Hellinger - Toeplitz teoremasi - Hellinger–Toeplitz theorem

Yilda funktsional tahlil, filiali matematika, Hellinger - Toeplitz teoremasi a da hamma joyda aniqlangan nosimmetrik operator ekanligini bildiradi Hilbert maydoni ichki mahsulot bilan ${ displaystyle langle cdot | cdot rangle}$ bu chegaralangan. Ta'rifga ko'ra, operator A bu nosimmetrik agar

${ displaystyle langle Ax | y rangle = langle x | Ay rangle}$

Barcha uchun x, y domenida A. Nosimmetrik ekanligini unutmang hamma joyda belgilangan operatorlar shart o'zini o'zi bog'laydigan, shuning uchun ushbu teoremani quyidagicha ifodalash mumkin: hamma joyda belgilangan o'zini o'zi biriktiruvchi operator chegaralangan. Teorema nomlangan Ernst Devid Xelinger va Otto Toeplitz.

Ushbu teoremani darhol natijasi sifatida ko'rib chiqish mumkin yopiq grafik teoremasi, o'zini o'zi bog'laydigan operatorlar kabi yopiq. Shu bilan bir qatorda, yordamida bahslashish mumkin bir xil chegaralanish printsipi. Teoremani isbotlashda kishi nosimmetrik taxminga, shuning uchun ichki mahsulot tuzilishiga tayanadi. Ushbu operator ham muhim ahamiyatga ega A hamma joyda aniqlanadi (va, o'z navbatida, Hilbert bo'shliqlarining to'liqligi).

Hellinger-Toeplitz teoremasi ba'zi texnik qiyinchiliklarni ochib beradi kvant mexanikasining matematik formulasi. Kuzatiladigan narsalar kvant mexanikasida ba'zi Xilbert fazosidagi o'z-o'zidan bog'langan operatorlarga to'g'ri keladi, ammo ba'zi kuzatiladigan narsalar (energiya kabi) cheksizdir. Hellinger-Toeplitz tomonidan bunday operatorlarni hamma joyda aniqlash mumkin emas (lekin ular a da belgilanishi mumkin) zich pastki qism ). Masalan, kvantli harmonik osilator. Mana Xilbert maydoni L²(R), kvadrat bo'yicha integral funktsiyalar maydoni Rva energiya operatori H bilan belgilanadi (birliklar shunday tanlanganki, ular ph =m = ph = 1)

${ displaystyle [Hf] (x) = - { frac {1} {2}} { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} f ( x) + { frac {1} {2}} x ^ {2} f (x).}$

Ushbu operator o'z-o'zidan bog'langan va chegaralanmagan (uning o'zgacha qiymatlar 1/2, 3/2, 5/2, ...) dir, shuning uchun uni butun L bo'yicha aniqlab bo'lmaydi²(R).

Adabiyotlar

• Rid, Maykl va Simon, Barri: Matematik fizika metodikasi, 1-jild: funktsional tahlil. Academic Press, 1980. III.5-bo'limga qarang.
• Teschl, Jerald (2009). Kvant mexanikasida matematik usullar; Schrödinger operatorlariga arizalar bilan. Dalil: Amerika matematik jamiyati. ISBN  978-0-8218-4660-5.