Hamiltonian oqimi kabi geodeziya - Geodesics as Hamiltonian flows

Yilda matematika, geodezik tenglamalar ikkinchi darajali chiziqli emas differentsial tenglamalar, va odatda shaklida taqdim etiladi Eyler-Lagranj harakat tenglamalari. Shu bilan birga, ular birlashtirilgan birinchi darajali tenglamalar to'plami shaklida ham taqdim etilishi mumkin Xemilton tenglamalari. Ushbu oxirgi formulalar ushbu maqolada ishlab chiqilgan.

Umumiy nuqtai

Bu tez-tez aytiladi geodeziya "egri bo'shliqdagi to'g'ri chiziqlar" dir. Hamilton-Jakobi yondashuvidan foydalanib geodezik tenglama, bu bayonotga juda intuitiv ma'no berilishi mumkin: geodeziya hech qanday kuchni boshdan kechirmaydigan zarralarning harakatlarini tavsiflaydi. Yassi kosmosda ma'lumki, to'g'ri chiziqda harakat qilayotgan zarracha tashqi kuchlarni boshdan kechirmasa, to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishni davom ettiradi; bu Nyutonning birinchi qonuni. Bunday harakatni tavsiflovchi Gamiltoniyalik taniqli ${displaystyle H = p ^ {2} / 2m}$ bilan p bo'lish impuls. Bu impulsning saqlanishi bu zarrachaning to'g'ri harakatiga olib keladi. Egri sirtda aynan bir xil g'oyalar o'ynaydi, faqat masofani to'g'ri o'lchash uchun metrik. Momentani to'g'ri o'lchash uchun metrikaning teskari tomonidan foydalanish kerak. Erkin zarrachaning egri yuzadagi harakati hali ham yuqoridagi kabi to'liq shaklga ega, ya'ni butunlay a dan iborat kinetik atama. Natijada paydo bo'ladigan harakat hanuzgacha ma'lum ma'noda "to'g'ri chiziq" bo'lib qolmoqda, shuning uchun ba'zida geodeziya "egri bo'shliqdagi to'g'ri chiziqlar" deb aytiladi. Ushbu g'oya quyida batafsilroq ishlab chiqilgan.

Geodeziya eng kam harakat tamoyilini qo'llash sifatida

Berilgan (psevdo -)Riemann manifoldu M, a geodezik ning qo'llanilishidan kelib chiqadigan egri chiziq sifatida aniqlanishi mumkin eng kam harakat tamoyili. Ularning shaklini tavsiflovchi differentsial tenglama olinishi mumkin variatsion tamoyillar, ning minimallashtirilishi (yoki ekstremumini topish) orqali energiya egri chiziq. Berilgan silliq egri chiziq

${displaystyle gamma: Men o M}$

bu intervalni xaritada aks ettiradi Men ning haqiqiy raqam chizig'i manifoldga M, biri energiya yozadi

${displaystyle E (gamma) = {frac {1} {2}} int _ {I} g ({nuqta {gamma}} (t), {nuqta {gamma}} (t)), dt,}$

qayerda ${displaystyle {nuqta {gamma}} (t)}$ bo'ladi teginuvchi vektor egri chiziqqa ${displaystyle gamma}$ nuqtada ${displaystyle qalay I}$.Bu yerda, ${displaystyle g (cdot, cdot)}$ bo'ladi metrik tensor kollektorda M.

Yuqorida keltirilgan energiyani harakat sifatida ishlatib, birini tanlashni tanlash mumkin Eyler-Lagranj tenglamalari yoki Gemilton-Jakobi tenglamalari. Ikkala usul ham beradi geodezik tenglama echim sifatida; ammo, Hamilton-Jakobi tenglamalari quyida ko'rsatilganidek, manifold tuzilishi haqida ko'proq ma'lumot beradi. Jihatidan mahalliy koordinatalar kuni M, (Eyler-Lagranj) geodezik tenglamasi

${displaystyle {frac {d ^ {2} x ^ {a}} {dt ^ {2}}} + Gamma _ {bc} ^ {a} {frac {dx ^ {b}} {dt}} {frac { dx ^ {c}} {dt}} = 0}$

qaerda x^a(t) egri chiziqning koordinatalari (t), ${displaystyle Gamma _ {bc} ^ {a}}$ ular Christoffel ramzlari, va takroriy indekslar ishlatilishini bildiradi yig'ilish konvensiyasi.

Geodezik tenglamalarga hamiltoniy yondashuv

Geodeziya deb tushunish mumkin Hamiltonian oqimlari maxsus Hamiltonian vektor maydoni bo'yicha aniqlangan kotangensli bo'shliq ko'p qirrali. Hamiltonian metrikadan manifoldga qurilgan va shunday qilib a kvadratik shakl butunlay tashkil topgan kinetik atama.

Geodezik tenglamalar ikkinchi darajali differentsial tenglamalar; ular quyida ko'rsatilgandek qo'shimcha mustaqil o'zgaruvchilarni kiritish orqali birinchi darajali tenglamalar sifatida qayta ifodalanishi mumkin. E'tibor bering, koordinatali mahalla U koordinatalari bilan x_a undaydi a mahalliy trivializatsiya ning

${displaystyle T ^ {*} M | _ {U} simeq U imes mathbb {R} ^ {n}}$

nuqta yuboradigan xarita bo'yicha

${displaystyle eta T_ {x} ^ {*} M | _ {U}} da$

shaklning ${displaystyle eta = p_ {a} dx ^ {a}}$ nuqtaga ${displaystyle (x, p_ {a}) in U imes mathbb {R} ^ {n}}$.Shundan keyin Hamiltoniyalik kabi

${displaystyle H (x, p) = {frac {1} {2}} g ^ {ab} (x) p_ {a} p_ {b}.}$

Bu yerda, g^ab(x) ning teskari tomoni metrik tensor: g^ab(x)g_{miloddan avvalgi}(x) = ${displaystyle delta _ {c} ^ {a}}$. Metrik tensorning koordinatali transformatsiyalardagi harakati buni anglatadi H bu o'zgarmas o'zgaruvchining o'zgarishi ostida. Keyinchalik geodezik tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin

${displaystyle {nuqta {x}} ^ {a} = {frac {qisman H} {qisman p_ {a}}} = g ^ {ab} (x) p_ {b}}$

va

${displaystyle {nuqta {p}} _ {a} = - {frac {qisman H} {qisman x ^ {a}}} = - {frac {1} {2}} {frac {qisman g ^ {bc} ( x)} {qisman x ^ {a}}} p_ {b} p_ {c}.}$

The oqim ushbu tenglamalar bilan aniqlangan kogeodezik oqim; birini ikkinchisiga oddiy almashtirish Eyler-Lagranj tenglamalarini oladi, bu esa ularni beradi geodezik oqim tegib turgan to'plamda TM. Geodeziya chiziqlari - bu geodezik oqimning kollektorga ajralmas egri chiziqlarining proektsiyalari M. Bu Hamiltoniya oqimi va Hamiltonian geodeziya bo'yicha doimiydir:

${displaystyle {frac {dH} {dt}} = {frac {qisman H} {qisman x ^ {a}}} {nuqta {x}} ^ {a} + {frac {qisman H} {qisman p_ {a} }} {nuqta {p}} _ {a} = - {nuqta {p}} _ {a} {nuqta {x}} ^ {a} + {nuqta {x}} ^ {a} {nuqta {p} } _ {a} = 0.}$

Shunday qilib, geodezik oqim kotangens to'plamini ajratadi daraja to'plamlari doimiy energiya

${displaystyle M_ {E} = {(x, p) in T ^ {*} M: H (x, p) = E}}$

har bir energiya uchun E ≥ 0, shuning uchun

${displaystyle T ^ {*} M = igcup _ {Egeq 0} M_ {E}}$.

Adabiyotlar

• Terens Tao, Eyler-Arnold tenglamasi, 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ Muhokamani boshida ko'ring
• Ralf Abraxam va Jerrold E. Marsden, Mexanika asoslari, (1978) Benjamin-Kammings, London ISBN  0-8053-0102-X 2.7 bo'limiga qarang.
• B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko va S.P.Novikov, Zamonaviy geometriya: usullar va qo'llanmalar, I qism, (1984) Springer-Verlag, Berlin ISBN  0-387-90872-2 5-bobga, xususan, 33-bo'limga qarang.