Hansen muammosi tekislikda muammo geodeziya, astronom nomi bilan atalgan Piter Andreas Xansen (1795–1874), Daniyaning geodezik tadqiqotida ishlagan. Ma'lum bo'lgan ikkita nuqta bor A va Bva ikkita noma'lum nuqta P1 va P2. Kimdan P1 va P2 kuzatuvchi boshqa uchta nuqtaning har biriga ko'rish chiziqlari tomonidan qilingan burchaklarni o'lchaydi. Muammo - pozitsiyalarini topish P1 va P2. Shaklga qarang; o'lchangan burchaklar (a1, β1, a2, β2).
Unda noma'lum nuqtalarda qilingan burchaklarni kuzatish nazarda tutilganligi sababli, muammo misol bo'la oladi rezektsiya (chorrahadan farqli o'laroq).
Yechish usuliga umumiy nuqtai
Quyidagi burchaklarni aniqlang: γ = P1AP2, δ = P1BP2, φ = P2AB, ψ = P1BA.Biz birinchi qadam sifatida hal qilamiz φ va ψ.Bu ikki noma'lum burchakning yig'indisi yig'indisiga teng β1 va β2, tenglamani beradi
![{ displaystyle phi + psi = beta _ {1} + beta _ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae7fb19a2bd3541047316c85c60fe1db4a94a08)
Ikkinchi tenglamani ko'proq mehnat bilan topish mumkin, quyidagicha. The sinuslar qonuni hosil
va![{ displaystyle { frac {P_ {2} B} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin beta _ {1}} { sin delta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f0e29466f55db5677bbe7e61d5fde615800b4c)
Bularni birlashtirib, biz olamiz
![{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin phi sin delta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204ecaae6250552c26ce9c7e8150e0baa5857193)
Boshqa tomondan to'liq o'xshash mulohazalar hosil beradi
![{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {1} sin beta _ {2}} { sin psi sin gamma}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1883ee164e8155eeb3bdd16a010abaa78967bf34)
Ushbu ikkita tenglikni o'rnatish
![{ displaystyle { frac { sin phi} { sin psi}} = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2}}} = k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d853d69858a78e9d612d82a3d4622f840965b05f)
Ma'lum bo'lgan narsadan foydalanish trigonometrik identifikatsiya sinuslarning bu nisbati burchak farqining tekstenti sifatida ifodalanishi mumkin:
![{ displaystyle tan { frac { phi - psi} {2}} = { frac {k-1} {k + 1}} tan { frac { phi + psi} {2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a23b06ffc067876d4cf5863373e47acb7d8c8f)
Bu bizga kerak bo'lgan ikkinchi tenglama. Bir marta ikkita noma'lum uchun ikkita tenglamani echamiz
va
, uchun yuqoridagi ikkita iboradan birini ishlatishimiz mumkin
topmoq P1P2 beri AB ma'lum. Keyin biz boshqa barcha segmentlarni sinuslar qonuni yordamida topishimiz mumkin.[1]
Yechish algoritmi
Bizga to'rtta burchak berilgan (a1, β1, a2, β2) va masofa AB. Hisoblash quyidagicha davom etadi:
- Hisoblang
![{ displaystyle gamma = pi - alfa _ {1} - beta _ {1} - beta _ {2}, quad delta = pi - alfa _ {2} - beta _ {1 } - beta _ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bfbb33c94baaaf6e3b1bc1cccf158433e956f3)
- Hisoblang
![{ displaystyle k = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2 }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558b8919b6e104e079adba6dd36584501346e74c)
- Ruxsat bering
undan keyin ![{ displaystyle phi = (s + d) / 2, quad psi = (s-d) / 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9bd3ef7c20d51d21ac900f8569ad371b45df4a)
- Hisoblang
![{ displaystyle P_ {1} P_ {2} = AB { frac { sin phi sin delta} { sin alpha _ {2} sin beta _ {1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb6bf4854d606afeee085d8d5293558d8c858b7)
- yoki unga teng ravishda
![P_ {1} P_ {2} = AB { frac { sin psi sin gamma} { sin alpha _ {1} sin beta _ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d988d08bfcba368f33bbb3ddfbf0266e70fb44)
- Agar ushbu fraktsiyalarning bittasi nolga yaqin bo'luvchiga ega bo'lsa, ikkinchisidan foydalaning.
Shuningdek qarang
Adabiyotlar
- ^ Udo Hebisch: Ebene und Sphaerische Trigonometrie, Kapitel 1, Beispiel 4 (2005, 2006)[1]