Inversiyani o'zgartirish - Inversion transformation

Matematik fizikada, inversiya transformatsiyalari ning tabiiy kengaytmasi Puankare transformatsiyalari barchasini kiritish norasmiy bittadan koordinatadagi o'zgarishlar makon-vaqt.^[1]^[2] Ular fizikada kamroq o'rganiladi, chunki Puankare simmetriyasining aylanishi va tarjimalaridan farqli o'laroq, ob'ektni teskari simmetriya bilan jismonan o'zgartirib bo'lmaydi. Ushbu simmetriya ostida ba'zi fizik nazariyalar o'zgarmasdir, bu holda bu "yashirin simmetriya" deb nomlanadi. Fizikaning boshqa yashirin simmetriyalari kiradi o'lchash simmetriyasi va umumiy kovaryans.

Erta foydalanish

1831 yilda matematik Lyudvig Immanuil Magnus radius doirasidagi inversiya natijasida hosil bo'lgan tekislikning transformatsiyalari to'g'risida nashr qila boshladi R. Uning ishi hozirda nomlangan ko'plab nashrlarni boshladi teskari geometriya. Eng taniqli matematik bo'ldi Avgust Ferdinand Mobius bir marta u tekislikdagi o'zgarishlarni kamaytirdi murakkab raqam arifmetik. Inversiya konvertatsiyasini ishlatadigan fiziklar kompaniyasida erta bo'lgan Lord Kelvin, va u bilan bog'lanish uni deb nomlanishiga olib keladi Kelvin aylanadi.

Koordinatalar bo'yicha o'zgartirish

Quyida biz xayoliy vaqtdan foydalanamiz ( ${displaystyle t '= it}$ ) kosmik vaqt Evklid va tenglamalar oddiyroq bo'lishi uchun. Puankare konvertatsiyalari 4-vektorlar tomonidan parametrlangan fazo vaqtidagi koordinatali o'zgarish bilan beriladi.V

{displaystyle V_ {mu} ^ {prime} = O_ {mu} ^ {u} V_ {u} + P_ {mu},}

qayerda ${displaystyle O}$ bu ortogonal matritsa va ${displaystyle P}$ 4 vektorli. Ushbu transformatsiyani ikki marta a 4-vektor xuddi shu shakldagi uchinchi transformatsiyani beradi. Ushbu o'zgarishdagi asosiy o'zgarmas narsa, bu ikkala orasidagi masofa tomonidan berilgan vaqt-vaqt uzunligi makon-vaqt 4-vektorlar tomonidan berilgan nuqtalar x vay:

{displaystyle r = | x-y |.,}

Ushbu transformatsiyalar makon vaqtidagi umumiy 1-1 konformal transformatsiyalarning kichik guruhlari. Ushbu transformatsiyalarni barcha 1-1 konformal transformatsiyalarni o'z ichiga olgan holda kengaytirish mumkin makon-vaqt

{displaystyle V_ {mu} ^ {prime} = chap (A_ {au} ^ {u} V_ {u} + B_ {au} ight) chap (C_ {au mu} ^ {u} V_ {u} + D_ {) au mu} ight) ^ {- 1}.}

Shuningdek, bizda Puankare transformatsiyasining ortogonallik shartiga teng keladigan shart bo'lishi kerak:

{displaystyle AA ^ {T} + BC = DD ^ {T} + CB,}

Chunki transformatsiyaning yuqori va pastki qismlarini ikkiga bo'lish mumkin ${displaystyle D,}$ o'rnatish orqali biz hech qanday umumiylikni yo'qotmaymiz ${displaystyle D}$ birlik matritsasiga. Biz bilan tugaydi

{displaystyle V_ {mu} ^ {prime} = chap (O_ {mu} ^ {u} V_ {u} + P_ {au} ight) chap (delta _ {au mu} + Q_ {au mu} ^ {u} V_ {u} tun) ^ {- 1}.,}

Ushbu transformatsiyani ikki marta 4-vektorda qo'llash bir xil shakldagi transformatsiyani beradi. "Inversiya" ning yangi simmetriyasi 3-tensor bilan berilgan ${displaystyle Q.}$ Agar biz o'rnatadigan bo'lsak, bu simmetriya Puankare simmetriyasiga aylanadi ${displaystyle Q = 0.}$ Qachon ${displaystyle Q = 0}$ ikkinchi shart shuni talab qiladi ${displaystyle O}$ ortogonal matritsa. Ushbu o'zgarish 1-1 ni anglatadi, chunki agar biz nazariy jihatdan cheksiz nuqtalarni o'z ichiga olsak, har bir nuqta o'ziga xos nuqtaga to'g'ri keladi.

Invariants

Ushbu simmetriya uchun 4 o'lchovdagi o'zgarmaslar noma'lum, ammo ma'lumki, invariant uchun kamida 4 fazo-vaqt nuqtasi kerak. Bir o'lchovda o'zgarmas narsa yaxshi ma'lum o'zaro nisbat dan Mobiusning o'zgarishi:

{displaystyle {frac {(x-X) (y-Y)} {(x-Y) (y-X)}}.}

Ushbu simmetriya ostidagi yagona invariantlar kamida 4 nuqtani o'z ichiga olganligi sababli, bu simmetriya nuqta zarralari nazariyasining simmetriyasi bo'lishi mumkin emas. Nuqta zarralari nazariyasi kosmik vaqt davomida zarrachalar yo'llarining uzunligini bilishga asoslangan (masalan, dan ${displaystyle x}$ ga ${displaystyle y}$ ). Simmetriya a ning simmetriyasi bo'lishi mumkin torlar nazariyasi unda iplar so'nggi nuqtalari bilan noyob tarzda aniqlanadi. The targ'ibotchi ushbu nazariya uchun so'nggi nuqtalardan boshlanadigan mag'lubiyat uchun ${displaystyle (x, X)}$ va so'nggi nuqtalarda tugaydi ${displaystyle (y, Y)}$ 4 o'lchovli o'zgarmaslikning konformal funktsiyasi. So'nggi nuqta-satr nazariyasidagi satr maydoni bu so'nggi nuqtalar ustidagi funktsiya.

{displaystyle phi (x, X).,}

Shaxsiy dalillar

Yashirin deb topish uchun Puankare o'zgarishlarini umumlashtirish tabiiy bo'lsa ham simmetriya fizikada va shu bilan mumkin bo'lgan nazariyalar sonini toraytiradi yuqori energiya fizikasi, ushbu simmetriyani eksperimental tekshirish qiyin, chunki bu simmetriya ostida ob'ektni o'zgartirish mumkin emas. Ushbu simmetriyaning bilvosita dalillari ushbu simmetriya ostida o'zgarmas bo'lgan fizikaning asosiy nazariyalari bashorat qilishning qanchalik aniqligi bilan berilgan. Boshqa bilvosita dalillar, bu simmetriya ostida o'zgarmas bo'lgan nazariyalar ziddiyatlarni keltirib chiqaradimi, masalan, ehtimolliklar 1dan katta. Hozirgacha koinotning asosiy tarkibiy qismlari satr ekanligi to'g'risida to'g'ridan-to'g'ri dalillar mavjud emas. Simmetriya ham bo'lishi mumkin singan simmetriya shuni anglatadiki, garchi bu fizikaning simmetriyasi bo'lsa-da, koinot bir yo'nalishda "muzlatib qo'ygan", shuning uchun bu simmetriya endi aniq emas.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ "5-bob inversiyasi" (PDF).
^ "GIPERBOLIK GEOMETRIYaNING POINCARE DISK MODELI" (PDF).

[1] "5-bob inversiyasi" (PDF).

[2] "GIPERBOLIK GEOMETRIYaNING POINCARE DISK MODELI" (PDF).

[1]

[2]