Kajdan-Margulis teoremasi - Kazhdan–Margulis theorem

Yilda Yolg'on nazariyasi, maydoni matematika, Kajdan-Margulis teoremasi a ekanligini tasdiqlovchi bayonotdir diskret kichik guruh yilda semisimple Yolg'on guruhlari guruhda juda zich bo'lishi mumkin emas. Aniqrog'i, har qanday bunday Lie guruhida forma mavjud Turar joy dahasi ning hisobga olish elementi guruhdagi har bir panjarada a birlashtirmoq kimning ushbu mahalla bilan kesishmasida faqat o'ziga xoslik mavjud. Bu natija oltmishinchi yillarda isbotlangan Devid Kajdan va Grigori Margulis.^[1]

Bayonot va mulohazalar

Kajdan-Margulis teoremasining rasmiy bayonoti quyidagicha.

Ruxsat bering ${ displaystyle G}$ semisimple Lie guruhi bo'ling: ochiq mahalla mavjud ${ displaystyle U}$ hisobga olish ${ displaystyle e}$ yilda ${ displaystyle G}$ har qanday alohida kichik guruh uchun ${ displaystyle Gamma subset G}$ element bor ${ displaystyle g in G}$ qoniqarli ${ displaystyle g Gamma g ^ {- 1} cap U = {e }}$.

E'tibor bering, umuman yolg'on guruhlarida bu gap haqiqatdan yiroq; xususan, a nolpotent Yolg'on guruhi, identifikatsiyaning har qanday mahallasi uchun guruhda uning mahalla bilan kesishishi natijasida hosil bo'lgan panjara mavjud: masalan, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, panjara ${ displaystyle varepsilon mathbb {Z} ^ {n}}$ uchun ushbu xususiyatni qondiradi ${ displaystyle varepsilon> 0}$ etarlicha kichik.

Isbot

Kjdan-Margulisning o'ziga xos jihati bilan qiziq bo'lgan va yuqoridagi taniqli bayonot shu zahoti kelib chiqadigan asosiy texnik natijasi quyidagicha.^[2]

Yarim sodda Lie guruhi ixcham omillarsiz berilgan ${ displaystyle G}$ norma bilan ta'minlangan ${ displaystyle | cdot |}$, mavjud ${ displaystyle c> 1}$, mahalla ${ displaystyle U_ {0}}$ ning ${ displaystyle e}$ yilda ${ displaystyle G}$, ixcham ichki qism ${ displaystyle E subset G}$ har qanday alohida kichik guruh uchun ${ displaystyle Gamma subset G}$ mavjud a ${ displaystyle g in E}$ shu kabi ${ displaystyle | g gamma g ^ {- 1} | geq c | gamma |}$ Barcha uchun ${ displaystyle gamma in Gamma cap U_ {0}}$.

Mahalla ${ displaystyle U_ {0}}$ a sifatida olinadi Zassenxaus mahallasi identifikator ${ displaystyle G}$: teorema keyin standart Lie-teoretik argumentlarga amal qiladi.

Tabiatda ko'proq geometrik bo'lgan va qo'shimcha ma'lumot beradigan boshqa dalillar mavjud. ^[3]

Ilovalar

Selberg gipotezasi

Kajdan-Margulisning motivlaridan biri o'sha paytda ma'lum bo'lgan quyidagi so'zlarni isbotlash edi Selberg gipotezasi (eslang a panjara deyiladi bir xil agar uning maydoni ixcham bo'lsa):

Yarim oddiy Lie guruhidagi panjara, agar u tarkibida a bo'lsa, bir xil emas kuchsiz element.

Ushbu natija Kazhdan-Margulis teoremasining texnik versiyasidan kelib chiqadi va faqat bir kuchsiz elementlar o'zboshimchalik bilan (ma'lum bir element uchun) identifikatsiyaga yaqinlashtirilishi mumkin.

Mahalliy nosimmetrik bo'shliqlarning hajmi

Teoremaning xulosasi shundaki mahalliy nosimmetrik bo'shliqlar va yarim yarim Lie guruhidagi panjaralarga bog'langan orbifoldlar o'zboshimchalik bilan kichik hajmga ega bo'lolmaydi (Haar o'lchovi uchun normallashtirilgan holda).

Giperbolik yuzalar uchun bu Siegel tufayli yuzaga keladi va uning pastki pastki chegarasi mavjud ${ displaystyle pi / 21}$ qismining eng kichik to'plami uchun giperbolik tekislik ichida panjara bilan ${ displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ (qarang Xurvitsning avtomorfizmlari teoremasi ). Giperbolik uch manifold uchun minimal hajmli panjara ma'lum va uning miqdori 0,0390 ga teng.^[4] Yuqori o'lchamlarda minimal hajmli panjarani topish muammosi hali ham ochiq, garchi u subklass bilan cheklangan bo'lsa hal qilingan arifmetik guruhlar.^[5]

Vangning yakuniylik teoremasi

Bilan birga mahalliy qat'iylik va Kxdan-Marguilis teoremasining cheklangan avlodi Vangning cheklanganlik teoremasini isbotlashda muhim tarkibiy qism hisoblanadi.

Agar ${ displaystyle G}$ mahalliy izomorf bo'lmagan oddiy Lie guruhidir ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ yoki ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$ belgilangan Haar o'lchovi bilan va ${ displaystyle v> 0}$ ichida juda ko'p sonli panjaralar mavjud ${ displaystyle G}$ kovolumdan kamroq ${ displaystyle v}$.

Shuningdek qarang

• Margulis lemma

Izohlar

Adabiyotlar

• Gelander, Tsachik. "Panjaralar va mahalliy nosimmetrik bo'shliqlar bo'yicha ma'ruzalar". Bestvina shahrida, Mladen; Sageev, Mixa; Vogtmann, Karen (tahrir). Geometrik guruh nazariyasi. 249–282 betlar. arXiv:1402.0962. Bibcode:2014arXiv1402.0962G.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Ragunatan, M. S. (1972). Yolg'on guruhlarining alohida kichik guruhlari. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. JANOB  0507234.