Gowers normasi - Gowers norm

Yilda matematika, sohasida qo'shimchalar kombinatorikasi, a Gowers normasi yoki bir xillik normasi sinfidir normalar kuni funktsiyalari cheklangan guruh yoki mavjud bo'lgan strukturaning miqdorini yoki aksincha miqdorini aniqlaydigan guruhga o'xshash ob'ekt tasodifiylik.^[1] Ular o'rganishda foydalaniladi arifmetik progressiyalar guruhda. Uning nomi berilgan Timoti Govers, uni o'z ishida kim kiritgan Szemeredi teoremasi.^[2]

Ta'rif

Ruxsat bering f bo'lishi a murakkab - cheklangan bo'yicha funktsiya abeliy guruhi G va ruxsat bering J belgilash murakkab konjugatsiya. Gowers d-norm

${ displaystyle Vert f Vert _ {U ^ {d} (G)} ^ {2 ^ {d}} = mathbf {E} _ {x, h_ {1}, ldots, h_ {d} G} prod _ { omega _ {1}, ldots, omega _ {d} in {0,1 }} J ^ { omega _ {1} + cdots + omega _ { d}} f chap ({x + h_ {1} omega _ {1} + cdots + h_ {d} omega _ {d}} o'ng) .}$

Gowers normalari, shuningdek, kompleks qiymatga ega funktsiyalar uchun ham belgilanadi f segmentda [N] = {0, 1, 2, ..., N - 1}, qaerda N ijobiy tamsayı. Shu nuqtai nazardan, bir xillik normasi quyidagicha berilgan ${ displaystyle Vert f Vert _ {U ^ {d} [N]} = Vert { tilde {f}} Vert _ {U ^ {d} ( mathbb {Z} / { tilde {N }} mathbb {Z})} / Vert 1 _ {[N]} Vert _ {U ^ {d} ( mathbb {Z} / { tilde {N}} mathbb {Z})}}$, qayerda ${ displaystyle { tilde {N}}}$ katta butun son, ${ displaystyle 1 _ {[N]}}$ belgisini bildiradi ko'rsatkich funktsiyasi ning [N] va ${ displaystyle { tilde {f}} (x)}$ ga teng ${ displaystyle f (x)}$ uchun ${ displaystyle x [N]} da$ va ${ displaystyle 0}$ boshqalar uchun ${ displaystyle x}$. Ushbu ta'rifga bog'liq emas ${ displaystyle { tilde {N}}}$, Modomiki, hamonki; sababli, uchun ${ displaystyle { tilde {N}}> 2 ^ {d} N}$.

Teskari taxminlar

An teskari taxmin chunki ushbu me'yorlar, agar a cheklangan funktsiya f katta Gowersga ega d-norm keyin f darajaning polinom fazasi bilan o'zaro bog'liq d - polinom xatti-harakatlariga ega bo'lgan 1 yoki boshqa ob'ekt (masalan, a (d - 1) - qadam noilojlik ). Aniq bayonot ko'rib chiqilayotgan Gowers me'yoriga bog'liq.

Uchun teskari taxmin vektor bo'shliqlari ustidan cheklangan maydon ${ displaystyle mathbb {F}}$ har qanday kishi uchun buni tasdiqlaydi ${ displaystyle delta> 0}$ doimiy mavjud ${ displaystyle c> 0}$ har qanday kishi uchun cheklangan o'lchovli vektor maydoni V ustida ${ displaystyle mathbb {F}}$ va har qanday murakkab qiymatli funktsiya ${ displaystyle f}$ kuni ${ displaystyle V}$, 1 bilan chegaralangan, shunday ${ displaystyle Vert f Vert _ {U ^ {d} [V]} geq delta}$, polinomlar ketma-ketligi mavjud ${ displaystyle P colon V to mathbb {R} / mathbb {Z}}$ shu kabi

${ displaystyle left | { frac {1} {| V |}} sum _ {x in V} f (x) e left (-P (x) right) right | geq c, }$

qayerda ${ displaystyle e (x): = e ^ {2 pi ix}}$. Ushbu taxmin haqiqat ekanligini Bergelson, Tao va Zigler isbotladilar.^[3][4][5]

Gowers uchun teskari taxmin ${ displaystyle U ^ {d} [N]}$ har qanday kishi uchun norma buni tasdiqlaydi ${ displaystyle delta> 0}$, (ning so'nggi to'plamid - 1) - qadam nilmanifolds ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { delta}}$ va doimiylar ${ displaystyle c, C}$ topilishi mumkin, shunda quyidagi haqiqat bo'ladi. Agar ${ displaystyle N}$ musbat butun son va ${ displaystyle f colon [N] to mathbb {C}}$ mutlaq qiymatda 1 va bilan chegaralangan ${ displaystyle Vert f Vert _ {U ^ {d} [N]} geq delta}$, keyin nilmanifold mavjud ${ displaystyle G / Gamma in { mathcal {M}} _ { delta}}$ va a noilojlik ${ displaystyle F (g ^ {n} x)}$ qayerda ${ displaystyle g in G, x in G / Gamma}$ va ${ displaystyle F colon G / Gamma to mathbb {C}}$ mutlaq qiymatda 1 bilan chegaralangan va Lipschitz doimiy bilan chegaralangan ${ displaystyle C}$ shu kabi:

${ displaystyle left | { frac {1} {N}} sum _ {n = 0} ^ {N-1} f (n) { overline {F (g ^ {n} x}}) o'ng | geq c.}$

Ushbu taxmin haqiqatan ham Grin, Tao va Zigler tomonidan isbotlangan.^[6][7] Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi bayonotda noilojliklar paydo bo'lishi kerak. Agar biz faqat polinom fazalarini ko'rib chiqsak, gap endi haqiqiy emas.

Adabiyotlar

• Tao, Terens (2012). Yuqori darajadagi Fourier tahlili. Matematika aspiranturasi. 142. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN  978-0-8218-8986-2. JANOB  2931680. Zbl  1277.11010.