Yashil-Tao teoremasi - Green–Tao theorem

Yilda sonlar nazariyasi, Yashil-Tao teoremasitomonidan isbotlangan Ben Grin va Terens Tao 2004 yilda, ning ketma-ketligini ta'kidlaydi tub sonlar o'zboshimchalik bilan uzoq vaqtni o'z ichiga oladi arifmetik progressiyalar. Boshqacha qilib aytganda, har bir tabiiy son uchun kmavjud tub sonlarning arifmetik progressiyalari bilan k shartlar. Isboti kengaytmasi Szemeredi teoremasi. Muammoni tergovga borib taqalishi mumkin Lagranj va Ogohlantirish taxminan 1770 yildan.^[1]

Bayonot

Ruxsat bering ${displaystyle pi (N)}$ kichik yoki unga teng sonlar sonini belgilang ${displaystyle N}$ . Agar ${displaystyle A}$ shunday oddiy sonlarning bir qismidir

{displaystyle limsup _ {Nightarrow infty} {dfrac {| Acap [1, N] |} {pi (N)}}> 0}

,

keyin barcha musbat sonlar uchun ${displaystyle k}$ , to'plam ${displaystyle A}$ uzunlikning cheksiz ko'p arifmetik progressiyalarini o'z ichiga oladi ${displaystyle k}$ . Xususan, barcha tub sonlar to'plamida o'zboshimchalik bilan uzoq arifmetik progressiyalar mavjud.

Ularning keyingi ishlarida umumlashtirilgan Hardy-Littlewood gumoni, Grin va Tao asimptotik formulani bildirdilar va shartli ravishda isbotladilar

{displaystyle ({mathfrak {S}} _ {k} + o (1)) {frac {N ^ {2}} {(log N) ^ {k}}}}

soni uchun k tub sonlar ${displaystyle p_ {1}$ arifmetik progressiyada.^[2] Bu yerda, ${displaystyle {mathfrak {S}} _ {k}}$ doimiydir

{displaystyle {mathfrak {S}} _ {k}: = {frac {1} {2 (k-1)}} chap (prod _ {pleq k} {frac {1} {p}} chap ({frac { p} {p-1}} ight) ^ {k-1} ight) left (prod _ {p> k} left (1- {frac {k-1} {p}} ight) left ({frac {p } {p-1}} tun) ^ {k-1} tun)}

.

Natijada Green-Tao so'zsiz qildi ^[3] va Green-Tao-Ziegler.^[4]

Dalillarga umumiy nuqtai

Yashil va Tao dalillari uchta asosiy tarkibiy qismdan iborat:

Szemeredi teoremasi, bu musbat yuqori zichlikka ega bo'lgan tamsayılar to'plamlari o'zboshimchalik bilan uzoq arifmetik progressiyalarga ega ekanligini tasdiqlaydi. Yo'q apriori tub sonlarga amal qiling, chunki tub sonlar butun sonlarda zichlik nolga teng.
Szemeredi teoremasini mos ma'noda yolg'on tasodifiy bo'lgan butun sonlar to'plamlariga kengaytiradigan uzatish printsipi. Bunday natija endi qarindosh Szemeredi teoremasi deb ataladi.
Asallarni zich pastki qism sifatida o'z ichiga olgan butun sonlarning yolg'on tasodifiy to'plami. Ushbu to'plamni qurish uchun Green va Tao Goldston, Pintz va Yildirimning ishlaridan g'oyalarni qo'lladilar asosiy bo'shliqlar.^[5] To'plamning yolg'on tasodifiyligi aniqlangandan so'ng, dalilni to'ldirib, translyatsiya printsipi qo'llanilishi mumkin.

Asl qog'ozdagi argumentni ko'plab soddalashtirishlar^[1] topildi. Conlon, Fox va Zhao (2014) dalilning zamonaviy ekspozitsiyasini taqdim eting.

Raqamli ish

Grin-Tao teoremasining isboti tub sonlarning progresiyalarini qanday topishni ko'rsatmaydi; bu shunchaki ularning mavjudligini isbotlaydi. Asoslarda katta arifmetik progressiyalarni topish uchun alohida hisoblash ishlari olib borildi.

Grin-Tao gazetasida yozilishicha, "Praymlarni yozishda eng uzun arifmetik progresiya 23 uzunlikka ega va 2004 yilda Markus Frind, Pol Andervud va Pol Jobling tomonidan topilgan: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k = 0, 1,. . ., 22. '.

2007 yil 18 yanvarda Yaroslav Vroblevskiy 24 ta birinchi ma'lum bo'lgan ishni topdi arifmetik progresiyadagi tub sonlar:^[6]

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, uchun n = 0 dan 23 gacha.

Bu erda doimiy 223092870 23 gacha bo'lgan oddiy sonlarning ko'paytmasi (qarang) ibtidoiy ).

2008 yil 17-mayda Vroblevski va Raanan Chermoni 25 ta asosiy ma'lum bo'lgan birinchi ishni topdilar:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n, uchun n = 0 dan 24 gacha.

2010 yil 12 aprelda Benoatt Perichon Wrobblewski va Geoff Reynolds dasturlari bilan tarqatilgan PrimeGrid loyiha ma'lum bo'lgan birinchi 26 ta asosiy holatni topdi (ketma-ketlik A204189 ichida OEIS ):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n, uchun n = 0 dan 25 gacha.

Kengaytmalar va umumlashmalar

Ko'pchilik Szemeredi teoremasining kengaytmalari asalarilar uchun ham ushlab turing.

Mustaqil ravishda Tao va Zigler^[7] va Kuk, Magyar va Titichetrakun^[8]^[9] Green-Tao teoremasining ko'p o'lchovli umumlashmasidan kelib chiqdi. Tao-Zigler dalillarini Fox va Zhao ham soddalashtirdilar.^[10]

2006 yilda Tao va Ziegler Grin-Tao teoremasini ko'p polinomli progressiyalarni qamrab olish uchun kengaytirdilar.^[11]^[12] Aniqrog'i, har qanday berilgan butun sonli polinomlar P₁,..., P_k birida noma'lum m barchasi 0 doimiy atamasi bilan cheksiz ko'p sonlar mavjud x, m shu kabi x + P₁(m), ..., x + P_k(m) bir vaqtning o'zida asosiy hisoblanadi. Polinomlar bo'lgan maxsus holat m, 2m, ..., km uzunligi borligini oldingi natijani nazarda tutadi k tub sonlarning arifmetik progressiyalari.

Tao "Green-Tao" teoremasining analogini isbotladi Gauss primeslari.^[13]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Yashil, Ben; Tao, Terens (2008). "Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq arifmetik progressiyalarni o'z ichiga oladi". Matematika yilnomalari. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT / 0404188. doi:10.4007 / annals.2008.167.481. JANOB 2415379..
^ Yashil, Ben; Tao, Terens (2010). "Asosiy sonlardagi chiziqli tenglamalar". Matematika yilnomalari. 171 (3): 1753–1850. arXiv:matematik / 0606088. doi:10.4007 / annals.2010.171.1753. JANOB 2680398.
^ Yashil, Ben; Tao, Terens (2012). "Mobius funktsiyasi noaniqliklarga keskin orgonaldir". Matematika yilnomalari. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007 / annals.2012.175.2.3. JANOB 2877066.
^ Yashil, Ben; Tao, Terens; Ziegler, Tamar (2012). "Gowers Us uchun teskari teorema + 1 [N] -norm". Matematika yilnomalari. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007 / annals.2012.176.2.11. JANOB 2950773.
^ Goldston, Daniel A.; Pintz, Yanos; Yildirim, Jem Y. (2009). "Taymerlardagi asosiy sonlar. Men". Matematika yilnomalari. 170 (2): 819–862. arXiv:matematik / 0508185. doi:10.4007 / annals.2009.170.819. JANOB 2552109.
^ Andersen, Jens Kruz. "Arifmetik progressiya yozuvlaridagi asosiy ko'rsatkichlar". Olingan 2015-06-27.
^ Tao, Terens; Zigler, Tamar (2015). "Xat yozish printsipi orqali tub sonlar uchun ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasi". Isroil J. Matematik. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007 / s11856-015-1157-9. JANOB 3358045.
^ Kuk, Brayan; Magyar, Akos (2012). "Burjlar ${displaystyle mathbb {P} ^ {d}}$ ". Int. Matematika. Res. Yo'q. IMRN. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093 / imrn / rnr127. JANOB 2942710.
^ Kuk, Brayan; Magyar, Akos; Titichetrakun, Tatchai (2015). "Asaldagi ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasi". arXiv:1306.3025 [math.NT ].
^ Tulki, Yoqub; Zhao, Yufei (2015). "Asoslarda ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasining qisqa isboti". Amer. J. Matematik. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353 / ajm.2015.0028. JANOB 3372317.
^ Tao, Terens; Zigler, Tamar (2008). "Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq polinom progressiyalarini o'z ichiga oladi". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math.NT / 0610050. doi:10.1007 / s11511-008-0032-5. JANOB 2461509.
^ Tao, Terens; Zigler, Tamar (2013). "" Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq polinomik progressiyani o'z ichiga oladi "ga" ". Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007 / s11511-013-0097-7. JANOB 3070570.
^ Tao, Terens (2006). "Gauss primeslarida o'zboshimchalik bilan shakllangan yulduz turkumlari mavjud". J. Anal. Matematika. 99 (1): 109–176. arXiv:matematik / 0501314. doi:10.1007 / BF02789444. JANOB 2279549.

Qo'shimcha o'qish

Konlon, Devid; Tulki, Yoqub; Zhao, Yufei (2014). "Yashil-Tao teoremasi: ekspozitsiya". Matematik fanlarda EMS tadqiqotlari. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. doi:10.4171 / EMSS / 6. JANOB 3285854.CS1 maint: ref = harv (havola)
Govers, Timo'tiy (2010). "Parchalanish, taxminiy tuzilish, o'tkazuvchanlik va Xann-Banax teoremasi". London Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 42 (4): 573–606. arXiv:0811.3103. doi:10.1112 / blms / bdq018. JANOB 2669681.
Yashil, Ben (2007). "Asal sonlarining uzoq arifmetik progressiyalari". Dyukda Uilyam; Tschinkel, Yuriy (tahrir). Analitik sonlar nazariyasi. Gil matematikasi. 7. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. 149–167 betlar. ISBN 978-0-8218-4307-9. JANOB 2362199.
Xost, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green va T. Tao)" [Asoslardagi arifmetik progressiyalar (B. Grin va T. Taodan keyin)] (PDF). Asterisk (frantsuz tilida) (307): 229-246. JANOB 2296420.
Kra, Bryna (2006). "Asosli arifmetik progresiyalar to'g'risida Green-Tao teoremasi: ergodik nuqtai nazar". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi . 43 (1): 3–23. doi:10.1090 / S0273-0979-05-01086-4. JANOB 2188173.
Tao, Terens (2006). "Arifmetik progresiyalar va tub sonlar". Collectanea Mathematica. Vol. Qo'shimcha: 37-88. JANOB 2264205. Arxivlandi asl nusxasi 2015-08-05 da. Olingan 2015-06-05.
Tao, Terens (2006). "Birlamchi va arifmetik naqshlarning tub sonlaridagi to'siqlar". Har chorakda sof va amaliy matematika. 2 (2): 395–433. arXiv:matematik / 0505402. doi:10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a2. JANOB 2251475.
Tao, Terens (2008-01-07). "AMS ma'ruzasi: oddiy sonlarning tuzilishi va tasodifiyligi".

[green-tao-1] Yashil, Ben; Tao, Terens (2008). "Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq arifmetik progressiyalarni o'z ichiga oladi". Matematika yilnomalari. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT / 0404188. doi:10.4007 / annals.2008.167.481. JANOB 2415379..

[2] Yashil, Ben; Tao, Terens (2010). "Asosiy sonlardagi chiziqli tenglamalar". Matematika yilnomalari. 171 (3): 1753–1850. arXiv:matematik / 0606088. doi:10.4007 / annals.2010.171.1753. JANOB 2680398.

[3] Yashil, Ben; Tao, Terens (2012). "Mobius funktsiyasi noaniqliklarga keskin orgonaldir". Matematika yilnomalari. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007 / annals.2012.175.2.3. JANOB 2877066.

[4] Yashil, Ben; Tao, Terens; Ziegler, Tamar (2012). "Gowers Us uchun teskari teorema + 1 [N] -norm". Matematika yilnomalari. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007 / annals.2012.176.2.11. JANOB 2950773.

[5] Goldston, Daniel A.; Pintz, Yanos; Yildirim, Jem Y. (2009). "Taymerlardagi asosiy sonlar. Men". Matematika yilnomalari. 170 (2): 819–862. arXiv:matematik / 0508185. doi:10.4007 / annals.2009.170.819. JANOB 2552109.

[6] Andersen, Jens Kruz. "Arifmetik progressiya yozuvlaridagi asosiy ko'rsatkichlar". Olingan 2015-06-27.

[7] Tao, Terens; Zigler, Tamar (2015). "Xat yozish printsipi orqali tub sonlar uchun ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasi". Isroil J. Matematik. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007 / s11856-015-1157-9. JANOB 3358045.

[8] Kuk, Brayan; Magyar, Akos (2012). "Burjlar ${displaystyle mathbb {P} ^ {d}}$ ". Int. Matematika. Res. Yo'q. IMRN. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093 / imrn / rnr127. JANOB 2942710.

[9] Kuk, Brayan; Magyar, Akos; Titichetrakun, Tatchai (2015). "Asaldagi ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasi". arXiv:1306.3025 [math.NT ].

[10] Tulki, Yoqub; Zhao, Yufei (2015). "Asoslarda ko'p o'lchovli Szemeredi teoremasining qisqa isboti". Amer. J. Matematik. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353 / ajm.2015.0028. JANOB 3372317.

[11] Tao, Terens; Zigler, Tamar (2008). "Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq polinom progressiyalarini o'z ichiga oladi". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math.NT / 0610050. doi:10.1007 / s11511-008-0032-5. JANOB 2461509.

[12] Tao, Terens; Zigler, Tamar (2013). "" Asoslar o'zboshimchalik bilan uzoq polinomik progressiyani o'z ichiga oladi "ga" ". Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007 / s11511-013-0097-7. JANOB 3070570.

[13] Tao, Terens (2006). "Gauss primeslarida o'zboshimchalik bilan shakllangan yulduz turkumlari mavjud". J. Anal. Matematika. 99 (1): 109–176. arXiv:matematik / 0501314. doi:10.1007 / BF02789444. JANOB 2279549.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]