Gauss-Hermit kvadrati - Gauss–Hermite quadrature

Og'irliklar qarshi x_men ning to'rtta tanlovi uchun n

Yilda raqamli tahlil, Gauss-Hermit kvadrati shaklidir Gauss kvadrati quyidagi turdagi integrallarning qiymatini yaqinlashtirish uchun:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x), dx.}$

Ushbu holatda

${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x), dxapprox sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i}) )}$

qayerda n ishlatilgan namuna punktlari soni. The x_men ning fiziklar versiyasining ildizlari Hermit polinom H_n(x) (men = 1,2,...,n) va tegishli og'irliklar w_men tomonidan berilgan^[1]

${displaystyle w_ {i} = {frac {2 ^ {n-1} n! {sqrt {pi}}} {n ^ {2} [H_ {n-1} (x_ {i})] ^ {2} }}.}$

O'zgaruvchining o'zgarishi bilan misol

Funktsiyani ko'rib chiqing h (y), bu erda o'zgaruvchi y bu Odatda taqsimlanadi: ${displaystyle ysim {mathcal {N}} (mu, sigma ^ {2})}$. The kutish ning h quyidagi integralga mos keladi:

${displaystyle E [h (y)] = int _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {1} {sigma {sqrt {2pi}}}} exp chap (- {frac {(y-mu) ^ { 2}} {2sigma ^ {2}}} ight) h (y) dy}$

Bu Hermite polinomiga to'liq mos kelmasligi sababli biz o'zgaruvchilarni o'zgartirishimiz kerak:

${displaystyle x = {frac {y-mu} {{sqrt {2}} sigma}} Leftrightarrow y = {sqrt {2}} sigma x + mu}$

Bilan bog'langan almashtirish bilan integratsiya, biz quyidagilarni olamiz:

${displaystyle E [h (y)] = int _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {1} {sqrt {pi}}} exp (-x ^ {2}) h ({sqrt {2}}) sigma x + mu) dx}$

olib boradi:

${displaystyle E [h (y)] taxminan {frac {1} {sqrt {pi}}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} h ({sqrt {2}} sigma x_ {i} + mu)}$

Adabiyotlar

• Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V., nashr. (2010), "To'rtlik: Gauss-Hermit formulasi", NIST Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-19225-5, JANOB  2723248
• Shao, T. S .; Chen, T. C .; Frank, R. M. (1964). "Ayrim bog'langan Laguer polinomlari nollari va Gauss og'irliklari jadvallari va ular bilan bog'liq umumlashtirilgan Hermit polinomlari". Matematika. Komp. 18 (88): 598–616. doi:10.1090 / S0025-5718-1964-0166397-1. JANOB  0166397.
• Stin, N. M .; Byrne, G. D .; Gelbard, E. M. (1969). "Integrallar uchun Gauss kvadraturalari ${displaystyle extstyle int _ {0} ^ {infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x) dx}$ va ${displaystyle extstyle int _ {0} ^ {b} e ^ {- x ^ {2}} f (x) dx}$". Matematika. Komp. 23 (107): 661–671. doi:10.1090 / S0025-5718-1969-0247744-3. JANOB  0247744.
• Shizgal, B. (1981). "Boltzmann tenglamasi va unga bog'liq masalalarni echishda foydalanish uchun Gauss kvadrati protsedurasi". J. Komput. Fizika. 41: 309–328. doi:10.1016/0021-9991(81)90099-1.

Tashqi havolalar

• Gauss-Hermit abscissalari jadvallari va buyurtma bo'yicha og'irliklar uchun n = 32 qarang http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm.
• Umumlashtirilgan Gauss-Hermit kvadrati, bepul dasturiy ta'minot C ++, Fortran va Matlab-da