Shaxsiyat (matematika) - Identity (mathematics)

Ning vizual isboti Pifagorning o'ziga xosligi: har qanday burchak uchun

{ displaystyle theta}

, Nuqta

{ displaystyle (x, y) = ( cos theta, sin theta)}

yotadi birlik doirasi, bu tenglamani qondiradi

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

. Shunday qilib,

{ displaystyle cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1}

.

Yilda matematika, an shaxsiyat bu tenglik bitta matematik ifoda bilan bog'liq A boshqa matematik ifodagaB, shu kabi A va B (ba'zilari bo'lishi mumkin o'zgaruvchilar ) ma'lum bir amal qilish doirasidagi o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun bir xil qiymatni ishlab chiqarish.^[1]^[2] Boshqa so'zlar bilan aytganda, A = B agar shaxs bo'lsa A va B xuddi shu narsani aniqlang funktsiyalari, va identifikatsiya - bu boshqacha aniqlangan funktsiyalar o'rtasidagi tenglik. Masalan, ${ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ va ${ displaystyle cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1}$ identifikatorlar.^[2] Shaxsiyatni ba'zan uch bar belgi $\equiv$ o'rniga $=$ , teng belgi.^[3]

Umumiy identifikatorlar

Algebraik identifikatorlar

Kabi ba'zi bir identifikatorlar ${ displaystyle a + 0 = a}$ va ${ displaystyle a + (- a) = 0}$ , algebra asosini tashkil etadi,^[4] kabi boshqa shaxslar, masalan ${ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ va ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$ , algebraik ifodalarni soddalashtirish va ularni kengaytirishda foydali bo'lishi mumkin.^[5]

Trigonometrik identifikatorlar

Geometrik jihatdan trigonometrik identifikatorlar - bu bir yoki bir nechta funktsiyalarni o'z ichiga olgan identifikatsiyalar burchaklar.^[6] Ular ajralib turadi uchburchakning identifikatorlari, ikkala burchak va a uzunliklarni o'z ichiga olgan identifikatorlar uchburchak. Ushbu maqolada faqat avvalgisi keltirilgan.

Ushbu identifikatorlar trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq bo'lgan ifodalarni soddalashtirish zarur bo'lganda foydalidir. Yana bir muhim dastur integratsiya trigonometrik bo'lmagan funktsiyalar: birinchi qo'llanishni o'z ichiga olgan keng tarqalgan usul trigonometrik funktsiya bilan almashtirish qoidasi va keyin olingan integralni trigonometrik identifikatsiya bilan soddalashtirish.

Trigonometrik identifikatsiyaning eng yorqin misollaridan biri bu tenglamani o'z ichiga oladi ${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1,}$ bu hamma uchun to'g'ri murakkab ning qiymatlari ${ displaystyle theta}$ (murakkab sonlardan beri ${ displaystyle mathbb {C}}$ sinus va kosinus sohasini hosil qiladi). Boshqa tomondan, tenglama

{ displaystyle cos theta = 1}

ning faqat ma'lum qiymatlari uchun to'g'ri keladi ${ displaystyle theta}$ , barchasi ham emas (yoki a-dagi barcha qiymatlar uchun ham Turar joy dahasi ). Masalan, bu tenglama qachon to'g'ri bo'ladi ${ displaystyle theta = 0,}$ lekin qachon yolg'on ${ displaystyle theta = 2}$ .

Trigonometrik identifikatsiyalarning yana bir guruhi qo'shish / ayirish formulalari (masalan, ikki burchakli identifikatsiya) deb ataladi. ${ displaystyle sin (2 theta) = 2 sin theta cos theta}$ uchun qo'shilish formulasi ${ displaystyle tan (x + y)}$ ),^[3]^[1] kattaroq burchakli ifodalarni kichik tarkibiy qismlarga ajratish uchun ishlatilishi mumkin.

Ko'rsatkichlar

Baza nolga teng bo'lmagan holda, barcha identifikatorlar uchun quyidagi identifikatorlar mavjud:

{ displaystyle { begin {aligned} b ^ {m + n} & = b ^ {m} cdot b ^ {n} (b ^ {m}) ^ {n} & = b ^ {m cdot n} (b cdot c) ^ {n} & = b ^ {n} cdot c ^ {n} end {aligned}}}

Qo'shish va ko'paytirishdan farqli o'laroq, darajani ajratish emas kommutativ. Masalan, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 va 2 · 3 = 3 · 2 = 6, lekin 2³ = 8, aksincha 3² = 9.

Va qo'shish va ko'paytirishdan farqli o'laroq, eksponentatsiya emas assotsiativ yoki. Masalan, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 va (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, lekin 2³ 4 ga 8 ga teng⁴ (yoki 4.096), 2 dan 3 gacha⁴ 2.⁸¹ (yoki 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Hisoblash tartibini o'zgartirish uchun qavslarsiz, tartib bo'yicha yuqoridan pastga emas, pastdan yuqoriga:

{ displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p cdot q)} = b ^ {p cdot q}.}

Logaritmik identifikatorlar

Ba'zan chaqiriladigan bir nechta muhim formulalar logaritmik identifikatorlar yoki log qonunlari, logaritmalarni bir-biriga bog'lab qo'ying.^[7]

Mahsulot, miqdor, quvvat va ildiz

Mahsulotning logarifmi - ko'paytirilayotgan sonlarning logarifmlari yig'indisi; ikki sonning nisbati logarifmasi logaritmalarning farqidir. Ning logarifmi p-chi raqamning kuchi p sonning o'zi logarifmini marta; a ning logarifmi p-chi root - songa bo'lingan sonning logaritmasi p. Quyidagi jadvalda ushbu identifikatorlar misollar bilan keltirilgan. Shaxsiyatning har biri logaritma ta'riflari almashtirilgandan so'ng olinishi mumkin x = b^jurnal_b(x)va / yoki y = b^jurnal_b(y), chap tomonlarda.

	Formula	Misol
mahsulot	${ displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} (x) + log _ {b} (y)}$	${ displaystyle log _ {3} (243) = log _ {3} (9 cdot 27) = log _ {3} (9) + log _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
miqdor	${ displaystyle log _ {b} ! left ({ frac {x} {y}} right) = log _ {b} (x) - log _ {b} (y)}$	${ displaystyle log _ {2} (16) = log _ {2} ! left ({ frac {64} {4}} right) = log _ {2} (64) - log _ {2} (4) = 6-2 = 4}$
kuch	${ displaystyle log _ {b} (x ^ {p}) = p log _ {b} (x)}$	${ displaystyle log _ {2} (64) = log _ {2} (2 ^ {6}) = 6 log _ {2} (2) = 6}$
ildiz	${ displaystyle log _ {b} { sqrt [{p}] {x}} = { frac { log _ {b} (x)} {p}}}$	${ displaystyle log _ {10} { sqrt {1000}} = { frac {1} {2}} log _ {10} 1000 = { frac {3} {2}} = 1.5}$

Bazaning o'zgarishi

Logarifm jurnali_b(x) ning logarifmlaridan hisoblash mumkin x va b o'zboshimchalik bilan asosga nisbatan k quyidagi formuladan foydalanib:

{ displaystyle log _ {b} (x) = { frac { log _ {k} (x)} { log _ {k} (b)}}.}

Odatda ilmiy kalkulyatorlar logarifmlarni 10 va asoslarga hisoblang e.^[8] Har qanday bazaga nisbatan logaritmlar b oldingi formulada ushbu ikki logarifmdan biri yordamida aniqlanishi mumkin:

{ displaystyle log _ {b} (x) = { frac { log _ {10} (x)} { log _ {10} (b)}} = { frac { log _ {e} (x)} { log _ {e} (b)}}.}

Raqam berilgan x va uning logaritma jurnali_b(x) noma'lum bazaga b, tayanch quyidagicha:

{ displaystyle b = x ^ { frac {1} { log _ {b} (x)}}.}

Giperbolik funktsiyalarning o'ziga xosligi

Giperbolik funktsiyalar juda ko'p o'ziga xosliklarni qondiradi, ularning barchasi shakli o'xshash trigonometrik identifikatorlar. Aslini olib qaraganda, Osbornning boshqaruvi^[9] Sinuslar va kosinuslarning ajralmas kuchlari nuqtai nazaridan har qanday trigonometrik identifikatsiyani to'liq kengaytirib, sinusni sinhga va kosinusni coshga o'zgartirib, har bir atamaning belgisini 2, 6 ga ko'paytirgan holda o'zgartirishi mumkin. , 10, 14, ... sinxlar.^[10]

The Gudermanniya funktsiyasi murakkab raqamlarni o'z ichiga olmaydigan dairesel funktsiyalar bilan giperbolik funktsiyalar o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlikni beradi.

Mantiqiy va universal algebra

Yilda matematik mantiq va universal algebra, identifikatsiya a sifatida belgilanadi formula shakldagi "∀x₁,...,x_n. s = t", qaerda s va t bor shartlar boshqa hech kim bilan erkin o'zgaruvchilar dan x₁,...,x_n.Kantifikator prefiksi ("∀."x₁,...,x_n. ") ko'pincha yashirin bo'lib qoladi, xususan universal algebrada. Masalan aksiomalar a monoid ko'pincha shaxsiyat sifatida beriladi o'rnatilgan

{ ∀x,y,z. x*(y*z)=(x*y)*z , ∀x. x*1=x , ∀x. 1*x=x },

yoki qisqacha yozuvda, kabi

{ x*(y*z)=(x*y)*z , x*1=x , 1*x=x }.

Ba'zi mualliflar "identifikatsiya" o'rniga "tenglama" nomidan foydalanadilar.^[11]^[12]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b "Oliy matematik jargonning aniq lug'ati - o'ziga xoslik". Matematik kassa. 2019-08-01. Olingan 2019-12-01.
^ ^a ^b "Matematik so'zlar: shaxsiyat". www.mathwords.com. Olingan 2019-12-01.
^ ^a ^b "Identity - matematik so'zlarni ta'rifi - matematikadan ochiq ma'lumot". www.mathopenref.com. Olingan 2019-12-01.
^ "Asosiy identifikatorlar". www.math.com. Olingan 2019-12-01.
^ "Algebraik identifikatorlar". www.sosmath.com. Olingan 2019-12-01.
^ Stapel, Yelizaveta. "Trigonometrik identifikatorlar". Purplemath. Olingan 2019-12-01.
^ Ushbu bo'limdagi barcha bayonotlar Shailesh Shiralida joylashgan2002, 4-qism, (Duglas Downing.)2003, p. Yoki Kate & Bhapkar2009, p. Masalan, 1-1.
^ Bernshteyn, Stiven; Bernshteyn, Rut (1999), Shoumning nazariyasi va statistika elementlari muammolari. I, Ta'riflovchi statistika va ehtimollik, Schaumning kontur seriyasi, Nyu-York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, p. 21
^ Osborn, G. (1902 yil 1-yanvar). "109. Giperbolik formulalar uchun mnemonik". Matematik gazeta. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
^ Peterson, Jon Charlz (2003). Hisoblash bilan texnik matematika (3-nashr). O'qishni to'xtatish. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., 26-bob, 1155-bet
^ Nachum Dershovits; Jan-Per Jouanna (1990). "Tizimlarni qayta yozish". Yilda Yan van Leyven (tahrir). Rasmiy modellar va semantika. Nazariy informatika qo'llanmasi. B. Elsevier. 243-320 betlar.
^ Volfgang Veksler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (tahr.). Kompyuter olimlari uchun universal algebra. EATCS Nazariy kompyuter fanlari bo'yicha monografiyalar. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Bu erda: Def.1.3.2.1-band, 160-bet.

Tashqi havolalar

Tenglama ensiklopediyasi Matematik identifikatorlarning onlayn entsiklopediyasi (arxivlangan)
Algebraik identifikatorlar to'plami

[:0-1] "Oliy matematik jargonning aniq lug'ati - o'ziga xoslik". Matematik kassa. 2019-08-01. Olingan 2019-12-01.

[:1-2] "Matematik so'zlar: shaxsiyat". www.mathwords.com. Olingan 2019-12-01.

[:2-3] "Identity - matematik so'zlarni ta'rifi - matematikadan ochiq ma'lumot". www.mathopenref.com. Olingan 2019-12-01.

[4] "Asosiy identifikatorlar". www.math.com. Olingan 2019-12-01.

[5] "Algebraik identifikatorlar". www.sosmath.com. Olingan 2019-12-01.

[6] Stapel, Yelizaveta. "Trigonometrik identifikatorlar". Purplemath. Olingan 2019-12-01.

[7] Ushbu bo'limdagi barcha bayonotlar Shailesh Shiralida joylashgan2002, 4-qism, (Duglas Downing.)2003, p. Yoki Kate & Bhapkar2009, p. Masalan, 1-1.

[8] Bernshteyn, Stiven; Bernshteyn, Rut (1999), Shoumning nazariyasi va statistika elementlari muammolari. I, Ta'riflovchi statistika va ehtimollik, Schaumning kontur seriyasi, Nyu-York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, p. 21

[9] Osborn, G. (1902 yil 1-yanvar). "109. Giperbolik formulalar uchun mnemonik". Matematik gazeta. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.

[10] Peterson, Jon Charlz (2003). Hisoblash bilan texnik matematika (3-nashr). O'qishni to'xtatish. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., 26-bob, 1155-bet

[11] Nachum Dershovits; Jan-Per Jouanna (1990). "Tizimlarni qayta yozish". Yilda Yan van Leyven (tahrir). Rasmiy modellar va semantika. Nazariy informatika qo'llanmasi. B. Elsevier. 243-320 betlar.

[12] Volfgang Veksler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (tahr.). Kompyuter olimlari uchun universal algebra. EATCS Nazariy kompyuter fanlari bo'yicha monografiyalar. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Bu erda: Def.1.3.2.1-band, 160-bet.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]