Kosmann ko'tarish - Kosmann lift

Yilda differentsial geometriya, Kosmann ko'tarish,^[1]^[2] nomi bilan nomlangan Yvette Kosmann-Shvartsbax, vektor maydonining ${ displaystyle X ,}$ a Riemann manifoldu ${ displaystyle (M, g) ,}$ kanonik proektsiyadir ${ displaystyle X_ {K} ,}$ ustida ortonormal ramka to'plami uning tabiiy ko'tarilishi ${ displaystyle { hat {X}} ,}$ chiziqli ramkalar to'plamida aniqlangan.^[3]

Umumlashmalar har qanday qisqartiruvchi uchun mavjud G tuzilishi.

Kirish

Umuman olganda, berilgan subbundle ${ displaystyle Q subset E ,}$ a tola to'plami ${ displaystyle pi _ {E} nuqta E dan M ,} gacha$ ustida ${ displaystyle M}$ va vektor maydoni ${ displaystyle Z ,}$ kuni ${ displaystyle E}$ , uning cheklanishi ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ ga ${ displaystyle Q}$ "birga" vektor maydoni ${ displaystyle Q}$ emas kuni (ya'ni, teginish ga) ${ displaystyle Q}$ . Agar kimdir uni belgilaydi ${ displaystyle i_ {Q} yo'g'on ichak Q hookrightarrow E}$ kanonik ko'mish, keyin ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ a Bo'lim ning orqaga tortish to'plami ${ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) dan Q ,} gacha$ , qayerda

{ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) = {(q, v) in Q times TE mid i (q) = tau _ {E} (v) } subset Q marta TE, ,}

va ${ displaystyle tau _ {E} yo'g'on ichak TE dan E gacha,}$ bo'ladi teginish to'plami tola to'plami ${ displaystyle E}$ .A biz berilgan deb o'ylaylik Kosmann parchalanishi orqaga tortish to'plami ${ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) dan Q ,} gacha$ , shu kabi

{ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) = TQ oplus { mathcal {M}} (Q), ,}

ya'ni har birida ${ displaystyle q in Q}$ bittasi bor ${ displaystyle T_ {q} E = T_ {q} Q oplus { mathcal {M}} _ {u} ,,}$ qayerda ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ a vektor subspace ning ${ displaystyle T_ {q} E ,}$ va biz taxmin qilamiz ${ displaystyle { mathcal {M}} (Q) dan Q ,} gacha$ bo'lish a vektor to'plami ustida ${ displaystyle Q}$ , deb nomlangan transversal to'plam ning Kosmann parchalanishi. Shundan kelib chiqadiki, cheklov ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ ga ${ displaystyle Q}$ ga bo'linadi teginish vektor maydoni ${ displaystyle Z_ {K} ,}$ kuni ${ displaystyle Q}$ va a ko'ndalang vektor maydoni ${ displaystyle Z_ {G}, ,}$ vektor to'plamining bo'limi ${ displaystyle { mathcal {M}} (Q) to Q. ,}$

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M) dan M} gacha$ yo'naltirilgan bo'ling ortonormal ramka to'plami yo'naltirilgan ${ displaystyle n}$ - o'lchovli Riemann manifoldu ${ displaystyle M}$ berilgan metrik bilan ${ displaystyle g ,}$ . Bu asosiy ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ -subbundle ${ displaystyle mathrm {F} M ,}$ , tangens ramka to'plami chiziqli ramkalar ustidan ${ displaystyle M}$ tuzilish guruhi bilan ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ .Ta'rifga ko'ra, biz klassik reduktiv bilan berilgan deb aytishimiz mumkin ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ -tuzilma. Maxsus ortogonal guruh ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ ning Reduktiv Lie kichik guruhi ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ . Aslida, mavjud a to'g'ridan-to'g'ri summa parchalanish ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (n) = { mathfrak {so}} (n) oplus { mathfrak {m}} ,}$ , qayerda ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (n) ,}$ ning Lie algebrasi ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ , ${ displaystyle { mathfrak {so}} (n) ,}$ ning Lie algebrasi ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ va ${ displaystyle { mathfrak {m}} ,}$ bo'ladi ${ displaystyle mathrm {Ad} _ { mathrm {S} mathrm {O}} ,}$ - nosimmetrik matritsalarning o'zgarmas vektor subspace, ya'ni. ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {a} { mathfrak {m}} subset { mathfrak {m}} ,}$ Barcha uchun ${ displaystyle a in { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,.}$

Ruxsat bering ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} colon mathrm {F} _ {SO} (M) hookrightarrow mathrm {F} M}$ kanonik bo'lishi ko'mish.

U holda kanonik mavjudligini isbotlash mumkin Kosmann parchalanishi ning orqaga tortish to'plami ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (T mathrm {F} M) to mathrm {F} _ {SO} (M)}$ shu kabi

{ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (T mathrm {F} M) = T mathrm {F} _ {SO} (M) oplus { matematik {M}} ( mathrm {F} _ {SO} (M)) ,,}

ya'ni har birida ${ displaystyle u in mathrm {F} _ {SO} (M)}$ bittasi bor ${ displaystyle T_ {u} mathrm {F} M = T_ {u} mathrm {F} _ {SO} (M) oplus { mathcal {M}} _ {u} ,,}$ ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ tola bo'lish ${ displaystyle u}$ ning subbundle ${ displaystyle { mathcal {M}} ( mathrm {F} _ {SO} (M)) to mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ning ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (V mathrm {F} M) to mathrm {F} _ {SO} (M)}$ . Bu yerda, ${ displaystyle V mathrm {F} M ,}$ ning vertikal pastki to'plami ${ displaystyle T mathrm {F} M ,}$ va har birida ${ displaystyle u in mathrm {F} _ {SO} (M)}$ tola ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ uchun izomorfik vektor maydoni nosimmetrik matritsalar ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ .

Yuqoridagi kanonik va ekvariant dekompozitsiya, demak, cheklov ${ displaystyle Z vert _ { mathrm {F} _ {SO} (M)}}$ ning ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R})}$ -variantli vektor maydoni ${ displaystyle Z ,}$ kuni ${ displaystyle mathrm {F} M}$ ga ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ga bo'linadi ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n)}$ -variantli vektor maydoni ${ displaystyle Z_ {K} ,}$ kuni ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , deb nomlangan Bilan bog'langan Kosmann vektor maydoni ${ displaystyle Z ,}$ va a ko'ndalang vektor maydoni ${ displaystyle Z_ {G} ,}$ .

Xususan, umumiy uchun vektor maydoni ${ displaystyle X ,}$ tayanch kollektorida ${ displaystyle (M, g) ,}$ , demak, cheklov ${ displaystyle { hat {X}} vert _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ,}$ ga ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M) dan M} gacha$ uning tabiiy ko'tarilishi ${ displaystyle { hat {X}} ,}$ ustiga ${ displaystyle mathrm {F} M dan M} gacha$ ga bo'linadi ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n)}$ -variantli vektor maydoni ${ displaystyle X_ {K} ,}$ kuni ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , deb nomlangan Kosmann ko'tarish ning ${ displaystyle X ,}$ va a ko'ndalang vektor maydoni ${ displaystyle X_ {G} ,}$ .

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Fatibene, L .; Ferraris, M .; Francaviglia, M .; Godina, M. (1996). "Spinor Fields uchun yolg'on lotinining geometrik ta'rifi". Yanyskada J.; Kolář, I .; Slovak, J. (tahr.). Differentsial geometriya va ilovalar bo'yicha VI Xalqaro konferentsiya materiallari, 1995 yil 28 avgust - 1 sentyabr (Brno, Chexiya). Brno: Masaryk universiteti. 549-558 betlar. arXiv:gr-qc / 9608003v1. Bibcode:1996gr.qc ..... 8003F. ISBN 80-210-1369-9.
^ Godina, M .; Matteucci, P. (2003). "Reduktiv G-tuzilmalar va yolg'on hosilalari". Geometriya va fizika jurnali. 47: 66–86. arXiv:matematika / 0201235. Bibcode:2003JGP .... 47 ... 66G. doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2.
^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, Jild 1, Vili-Interersiya, ISBN 0-470-49647-9 (Misol 5.2) 55-56 betlar

Adabiyotlar

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, Jild 1 (Yangi tahr.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
Kolash, Ivan; Michor, Piter; Slovak, yanvar (1993), Differentsial geometriyadagi tabiiy operatorlar (PDF), Springer-Verlag, arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2017 yil 30 martda, olingan 4 iyun 2011
Sternberg, S. (1983), Differentsial geometriya bo'yicha ma'ruzalar (2-nashr), Nyu-York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
Fatibene, Lorenso; Frankavigliya, Mauro (2003), Klassik dala nazariyalari uchun tabiiy va o'lchovli tabiiy rasmiyatchilik, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1703-2

[1] Fatibene, L .; Ferraris, M .; Francaviglia, M .; Godina, M. (1996). "Spinor Fields uchun yolg'on lotinining geometrik ta'rifi". Yanyskada J.; Kolář, I .; Slovak, J. (tahr.). Differentsial geometriya va ilovalar bo'yicha VI Xalqaro konferentsiya materiallari, 1995 yil 28 avgust - 1 sentyabr (Brno, Chexiya). Brno: Masaryk universiteti. 549-558 betlar. arXiv:gr-qc / 9608003v1. Bibcode:1996gr.qc ..... 8003F. ISBN 80-210-1369-9.

[2] Godina, M .; Matteucci, P. (2003). "Reduktiv G-tuzilmalar va yolg'on hosilalari". Geometriya va fizika jurnali. 47: 66–86. arXiv:matematika / 0201235. Bibcode:2003JGP .... 47 ... 66G. doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2.

[3] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, Jild 1, Vili-Interersiya, ISBN 0-470-49647-9 (Misol 5.2) 55-56 betlar

[1]

[2]

[3]