuqtai nazardan, agar biz buni talab qilsak, xuddi shunday natijaga erishamiz ${displaystyle a_ {N}}$ dan mustaqildir ${displaystyle c}$ va toping ${displaystyle a_ {0} (c)}$ takroriy munosabatlarni orqaga qaytarish yordamida.

Birinchisi uchun ${displaystyle (c = 0)}$ echim, funktsiya ${displaystyle h (c)}$ bizga (ko'paytuvchi doimiydan tashqari) xuddi shunday beradi ${displaystyle y_ {1} (x)}$ biz foydalangan holda erishgan bo'lar edik ${displaystyle h (c) = 1}$ .Foydalanib ko'ring ${displaystyle h (c) = 1}$ ikkita mustaqil echimni keltirib chiqaradi ${displaystyle y_ {1} (x)}$ va ${displaystyle y_ {2} (x)}$ . Quyida keltirilgan ba'zi bir echimlarni ko'rib chiqamiz ${displaystyle h (c) eq 1}$ kabi ${displaystyle {ilde {y}} _ {1} (x)}$ va ${displaystyle {ilde {y}} _ {2} (x)}$ .

Ikkinchi echim w.r.t ning qisman hosilasini olishni talab qiladi ${displaystyle c}$ va odatdagi sinov echimini almashtirish bizga beradi

${displaystyle L {frac {kısalt} {qisman c}} sum _ {r = 0} ^ {infty} ch (c) b_ {r} x ^ {r + c} = b_ {0} chap ({frac {dh } {dc}} c ^ {2} (c-1) + 2ch (c) (c-1) + h (c) c ^ {2} ight).}$

Operator ${displaystyle L}$ oldingi bo'limda muhokama qilingan bir xil chiziqli operator. Ya'ni, gipergeometrik ODE quyidagicha ifodalanadi ${displaystyle Ly (x) = 0}$ .

Chap tomonni baholash ${displaystyle c = 0}$ bizga ikkinchi mustaqil echimni beradi.Bu ikkinchi echimni unutmang ${displaystyle {{ilde {y}} _ {2}}}$ aslida ning chiziqli kombinatsiyasi ${displaystyle y_ {1} (x)}$ va ${displaystyle y_ {2} (x)}$ .

Har qanday ikkita mustaqil chiziqli birikmalar ( ${displaystyle {ilde {y}} _ {1}}$ va ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$ ) ning ${displaystyle y_ {1}}$ va ${displaystyle y_ {2}}$ ning mustaqil echimlari ${displaystyle Ly = 0}$ .

Umumiy yechimni ning chiziqli birikmasi sifatida yozish mumkin ${displaystyle {ilde {y}} _ {1}}$ va ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$ ning chiziqli birikmalari kabi ${displaystyle y_ {1}}$ va ${displaystyle y_ {2}}$ .

Biz qaerda bo'lgan maxsus ishni ko'rib chiqamiz ${displaystyle gamma = 1-3 = -2}$ oxirgi bobda ko'rib chiqildi. Agar biz "turib olsak" ${displaystyle a_ {3} (c) = const.}$ , keyin takroriy munosabatlar hosil beradi

${displaystyle a_ {2} = a_ {3} {frac {c (3 + c)} {(2 + alfa + c) (2+ eta + c)}},}$ ${displaystyle a_ {1} = a_ {3} {frac {c (2 + c) (3 + c) (c-1)} {(1 + alfa + c) (2 + alfa + c) (1+ eta) + c) (2+ eta + c)}},}$

va

${displaystyle a_ {0} = a_ {3} {frac {c (1 + c) (2 + c) (3 + c) (c-1) (c-2)} {(alfa + c) _ {3) } (eta + c) _ {3}}} = b_ {0} ch (c).}$

Ushbu uchta koeffitsientning barchasi nolga teng ${displaystyle c = 0}$ kutilganidek.Bizda uchta shart mavjud ${displaystyle y_ {2} (x)}$ w.r.t partiyaviy hosilasini hisobga olib ${displaystyle c}$ , biz ushbu koeffitsientlarni o'z ichiga olgan uchta shartning yig'indisini quyidagicha belgilaymiz ${displaystyle S_ {3}}$ qayerda

${displaystyle S_ {3} = chap [{frac {qisman} {qisman c}} chap (a_ {0} (c) x ^ {c} + a_ {1} (c) x ^ {c + 1} + a_ {2} (c) x ^ {c + 2} ight) ight] _ {c = 0},}$ ${displaystyle = a_ {3} chap [{frac {3 imes 2 imes 1 (-2) imes (-1)} {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}}} x ^ {3-3 } + {frac {3 imes 2 imes (-1)} {(alfa +1) (alfa +2) (eta +1) (eta +2)}} x ^ {3-2} + {frac {3} {(alfa +2) (eta +2) _ {1}}} x ^ {3-1} ight].}$

O'quvchi buni tartibga solib, qo'yish orqali umumlashtirishni osonlashtirishimiz mumkinligini tasdiqlashi mumkin

${displaystyle S_ {3} = - a_ {3} sum _ {r = 1} ^ {3} {frac {(-3) _ {r} (r-1)!} {(1-alfa -3) _ {r} (1- eta -3) _ {r}}} x ^ {3-r}.}$

Keyin boshqa koeffitsientlarga murojaat qilishimiz mumkin, takroriy munosabatlar hosil bo'ladi

${displaystyle a_ {4} = a_ {3} {frac {(3 + c + alfa) (3 + c + eta)} {(4 + c) (1 + c)}}}$ ${displaystyle a_ {5} = a_ {3} {frac {(4 + c + alfa) (3 + c + alfa) (4 + c + eta) (3 + c + alfa} {(5 + c) (4+) c) (1 + c) (2 + c)}}}$

O'rnatish ${displaystyle c = 0}$ bizga beradi

${displaystyle {ilde {y}} _ {1} (x) = a_ {3} x ^ {3} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa +3) _ {r} (eta +3) _ {r}} {(3 + 1) _ {r} r!}} X ^ {r} = a_ {3} x ^ {3} {_ {2} F_ {1}} (alfa +) 3, eta +3; (1 + 3); z).}$

Bu (multiplikativ doimiydan tashqari) ${displaystyle (a) _ {3} (b) _ {3} / 2}$ ) bilan bir xil ${displaystyle y_ {1} (x)}$ .Hozir topish ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$ bizga qisman hosilalar kerak

${displaystyle {frac {qisman a_ {4}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = a_ {3} {igg [} {frac {(3 + c + alfa) (3 + c + eta )} {(4 + c) (1 + c)}} {igg (} {frac {1} {alfa + 3 + c}} + {frac {1} {eta + 3 + c}} - {frac { 1} {4 + c}} - {frac {1} {1 + c}} {igg)} {igg]} _ {c = 0}}$

${displaystyle = a_ {3} {frac {(3 + alfa) _ {1} (3+ eta) _ {1}} {(1 + 3) _ {1} imes 1}} {igg (} {frac {) 1} {alfa +3}} + {frac {1} {eta +3}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {1}} {igg)}.}$

Keyin

${displaystyle {frac {qisman a_ {5}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = a_ {3} {frac {(3 + alfa) _ {2} (3+ eta) _ { 2}} {(1 + 3) _ {2} imes 1 imes 2}} {igg (} {frac {1} {alfa +3}} + {frac {1} {alfa +4}} + {frac { 1} {eta +3}} + {frac {1} {eta +4}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {5}} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} {igg)}.}$

biz buni qayta yozishimiz mumkin

${displaystyle {frac {qisman a_ {5}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = a_ {3} {frac {(3 + alfa) _ {2} (3+ eta) _ { 2}} {(1 + 3) _ {2} imes 2!}} {Igg [} sum _ {k = 0} ^ {1} qoldi ({frac {1} {alfa + 3 + k}} + { frac {1} {eta + 3 + k}} ight) + sum _ {k = 1} ^ {3} {frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {5} {frac { 1} {k}} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} {igg]}.}$

Tez orada naqsh aniq bo'ladi va uchun ${displaystyle r = 1,2,3, cdots}$

${displaystyle {frac {qisman a_ {r + 3}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = a_ {3} {frac {(3 + alfa) _ {r} (3+ eta) _ {r}} {(1 + 3) _ {r} imes r!}} {igg [} sum _ {k = 0} ^ {r-1} qoldi ({frac {1} {alfa + 3 + k }} + {frac {1} {eta + 3 + k}} ight) + sum _ {k = 1} ^ {3} {frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {r +3} {frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {r} {frac {1} {k}} {igg]}.}$

Shubhasiz, uchun ${displaystyle r = 0}$ ,

${displaystyle {frac {qisman a_ {3}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} = 0.}$

Ning cheksiz qator qismi ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$ bu ${displaystyle S_ {infty}}$ , qayerda

${displaystyle S_ {infty} = x ^ {3} sum _ {r = 1} ^ {infty} {frac {qisman a_ {r + 3}} {qisman c}} {igg vert} _ {c = 0} x ^ {r}.}$

Endi (uchun ixtiyoriy doimiylikni hisobga olmasdan) yozishimiz mumkin ${displaystyle gamma = 1-m}$

${displaystyle {ilde {y}} _ {1} (x) = x ^ {3} {_ {2} F_ {1}} (alfa + m, eta + m; 1 + m; z)}$

${displaystyle {ilde {y}} _ {2} (x) = {ilde {y}} _ {1} (x) log x-sum _ {r = 1} ^ {m} {frac {(-m) _ {r} (r-1)!} {(1-alfa -m) _ {r} (1- eta -m) _ {r}}} x ^ {mr}.}$ ${displaystyle + x ^ {3} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa + m) _ {r} (eta + m) _ {r}} {(1 + m) _ {r } imes r!}} {igg [} sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa + m + k}} + {frac {1} {eta + m + k }} ight) + sum _ {k = 1} ^ {3} {frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {r + 3} {frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {r} {frac {1} {k}} {{igg]} x ^ {r}}.}$

Ba'zi mualliflar cheklangan summalarnidigamma funktsiyasi ${displaystyle psi (x)}$ . Xususan, quyidagi natijalardan foydalaniladi

${displaystyle H_ {n} = psi (n + 1) + gamma _ {em}.}$ Bu yerda, ${displaystyle gamma _ {em} = 0.5772156649 = psi (1)}$ bo'ladi Eyler-Maskeroni doimiy. Shuningdek

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} {frac {1} {z + k}} = psi (z + n) -psi (z).}$

Ushbu natijalar bilan biz Abramamovits va Stegun §15.5.21 da berilgan shaklni olamiz

${displaystyle {ilde {y}} _ {2} (x) = {ilde {y}} _ {1} (x) log x-sum _ {r = 1} ^ {m} {frac {(-m) _ {r} (r-1)!} {(1-alfa -m) _ {r} (1- eta -m) _ {r}}} x ^ {mr}.}$ ${displaystyle + x ^ {3} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa + m) _ {r} (eta + m) _ {r}} {(1 + m) _ {r } imes r!}} {igg [} psi (alfa + r + m) -psi (alfa + m) + psi (eta + r + m) -psi (eta + m)}$ ${displaystyle -psi (r + 1 + m) -psi (r + 1) + psi (1 + m) + psi (1) {{igg]} x ^ {r}}.}$

Standart "Qaror shakli γ> 1

Ushbu bo'limda biz "standart echim" ga e'tibor qaratamiz va biz uni almashtirmaymiz ${displaystyle a_ {0}}$ bilan ${displaystyle b_ {0} (c-1 + gamma)}$ .Biz qo'yamiz ${displaystyle gamma = 1 + m}$ qayerda ${displaystyle m = 1,2,3, cdots}$ .Ildiz uchun ${displaystyle c = 1-gamma}$ bizda rasmiy evauation

${displaystyle A_ {r} = chap [A_ {r-1} {frac {(r + alfa -1 + c) (r + eta -1 + c)} {(r + c) (r + c + gamma -1) )}} ight] _ {c = 1-gamma} = A_ {r-1} {frac {(r + alfa -gamma) (r + eta -gamma)} {(r + 1-gamma) (r)}} ,}$

qayerda ${displaystyle rgeq 1}$ bu holda biz muammoga duch kelamiz ${displaystyle r = gamma -1 = m}$ .Masalan, agar ${displaystyle gamma = 4}$ , takrorlanish munosabatlaridagi maxraj uchun ${displaystyle r = 3}$ .Biz doimiy ravishda standart echim uchun ishlatgan usullardan to'liq foydalanishimiz mumkin. Biz qilmaymiz (qaerda bo'lgan taqdirda) ${displaystyle gamma = 4}$ ) almashtirish ${displaystyle a_ {0}}$ bilan ${displaystyle b_ {0} (c + 3)}$ chunki bu biz hal qiladigan standart echimlarni bermaydi, aksincha, biz buni "talab qilamiz" ${displaystyle A_ {3} = const.}$ biz uchun standart echimni qildik ${displaystyle gamma = -2}$ oxirgi bo'limda. (Bu funktsiyani aniqlaganligini eslang ${displaystyle h (c)}$ va bu ${displaystyle a_ {0}}$ endi bilan almashtiriladi ${displaystyle b_ {0} (c + 3) h (c)}$ .) Keyin biz koeffitsientlarni ishlab chiqishimiz mumkin ${displaystyle x ^ {0}}$ ga ${displaystyle x ^ {2}}$ funktsiyalari sifatida ${displaystyle c}$ Bu erda qo'shilish uchun hech qanday yangi narsa yo'q va o'quvchi natijalarni topish uchun oxirgi bobda ishlatilgan usullardan foydalanishi mumkin. ^[1]§15.5.18 va §15.5.19, bular

${displaystyle y_ {1} = {_ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1 + m; x),}$

va

${displaystyle y_ {2} = {_ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1 + m; x) log x + z ^ {m} sum _ {r = 1} ^ {infty} {frac { (alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (1 + m) _ {r}}} [psi (alfa + r) -psi (alfa) + psi (eta + k) -psi (va boshqalar)}$ ${displaystyle -psi (m + 1 + r) + psi (m + 1) -psi (r + 1) + psi (1)] z ^ {r} -sum _ {k = 1} ^ {m} {frac {(k-1)! (- m) _ {k}} {(1-alfa) _ {k} (1- eta) _ {k}}} z ^ {- r}.}$

Ning vakolatlari ${displaystyle z}$ qismning cheklangan yig'indisida ${displaystyle y_ {2} (x)}$ Endi manfiy, shuning uchun bu summa ikkiga bo'linadi ${displaystyle zightarrow 0 $}$

Atrofdagi echim x = 1

Keling, birlik nuqtasini o'rganamiz x = 1. Muntazamligini ko'rish uchun,

{displaystyle {egin {aligned} lim _ {x oa} {frac {(xa) P_ {1} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 1} {frac {( x-1) (gamma - (1 + alfa + eta) x)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 1} {frac {- (gamma - (1 + alfa + eta) x) } {x}} = 1 + alfa + eta -gamma lim _ {x oa} {frac {(xa) ^ {2} P_ {0} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 1} {frac {(x-1) ^ {2} (- alfa eta)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 1} {frac {(x-1) alfa eta} {x}} = 0end {aligned}}}

Demak, ikkala chegaralar ham mavjud x = 1 muntazam birlik sonidir. Endi forma bo'yicha echim qabul qilish o'rniga

{displaystyle y = sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (x-1) ^ {r + c},}

biz ushbu holatning echimlarini nuqta uchun echimlar nuqtai nazaridan ifodalashga harakat qilamiz x = 0. Biz quyidagicha harakat qilamiz: bizda gipergeometrik tenglama bor edi

{displaystyle x (1-x) y '' + (gamma - (1 + alfa + eta) x) y'-alfa eta y = 0.}

Ruxsat bering z = 1 − x. Keyin

{displaystyle {egin {aligned} {frac {dy} {dx}} & = {frac {dy} {dz}} imes {frac {dz} {dx}} = - {frac {dy} {dz}} = - y ' {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} & = {frac {d} {dx}} chap ({frac {dy} {dx}} ight) = {frac {d } {dx}} chap (- {frac {dy} {dz}} ight) = {frac {d} {dz}} chap (- {frac {dy} {dz}} ight) imes {frac {dz} { dx}} = {frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} = y''end {aligned}}}

Demak, tenglama shaklga ega bo'ladi

{displaystyle z (1-z) y '' + (alfa + eta -gamma + 1- (1 + alfa + eta) z) y'-alfa eta y = 0.}

Beri z = 1 − x, da gipergeometrik tenglamaning yechimi x = 1 bu tenglama echimi bilan bir xil bo'ladi z = 0. Ammo z = 0 dagi eritma nuqta uchun biz olgan eritma bilan bir xildir x = 0, agar biz har bir replace ni a + β - γ + 1 bilan almashtirsak, shuning uchun echimlarni olish uchun avvalgi natijalarda ushbu almashtirishni amalga oshiramiz. Uchun x = 0, v₁ = 0 va v₂ = 1 - γ. Demak, bizning holimizda, v₁ = 0 vaqt v₂ = g - a - b. Keling, echimlarni yozamiz. Quyida biz har birini almashtirdik z 1 tomonidan - x.

Ikkala ildizning g - a - b farqi bo'yicha eritmani tahlil qilish

Hozirdan yozuvlarni soddalashtirish uchun γ - a - β ni Δ bilan belgilang, shuning uchun b = Δ + a + β.

An butun son emas

{displaystyle y = Aleft {{{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; -Delta +1; 1-x) ight} + Bleft {(1-x) ^ {Delta} {{} _ {2} F_ {1}} (Delta + eta, Delta + alfa; Delta +1; 1-x) yopiq}}

B = 0

{displaystyle y = Cleft {{{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1; 1-x) ight} + Dleft {sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) ) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} ^ {2}}} chap (ln (1-x) + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa + k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {2} {1 + k}} tight) tight) (1-x) ^ {r} ight }}

Δ nolga teng bo'lmagan butun son

Δ> 0

{displaystyle {egin {aligned} y & = Eleft {{frac {1} {(- Delta +1) _ {Delta -1}}} sum _ {r = 1-Delta -alpha - eta} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r-Delta}}} (1-x) ^ {r} ight} + & quad + Fleft {(1-x) ^ {Delta} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(Delta) (Delta + alfa) _ {r} (Delta + eta) _ {r}} {(Delta) +1) _ {r} (1) _ {r}}} chap (ln (1-x) + {frac {1} {Delta}} + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ( {frac {1} {Delta + alfa + k}} + {frac {1} {Delta + eta + k}} - {frac {1} {Delta + 1 + k}} - {frac {1} {1+ k}} ight) ight) (1-x) ^ {r} ight} end {hizalanmış}}}

Δ <0

{displaystyle {egin {aligned} y & = Gleft {{frac {(1-x) ^ {Delta}} {(Delta +1) _ {- Delta -1}}} sum _ {r = -Delta} ^ {infty } {frac {(Delta + alfa) _ {r} (Delta + eta) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r + Delta}}} (1-x) ^ {r } ight} + & quad + Hleft {sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(Delta) (Delta + alfa) _ {r} (Delta + eta) _ {r}} {(Delta +1 ) _ {r} (1) _ {r}}} chap (ln (1-x) - {frac {1} {Delta}} + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac) {1} {alfa + k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {1} {- Delta + 1 + k}} - {frac {1} {1 + k}} ight) ight) (1-x) ^ {r} ight} oxiri {hizalanmış}}}

Cheksizlik atrofida echim

Va nihoyat, biz o'ziga xoslikni o'rganamiz x → ∞. Biz buni to'g'ridan-to'g'ri o'rgana olmasligimiz sababli, ruxsat beramiz x = s⁻¹. Keyin tenglamaning echimi x → ∞ qachon o'zgartirilgan tenglamaning echimi bilan bir xil bo'ladi s = 0. Bizda bor edi

{displaystyle {egin {aligned} & x (1-x) y '' + chap (gamma - (1 + alfa + eta) xight) y'-alfa eta y = 0 & {frac {dy} {dx}} = {frac {dy} {ds}} imes {frac {ds} {dx}} = - s ^ {2} imes {frac {dy} {ds}} = - s ^ {2} y ' & {frac { d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = {frac {d} {dx}} chap ({frac {dy} {dx}} ight) = {frac {d} {dx}} chap ( -s ^ {2} imes {frac {dy} {ds}} ight) = {frac {d} {ds}} chap (-s ^ {2} imes {frac {dy} {ds}} ight) imes { frac {ds} {dx}} = chap ((- 2s) imes {frac {dy} {ds}} + (- s ^ {2}) {frac {d ^ {2} y} {ds ^ {2} }} ight) imes (-s ^ {2}) = 2s ^ {3} y '+ s ^ {4} y''end {hizalanmış}}}

Demak, tenglama yangi shaklga ega bo'ladi

{displaystyle {frac {1} {s}} chap (1- {frac {1} {s}} ight) chap (2s ^ {3} y '+ s ^ {4} y''ight) + chap (gamma - (1 + alfa + eta) {frac {1} {s}} ight) (- s ^ {2} y ') - alfa eta y = 0}

bu kamayadi

{displaystyle left(s^{3}-s^{2}ight)y''+left((2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)sight)y'-alpha eta y=0.}

Ruxsat bering

{displaystyle { egin{aligned}P_{0}(s)&=-alpha eta ,P_{1}(s)&=(2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)s,P_{2}(s)&=s^{3}-s^{2}.end{aligned}}}

As we said, we shall only study the solution when s = 0. As we can see, this is a singular point since P₂(0) = 0. To see if it is regular,

{displaystyle { egin{aligned}lim _{s o a}{frac {(s-a)P_{1}(s)}{P_{2}(s)}}&=lim _{s o 0}{frac {(s-0)((2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)s)}{s^{3}-s^{2}}}&=lim _{s o 0}{frac {(2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)s}{s^{2}-s}}&=lim _{s o 0}{frac {(2-gamma )s+(alpha + eta -1)}{s-1}}=1-alpha - eta .lim _{s o a}{frac {(s-a)^{2}P_{0}(s)}{P_{2}(s)}}&=lim _{s o 0}{frac {(s-0)^{2}(-alpha eta )}{s^{3}-s^{2}}}=lim _{s o 0}{frac {(-alpha eta )}{s-1}}=alpha eta .end{aligned}}}

Hence, both limits exist and s = 0 is a regular singular point. Therefore, we assume the solution takes the form

{displaystyle y=sum _{r=0}^{infty }{a_{r}s^{r+c}}}

bilan a₀ ≠ 0. Hence,

{displaystyle { egin{aligned}y'&=sum limits _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c-1}}y''&=sum limits _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)s^{r+c-2}}end{aligned}}}

Substituting in the modified hypergeometric equation we get

{displaystyle left(s^{3}-s^{2}ight)y''+left((2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)sight)y'-(alpha eta )y=0}

And therefore:

{displaystyle left(s^{3}-s^{2}ight)sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)s^{r+c-2}}+left((2-gamma )s^{2}+(alpha + eta -1)sight)sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c-1}}-(alpha eta )sum _{r=0}^{infty }{a_{r}s^{r+c}}=0}

ya'ni,

{displaystyle sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)s^{r+c+1}}-sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)x^{r+c}}+(2-gamma )sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c+1}}+(alpha + eta -1)sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c}}-alpha eta sum _{r=0}^{infty }{a_{r}s^{r+c}}=0.}

In order to simplify this equation, we need all powers to be the same, equal to r + v, the smallest power. Hence, we switch the indices as follows

{displaystyle { egin{aligned}&sum _{r=1}^{infty }{a_{r-1}(r+c-1)(r+c-2)s^{r+c}}-sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)s^{r+c}}+(2-gamma )sum _{r=1}^{infty }{a_{r-1}(r+c-1)s^{r+c}}+&qquad qquad +(alpha + eta -1)sum _{r=0}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c}}-alpha eta sum _{r=0}^{infty }{a_{r}s^{r+c}}=0end{aligned}}}

Thus, isolating the first term of the sums starting from 0 we get

{displaystyle { egin{aligned}&a_{0}left(-(c)(c-1)+(alpha + eta -1)(c)-alpha eta ight)s^{c}+sum _{r=1}^{infty }{a_{r-1}(r+c-1)(r+c-2)s^{r+c}}-sum _{r=1}^{infty }{a_{r}(r+c)(r+c-1)x^{r+c}}+&qquad qquad +(2-gamma )sum _{r=1}^{infty }{a_{r-1}(r+c-1)s^{r+c}}+(alpha + eta -1)sum _{r=1}^{infty }{a_{r}(r+c)s^{r+c}}-alpha eta sum _{r=1}^{infty }{a_{r}s^{r+c}}=0end{aligned}}}

Now, from the linear independence of all powers of s (i.e., of the functions 1, s, s², ...), the coefficients of s^k vanish for all k. Hence, from the first term we have

{displaystyle a_{0}left(-(c)(c-1)+(alpha + eta -1)(c)-alpha eta ight)=0}

which is the indicial equation. Beri a₀ ≠ 0, we have

{displaystyle (c)(-c+1+alpha + eta -1)-alpha eta )=0.}

Shuning uchun, v₁ = α and v₂ = β.

Also, from the rest of the terms we have

{displaystyle left((r+c-1)(r+c-2)+(2-gamma )(r+c-1)ight)a_{r-1}+left(-(r+c)(r+c-1)+(alpha + eta -1)(r+c)-alpha eta ight)a_{r}=0}

Shuning uchun,

{displaystyle a_{r}=-{frac {left((r+c-1)(r+c-2)+(2-gamma )(r+c-1)ight)}{left(-(r+c)(r+c-1)+(alpha + eta -1)(r+c)-alpha eta ight)}}a_{r-1}={frac {left((r+c-1)(r+c-gamma )ight)}{left((r+c)(r+c-alpha - eta )+alpha eta ight)}}a_{r-1}}

Ammo

{displaystyle { egin{aligned}(r+c)(r+c-alpha - eta )+alpha eta &=(r+c-alpha )(r+c)- eta (r+c)+alpha eta &=(r+c-alpha )(r+c)- eta (r+c-alpha ).end{aligned}}}

Hence, we get the recurrence relation

{displaystyle a_{r}={frac {(r+c-1)(r+c-gamma )}{(r+c-alpha )(r+c- eta )}}a_{r-1},quad forall rgeq 1}

Let's now simplify this relation by giving a_r xususida a₀ o'rniga a_r₋₁. From the recurrence relation,

{displaystyle { egin{aligned}a_{1}&={frac {(c)(c+1-gamma )}{(c+1-alpha )(c+1- eta )}}a_{0}a_{2}&={frac {(c+1)(c+2-gamma )}{(c+2-alpha )(c+2- eta )}}a_{1}={frac {(c+1)(c)(c+2-gamma )(c+1-gamma )}{(c+2-alpha )(c+1-alpha )(c+2- eta )(c+1- eta )}}a_{0}={frac {(c)_{2}(c+1-gamma )_{2}}{(c+1-alpha )_{2}(c+1- eta )_{2}}}a_{0}end{aligned}}}

As we can see,

{displaystyle a_{r}={frac {(c)_{r}(c+1-gamma )_{r}}{(c+1-alpha )_{r}(c+1- eta )_{r}}}a_{0}quad forall rgeq 0}

Hence, our assumed solution takes the form

{displaystyle y=a_{0}sum _{r=0}^{infty }{frac {(c)_{r}(c+1-gamma )_{r}}{(c+1-alpha )_{r}(c+1- eta )_{r}}}s^{r+c}}

We are now ready to study the solutions corresponding to the different cases for v₁ − v₂ = α − β.

Analysis of the solution in terms of the difference α − β of the two roots

α − β not an integer

Keyin y₁ = y|_{v = a} va y₂ = y|_{v = β}. Beri

{displaystyle y=a_{0}sum _{r=0}^{infty }{frac {(c)_{r}(c+1-gamma )_{r}}{(c+1-alpha )_{r}(c+1- eta )_{r}}}s^{r+c},}

bizda ... bor

{displaystyle { egin{aligned}y_{1}&=a_{0}sum _{r=0}^{infty }{frac {(alpha )_{r}(alpha +1-gamma )_{r}}{(1)_{r}(alpha +1- eta )_{r}}}s^{r+alpha }=a_{0}s^{alpha } {}_{2}F_{1}(alpha ,alpha +1-gamma ;alpha +1- eta ;s)y_{2}&=a_{0}sum _{r=0}^{infty }{frac {( eta )_{r}( eta +1-gamma )_{r}}{( eta +1-alpha )_{r}(1)_{r}}}s^{r+ eta }=a_{0}s^{ eta } {}_{2}F_{1}( eta , eta +1-gamma ; eta +1-alpha ;s)end{aligned}}}

Shuning uchun, y = A′y₁ + B′y₂. Ruxsat bering A′a₀ = A va B′a₀ = B. Then, noting that s = x⁻¹,

{displaystyle y=Aleft{x^{-alpha } {}_{2}F_{1}left(alpha ,alpha +1-gamma ;alpha +1- eta ;x^{-1}ight)ight}+Bleft{x^{- eta } {}_{2}F_{1}left( eta , eta +1-gamma ; eta +1-alpha ;x^{-1}ight)ight}}

α − β = 0

Keyin y₁ = y|_{v = a}. Since α = β, we have

{displaystyle y = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {mohir}} {{frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma) _ {r}} {chap ((c + 1-) alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} s ^ {r + c}}}

Shuning uchun,

{displaystyle {egin {aligned} y_ {1} & = a_ {0} sum _ {r = 0} ^ {infty} {{frac {(alfa) _ {r} (alfa + 1-gamma) _ {r} } {(1) _ {r} (1) _ {r}}} s ^ {r + alfa}} = a_ {0} s ^ {alfa} {} _ {2} F_ {1} (alfa, alfa) + 1-gamma; 1; s) y_ {2} & = chap. {Frac {qisman y} {qisman c}} ight | _ {c = alfa} oxiri {hizalanmış}}}

Ushbu lotinni hisoblash uchun ruxsat bering

{displaystyle M_ {r} = {frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma) _ {r}} {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}} }}

Keyin ishdagi usuldan foydalaning b = 1 yuqorida, biz olamiz

{displaystyle {frac {qisman M_ {r}} {qisman c}} = {frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma) _ {r}} {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {c + k}} + {frac {1} {c + 1-gamma +) k}} - {frac {2} {c + 1-alfa + k}} ight)}

Hozir,

{displaystyle {egin {aligned} y & = a_ {0} s ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma) _ {r} } {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} s ^ {r} & = a_ {0} s ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty } {M_ {r} s ^ {r}} & = a_ {0} s ^ {c} chap (ln (s) sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c) _ {r) } (c + 1-gamma) _ {r}} {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} s ^ {r} + sum _ {r = 0} ^ { infty} {frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma) _ {r}} {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} chap {sum _ {k = 0} ^ {r-1} {chap ({frac {1} {c + k}} + {frac {1} {c + 1-gamma + k}} - {frac {2} {c +) 1-alfa + k}} ight)} ight} s ^ {r} ight) end {hizalanmış}}}

Shuning uchun,

{displaystyle {frac {kısalt y} {qisman c}} = a_ {0} s ^ {c} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c) _ {r} (c + 1-gamma ) _ {r}} {chap ((c + 1-alfa) _ {r} ight) ^ {2}}} chap (ln (s) + sum _ {k = 0} ^ {r-1} {chap) ({frac {1} {c + k}} + {frac {1} {c + 1-gamma + k}} - {frac {2} {c + 1-alfa + k}} tight)} ight) s ^ {r}}

Shuning uchun:

{displaystyle y_ {2} = chap. {frac {qisman y} {qisman c}} ight | _ {c = alfa} = a_ {0} s ^ {alfa} sum _ {r = 0} ^ {infty} { frac {(alfa) _ {r} (alfa + 1-gamma) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r}}} chap (ln (s) + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa + k}} + {frac {1} {alfa + 1-gamma + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight ight) s ^ {r}}

Shuning uchun, y = C′y₁ + D′y₂. Ruxsat bering C′a₀ = C va D′a₀ = D.. Shuni ta'kidlash kerak s = x⁻¹,

{displaystyle y = Cleft {x ^ {- alfa} {} _ {2} F_ {1} chap (alfa, alfa + 1-gamma; 1; x ^ {- 1} tun) ight} + Dleft {x ^ { -alpha} sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (alfa + 1-gamma) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r }}} chap (ln chap (x ^ {- 1} ight) + sum _ {k = 0} ^ {r-1} chap ({frac {1} {alfa + k}} + {frac {1} { alfa + 1-gamma + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight) ight) x ^ {- r} ight}}

a - b butun son va a - β ≠ 0

a - b> 0

Takrorlanish munosabatlaridan

{displaystyle a_ {r} = {frac {(r + c-1) (r + c-gamma)} {(r + c-alfa) (r + c- eta)}} a_ {r-1}}

buni qachon ko'rayapmiz v = ph (kichikroq ildiz), a_{a − β} → ∞. Demak, biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak a₀ = b₀(v − v_men), qaerda v_men bizning echimimiz cheksiz bo'lgan ildiz. Shuning uchun biz olamiz a₀ = b₀(v - β) va bizning taxmin qilingan echimimiz yangi shaklga ega