Giperbolik uchburchak - Hyperbolic triangle

Ga o'rnatilgan giperbolik uchburchak egar shaklidagi sirt

Yilda giperbolik geometriya, a giperbolik uchburchak a uchburchak ichida giperbolik tekislik. U uchtadan iborat chiziq segmentlari deb nomlangan tomonlar yoki qirralar va uchta ochkolar deb nomlangan burchaklar yoki tepaliklar.

Xuddi Evklid holat, a ning uchta nuqtasi giperbolik bo'shliq o'zboshimchalik bilan o'lchov har doim bir tekislikda yotish. Shunday qilib, tekislikdagi giperbolik uchburchaklar, shuningdek, giperbolik bo'shliqlarning har qanday yuqori o'lchamlarida mumkin bo'lgan uchburchaklarni tasvirlaydi.

An buyurtma-7 uchburchak plitka 2π / 7 radianli teng qirrali uchburchaklarga ega ichki burchaklar.

Ta'rif

Giperbolik uchburchak uchta bo'lmagankollinear nuqtalar va ular orasidagi uchta segment.^[1]

Xususiyatlari

Giperbolik uchburchaklar o'xshash xususiyatlarga ega uchburchaklar yilda Evklid geometriyasi:

Har bir giperbolik uchburchakda an bor yozilgan doira ammo har bir giperbolik uchburchakda a mavjud emas cheklangan doira (pastga qarang). Uning tepalari a ga yotishi mumkin horosikl yoki gipersikl.

Giperbolik uchburchaklar uchburchaklarnikiga o'xshash ba'zi xususiyatlarga ega sferik yoki elliptik geometriya:

Bir xil burchak yig'indisiga ega bo'lgan uchburchakning maydoni teng.
Uchburchaklar maydoni uchun yuqori chegara mavjud.
Ning radiusi uchun yuqori chegara mavjud yozilgan doira.
Ikkala uchburchak, agar ular chiziqli aks ettirishning cheklangan mahsulotiga to'g'ri keladigan bo'lsa, mos keladi.
Tegishli burchaklari teng bo'lgan ikkita uchburchak mos keladi (ya'ni hamma o'xshash uchburchaklar mos keladi).

Giperbolik uchburchaklar sferik yoki elliptik geometriyadagi uchburchaklar xossalariga qarama-qarshi bo'lgan ba'zi xususiyatlarga ega:

Uchburchakning burchak yig'indisi 180 ° dan kam.
Uchburchakning maydoni uning burchak yig'indisining 180 ° dan kamomadiga mutanosibdir.

Giperbolik uchburchaklar boshqa geometriyalarda mavjud bo'lmagan ba'zi bir xususiyatlarga ega:

Ba'zi giperbolik uchburchaklar yo'q cheklangan doira, bu uning tepaliklaridan kamida bittasi ideal nuqta yoki uning barcha tepalari a ga yotganda horosikl yoki bir tomondan gipersikl.
Giperbolik uchburchaklar ingichka, chetdagi nuqtadan qolgan ikki qirradan biriga maksimal masofa is mavjud. Ushbu tamoyil paydo bo'ldi b-giperbolik bo'shliq.

Ideal uchlari bo'lgan uchburchaklar

Uchta ideal uchburchak Poincaré disk modeli

Uchburchakning ta'rifi umumlashtirilishi mumkin, bunda vertikallarga ruxsat beriladi ideal chegara tomonlarni tekislik ichida ushlab turganda tekislikning. Agar bir juft tomon bo'lsa cheklovchi parallel (ya'ni ular orasidagi masofa nolga yaqinlashadi, chunki ular moyil bo'lishadi) ideal nuqta, lekin ular kesishmaydi), keyin ular an bilan tugaydi ideal vertex sifatida ifodalangan omega nuqtasi.

Bunday juft tomon, shuningdek, burchakka ega deyish mumkin nol.

Nolinchi burchakli uchburchak ichida mumkin emas Evklid geometriyasi uchun To'g'riga aniq chiziqlarda yotgan tomonlar. Biroq, bunday nol burchaklar bilan mumkin teginuvchi doiralar.

Bitta ideal tepalikka ega bo'lgan uchburchak an deyiladi omega uchburchagi.

Ideal uchlari bo'lgan maxsus uchburchaklar:

Parallelizm uchburchagi

Bitta tepalik ideal nuqta, bitta burchak to'g'ri bo'lgan uchburchak: uchinchi burchak bu parallellik burchagi o'ng va uchinchi burchak orasidagi tomonning uzunligi uchun.

Shvaykart uchburchagi

Ikki tepa ideal nuqta va qolgan burchak bo'lgan uchburchak to'g'ri, tomonidan tasvirlangan birinchi giperbolik uchburchaklardan biri (1818) Ferdinand Karl Shvaykart.

Ideal uchburchak

Barcha tepaliklar ideal nuqtalar bo'lgan uchburchak, ideal uchburchak giperbolik geometriyadagi burchaklarning nol yig'indisi tufayli mumkin bo'lgan eng katta uchburchakdir.

Standartlashtirilgan Gauss egriligi

Burchaklar va tomonlar o'rtasidagi munosabatlar o'xshashdir sferik trigonometriya; masalan, sferik geometriya va giperbolik geometriya uchun uzunlik o'lchovini, masalan, teng qirrali uchburchakning sobit burchakli tomoni uzunligi sifatida aniqlash mumkin.

Uzunlik o'lchovi, agar uzunliklar mutlaq uzunlik (masofalar orasidagi munosabatlarga o'xshash uzunlikning maxsus birligi sferik geometriya ). Ushbu uzunlik o'lchovi uchun tanlov formulalarni soddalashtiradi.^[2]

Jihatidan Poincaré yarim samolyot modeli mutlaq uzunlik. ga to'g'ri keladi cheksiz kichik metrik ${ displaystyle ds = { frac {| dz |} { operator nomi {Im} (z)}}}$ va Poincaré disk modeli ga ${ displaystyle ds = { frac {2 | dz |} {1- | z | ^ {2}}}}$ .

(Doimiy va salbiy) nuqtai nazaridan Gauss egriligi $K$ giperbolik tekislikning mutlaq uzunlik birligi uzunlikka to'g'ri keladi

{ displaystyle R = { frac {1} { sqrt {-K}}}}

.

Giperbolik uchburchakda burchaklar yig'indisi A, B, C (mos ravishda tegishli harf bilan tomonga qarama-qarshi) qat'iy ravishda a dan kichik to'g'ri burchak. To'g'ri burchak o'lchovi va uchburchak burchaklari o'lchovlari yig'indisi o'rtasidagi farqga deyiladi nuqson uchburchakning The maydon giperbolik uchburchakning nuqsoni ga ko'paytirilishga teng kvadrat ning $R$ :

{ displaystyle ( pi -A-B-C) R ^ {2} {} {} !}

.

Birinchi marta isbotlangan ushbu teorema Johann Heinrich Lambert,^[3] bilan bog'liq Jirard teoremasi sferik geometriyada.

Trigonometriya

Barcha formulalarda tomonlar quyida keltirilgan $a$ , $b$ va $v$ bilan o'lchanishi kerak mutlaq uzunlik, birlik shunday qilib Gauss egriligi $K$ tekislikning −1. Boshqacha qilib aytganda, miqdor $R$ yuqoridagi xatboshida 1 ga teng bo'lishi kerak.

Giperbolik uchburchaklar uchun trigonometrik formulalar ga bog'liq giperbolik funktsiyalar sinx, cosh va tanh.

To'g'ri uchburchaklar trigonometriyasi

Agar C a to'g'ri burchak keyin:

The sinus burchak A bo'ladi giperbolik sinus ga bo'lingan burchakka qarama-qarshi tomonning giperbolik sinus ning gipotenuza.

{ displaystyle sin A = { frac { textrm {sinh (qarama-qarshi)}} { textrm {sinh (gipotenuza)}}} = { frac { sinh a} {, sinh c ,}} . ,}

The kosinus burchak A bo'ladi giperbolik tangens ga bo'lingan qo'shni oyoqning giperbolik tangens gipotenuzaning

{ displaystyle cos A = { frac { textrm {tanh (ulashgan)}} { textrm {tanh (gipotenuza)}}} = { frac { tanh b} {, tanh c ,}} . ,}

The teginish burchak A bo'ladi giperbolik tangens ga bo'lingan qarama-qarshi oyoqning giperbolik sinus qo'shni oyoqning.

{ displaystyle tan A = { frac { textrm {tanh (qarama-qarshi)}} { textrm {sinh (yonma-yon)}}} = { frac { tanh a} {, sinh b ,}} }

.

The giperbolik kosinus qo'shni oyoqning A burchagiga tengligi kosinus B burchagi. ga bo'linadi sinus burchak A

{ displaystyle { textrm {cosh (ulashgan)}} = { frac { cos B} { sin A}}}

.

The giperbolik kosinus gipotenuzaning hosilasi giperbolik kosinuslar oyoqlarning.

{ displaystyle { textrm {cosh (gipotenuza)}} = { textrm {cosh (qo'shni)}} { textrm {cosh (qarama-qarshi)}}}

.

The giperbolik kosinus gipotenuzaning ham hosilasi kosinuslar ularning hosilasi bilan bo'lingan burchaklarning sinuslar.^[4]

{ displaystyle { textrm {cosh (gipotenuza)}} = { frac { cos A cos B} { sin A sin B}} = cot A cot B}

Burchaklar orasidagi munosabatlar

Bizda quyidagi tenglamalar mavjud:^[5]

{ displaystyle cos A = cosh a sin B}

{ displaystyle sin A = { frac { cos B} { cosh b}}}

{ displaystyle tan A = { frac { cot B} { cosh c}}}

{ displaystyle cos B = cosh b sin A}

{ displaystyle cosh c = cot A cot B}

Maydon

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

{ displaystyle { textrm {Area}} = { frac { pi} {2}} - burchak A- burchak B}

shuningdek

{ displaystyle { textrm {Area}} = 2 arctan ( tanh ({ frac {a} {2}}) tanh ({ frac {b} {2}}))}

^{[iqtibos kerak ]}^[6]

Parallellik burchagi

Ning misoli omega uchburchagi to'g'ri burchak bilan tekshirish uchun konfiguratsiyani ta'minlaydi parallellik burchagi uchburchakda.

Bunday holda burchak B = 0, a = c = ${ displaystyle infty}$ va ${ displaystyle { textrm {tanh}} ( infty) = 1}$ , ni natijasida ${ displaystyle cos A = { textrm {tanh (qo'shni)}}}$ .

Teng yonli uchburchak

To'g'ri uchburchaklarning trigonometriya formulalari ham tomonlar o'rtasidagi munosabatlarni beradi s va burchaklar A ning teng qirrali uchburchak (hamma tomonlari bir xil uzunlikka ega va barcha burchaklari teng bo'lgan uchburchak).

O'zaro munosabatlar:

{ displaystyle cos A = { frac {{ textrm {tanh}} { frac {1} {2}} s} {{ textrm {tanh}} (s)}}}

{ displaystyle cosh { frac {1} {2}} s = { frac { cos ({ frac {1} {2}} A)} {{sin (A)}} = { frac { 1} {2 sin ({ frac {1} {2}} A)}}}

Umumiy trigonometriya

Yo'q C to'g'ri burchakka ega yoki yo'q, quyidagi aloqalar mavjud: The kosinuslarning giperbolik qonuni quyidagicha:

{ displaystyle cosh c = cosh a cosh b- sinh a sinh b cos C,}

Uning ikki tomonlama teorema bu

{ displaystyle cos C = - cos A cos B + sin A sin B cosh c,}

Shuningdek, a sinuslar qonuni:

{ displaystyle { frac { sin A} { sinh a}} = { frac { sin B} { sinh b}} = { frac { sin C} { sinh c}},}

va to'rt qismli formula:

{ displaystyle cos C cosh a = sinh a coth b- sin C cot B}

bilan bir xil tarzda olingan sferik trigonometriyadagi analog formula.

Shuningdek qarang

Giperbolik trigonometriya uchun:

Adabiyotlar

^ Stothers, Wilson (2000), Giperbolik geometriya, Glazgo universiteti, interaktiv o'quv veb-sayti
^ Needham, Tristan (1998). Vizual kompleks tahlil. Oksford universiteti matbuoti. p. 270. ISBN 9780198534464.
^ Ratkliff, Jon (2006). Giperbolik manifoldlarning asoslari. Matematikadan aspirantura matnlari. 149. Springer. p. 99. ISBN 9780387331973. Giperbolik uchburchakning maydoni uning burchak nuqsoniga mutanosib ekanligi birinchi marta Lambert monografiyasida paydo bo'lgan Theorie der Parallellinien1786 yilda vafotidan keyin nashr etilgan.
^ Martin, Jorj E. (1998). Geometriya asoslari va Evklid bo'lmagan tekislik (Tuzatilgan 4. bosma nashr.). Nyu-York, Nyu-York: Springer. p.433. ISBN 0-387-90694-0.
^ Smogorjevskiy, A.S. Lobachevskiy geometriya. Moskva 1982 yil: Mir nashriyotlari. p. 63.CS1 tarmog'i: joylashuvi (havola)
^ "To'g'ri burchakli giperbolik uchburchakning maydoni yon uzunliklar funktsiyasi sifatida". Stack Exchange Matematika. Olingan 11 oktyabr 2015.

Qo'shimcha o'qish

Svetlana Katok (1992) Fuchsiyalik guruhlar, Chikago universiteti matbuoti ISBN 0-226-42583-5

[1] Stothers, Wilson (2000), Giperbolik geometriya, Glazgo universiteti, interaktiv o'quv veb-sayti

[2] Needham, Tristan (1998). Vizual kompleks tahlil. Oksford universiteti matbuoti. p. 270. ISBN 9780198534464.

[3] Ratkliff, Jon (2006). Giperbolik manifoldlarning asoslari. Matematikadan aspirantura matnlari. 149. Springer. p. 99. ISBN 9780387331973. Giperbolik uchburchakning maydoni uning burchak nuqsoniga mutanosib ekanligi birinchi marta Lambert monografiyasida paydo bo'lgan Theorie der Parallellinien1786 yilda vafotidan keyin nashr etilgan.

[4] Martin, Jorj E. (1998). Geometriya asoslari va Evklid bo'lmagan tekislik (Tuzatilgan 4. bosma nashr.). Nyu-York, Nyu-York: Springer. p.433. ISBN 0-387-90694-0.

[5] Smogorjevskiy, A.S. Lobachevskiy geometriya. Moskva 1982 yil: Mir nashriyotlari. p. 63.CS1 tarmog'i: joylashuvi (havola)

[6] "To'g'ri burchakli giperbolik uchburchakning maydoni yon uzunliklar funktsiyasi sifatida". Stack Exchange Matematika. Olingan 11 oktyabr 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]