Shaxsiyatni kechiktiradi - Lagranges identity - Wikipedia

Yilda algebra, Lagranjning shaxsinomi bilan nomlangan Jozef Lui Lagranj, bu:^[1]^[2]

{ displaystyle { begin {aligned} { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} { biggr)} {{biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} { biggr)} - { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} { biggr)} ^ {2} & = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ { i}) ^ {2} & { biggl (} = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1, j neq i } ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} { biggr)}, end {hizalangan}}}

bu har qanday ikkita to'plamga tegishli {a₁, a₂, . . ., a_n} va {b₁, b₂, . . ., b_n} ning haqiqiy yoki murakkab sonlar (yoki umuman olganda, a elementlari komutativ uzuk ). Ushbu o'ziga xoslik Braxmagupta - Fibonachchining o'ziga xosligi va maxsus shakli Binet-Koshining o'ziga xosligi.

Keyinchalik ixcham vektor yozuvida Lagranjning o'ziga xosligi quyidagicha ifodalanadi:^[3]

{ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - ( mathbf {a cdot b}) ^ {2} = sum _ { 1 leq i

qayerda a va b bor n-haqiqiy sonlar bo'lgan komponentlarga ega bo'lgan o'lchovli vektorlar. Murakkab sonlarga kengaytma izohlashni talab qiladi nuqta mahsuloti sifatida ichki mahsulot yoki Hermitian nuqta mahsuloti. Shubhasiz, murakkab sonlar uchun Lagranjning shaxsini quyidagi shaklda yozish mumkin:^[4]

{ displaystyle { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} { biggr)} { biggl (} sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} { biggr)} - { biggl |} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} { biggr |} ^ { 2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} | a_ {i} { overline {b}} _ {j} -a_ { j} { overline {b}} _ {i} | ^ {2}}

bilan bog'liq mutlaq qiymat.^[5]

Shaxsiyatning o'ng tomoni aniq salbiy bo'lmaganligi sababli, demakdir Koshining tengsizligi ichida cheklangan o'lchovli haqiqiy koordinata maydoni ℝⁿ va uning murakkab hamkasbi ℂⁿ.

Geometrik ravishda, identifikatsiya vektorlar to'plami bilan parallelepiped hajmining kvadrati Gram-determinant vektorlarning.

Lagranjning o'ziga xosligi va tashqi algebra

Jihatidan xanjar mahsuloti, Lagranjning shaxsini yozish mumkin

{ displaystyle (a cdot a) (b cdot b) - (a cdot b) ^ {2} = (a wedge b) cdot (a wedge b).}

Demak, uni ikkita vektorning nuqta hosilalari nuqtai nazaridan, ular belgilaydigan parallelogramma maydoni bo'lgan ikkita vektorning xanjar hosilasi uzunligini beradigan formulalar sifatida ko'rish mumkin.

{ displaystyle | a wedge b | = { sqrt {(a cdot a) (b cdot b) - (a cdot b) ^ {2}}} = { sqrt { | a | ^ {2} | b | ^ {2} - (a cdot b) ^ {2}}}.}

Lagranjning o'ziga xosligi va vektor hisobi

Uch o'lchovda Lagranjning shaxsi, agar shunday bo'lsa, deb ta'kidlaydi a va b $ Delta $ vektorlari³ uzunliklar bilan |a| va |b|, keyin Lagranjning shaxsini o'zaro faoliyat mahsulot va nuqta mahsuloti:^[6]^[7]

{ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - ( mathbf {a cdot b}) ^ {2} = | mathbf {a times b} | ^ {2}}

Ga asoslangan burchak ta'rifidan foydalanish nuqta mahsuloti (Shuningdek qarang Koshi-Shvarts tengsizligi ), chap tomoni

{ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} (1- cos ^ {2} theta) = | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} sin ^ {2} theta}

bu erda θ - vektorlar tomonidan hosil qilingan burchak a va b. Tomonlari bilan parallelogramma maydoni |a| va |b| va angle burchak elementar geometriyada ma'lum

{ displaystyle | mathbf {a} | , | mathbf {b} | , | sin theta |,}

shuning uchun Lagranjning shaxsiyatining chap tomoni parallelogramning kvadratik maydonidir. O'ng tomonda paydo bo'lgan o'zaro faoliyat mahsulot quyidagicha belgilanadi

{ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf {k}}

bu vektor bo'lib, uning komponentlari kattaligi bo'yicha parallelogramning proektsiyalar maydonlariga teng yz, zxva xy navbati bilan samolyotlar.

Etti o'lchov

Uchun a va b $ V $ vektorlari sifatida⁷, Lagranjning identifikatori $ p $ holatidagi kabi shaklga ega bo'ladi³ ^[8]

{ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - | mathbf {a} cdot mathbf {b} | ^ {2} = | mathbf {a } times mathbf {b} | ^ {2} ,}

Shu bilan birga, 7 o'lchovdagi o'zaro faoliyat mahsulot o'zaro faoliyat mahsulotning barcha xususiyatlarini 3 o'lchamda bo'lishmaydi. Masalan, ning yo'nalishi a × b 7 o'lchovlarda xuddi shunday bo'lishi mumkin c × d Garchi; .. bo'lsa ham v va d chiziqli ravishda mustaqil a va b. Shuningdek etti o'lchovli o'zaro faoliyat mahsulot bilan mos emas Jakobining o'ziga xosligi.^[8]

Kvaternionlar

A kvaternion p skalar yig'indisi sifatida aniqlanadi t va vektor v:

{ displaystyle p = t + mathbf {v} = t + x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k}.}

Ikki kvaternionlarning hosilasi p = t + v va q = s + w bilan belgilanadi

{ displaystyle pq = (st- mathbf {v} cdot mathbf {w}) + s mathbf {v} + t mathbf {w} + mathbf {v} times mathbf {w} .}

Ning kvaternion konjugati q bilan belgilanadi

{ displaystyle { overline {q}} = t- mathbf {v},}

va kvadrat kvadratga teng

{ displaystyle | q | ^ {2} = q { overline {q}} = t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}

Kvaternion algebrasidagi me'yorning multiplikativligi kvaternionlar uchun beradi p va q:^[9]

{ displaystyle | pq | = | p || q |.}

Kvaternionlar p va q agar ularning skalyar qismi nolga teng bo'lsa, xayoliy deb nomlanadi; ekvivalent ravishda, agar

{ displaystyle p = mathbf {v}, quad q = mathbf {w}.}

Lagranjning o'ziga xosligi shunchaki xayoliy kvaternionlar normasining multiplikativligi,

{ displaystyle | mathbf {v} mathbf {w} | ^ {2} = | mathbf {v} | ^ {2} | mathbf {w} | ^ {2},}

chunki, ta'rifga ko'ra,

{ displaystyle | mathbf {v} mathbf {w} | ^ {2} = ( mathbf {v} cdot mathbf {w}) ^ {2} + | mathbf {v} times mathbf { w} | ^ {2}.}

Algebraik shaklning isboti

Vektorli forma Binet-Koshi identifikatoridan o'rnatib o'rnatiladi v_men = a_men va d_men = b_men. Ikkinchi versiya ruxsat berish orqali keladi v_men va d_men ni belgilang murakkab konjugatlar ning a_men va b_mennavbati bilan,

Bu erda to'g'ridan-to'g'ri dalil ham bor.^[10] Chap tomonda birinchi davrning kengayishi:

(1)

{ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} right) left ( sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ { 2} o'ng) = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} b_ {k} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} ,}

bu degani ustunining hosilasi as va qatori bs kvadrat (ning elementlari yig'indisi) hosil qiladi abs, diagonalning ikkala tomonida diagonal va juft uchburchaklarga bo'linishi mumkin.

Lagranjning chap tomonidagi ikkinchi muddat quyidagicha kengaytirilishi mumkin:

(2)

{ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} right) ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} b_ {k} ^ {2} +2 sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} ,}

bu nosimmetrik kvadratni uning diagonaliga va diagonalning har ikki tomonidagi teng uchburchaklarga bo'linishini anglatadi.

Lagranj identifikatorining o'ng tomonidagi yig'indini kengaytirish uchun avval kvadrat ichida summani kengaytiring:

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + a_ {j} ^ {2} b_ {i} ^ {2} -2a_ {i} b_ {j} a_ {j} b_ {i}).}

Summani o'ng tomonga tarqating,

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {j} ^ {2} b_ {i} ^ {2} -2 sum _ { i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {j} a_ {j} b_ {i}.}

Endi indekslarni almashtiring men va j Ikkinchi davrning o'ng tomonida va ga o'ting b uchinchi davr omillari:

(3)

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2 sum _ { i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} .}

Lagranjning shaxsiyatining chap tomoniga qayting: uning tenglamalari kengaytirilgan shaklda berilgan ikkita atamasi bor ('1 ') va ('2 '). Tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi had ('2 ') Tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi muddatni bekor qilish bilan tugaydi ('1 '), hosil berish

('1 ') - ('2 ') =

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2 sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}}

bu tenglama bilan bir xil ('3 '), shuning uchun Lagranjning o'ziga xosligi haqiqatan ham o'ziga xoslik, Q.E.D..

Lagranjning murakkab sonlar uchun kimligini tasdiqlovchi dalil

Normativ bo'linish algebralari mahsulot normasi normalar mahsulotiga teng bo'lishini talab qiladi. Lagranjning identifikatori bu tenglikni namoyish etadi, bu erda boshlang'ich nuqta sifatida ishlatiladigan mahsulot identifikatori, mahsulot tengligi me'yorining skator algebralari normasi mahsuloti bilan natijasidir. Dastlab deformatsiyalangan Lorents metrikasi doirasida taqdim etilgan ushbu taklif mahsulotning ishlashi va giperbolik skator algebrasida kattalik ta'rifidan kelib chiqadigan transformatsiyaga asoslangan.^[11]Lagranjning shaxsini turli yo'llar bilan isbotlash mumkin.^[4]Ko'pgina derivatsiyalar identifikatsiyani boshlang'ich nuqtasi sifatida ishlatadilar va tenglikning to'g'ri ekanligini u yoki bu tarzda isbotlaydilar. Hozirgi yondashuvda, Lagranjning identifikatori aslida uni taxmin qilmasdan kelib chiqadi apriori.^{[iqtibos kerak ]}

Ruxsat bering ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} in mathbb {C}}$ murakkab raqamlar bo'ling va ustki chiziq murakkab konjugatni ifodalaydi.

Mahsulot identifikatori ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} -b_ {i} { bar {b}} _ {i } + a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} o'ng) prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} o'ng)}$ ketma-ket kengayishdagi to'rtinchi tartibli shartlar ko'rib chiqilganda kompleks Lagranjning o'ziga xosligini kamaytiradi.

Buni isbotlash uchun mahsulotni LHS-da to'rtinchi darajaga qadar seriyalar bo'yicha kengaytiring. Shu maqsadda, forma mahsulotlarini eslang ${ displaystyle chap (1 + x_ {i} o'ng)}$ so'mning shartlari bo'yicha kengaytirilishi mumkin ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1 + x_ {i} o'ng) = 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + sum _ {i$ qayerda ${ displaystyle { mathcal {O}} ^ {3 +} (x)}$ uch yoki undan yuqori tartibli atamalarni anglatadi ${ displaystyle x}$ .

{ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} -b_ {i} { bar {b}} _ {i } + a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = 1- sum _ {i = 1} ^ {n} chap (a_ {i} { bar {a}} _ {i} + b_ {i} { bar {b}} _ {i} o'ng) + sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} + sum _ {i

RHSdagi ikkita omil ham ketma-ketlikda yozilgan ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} right) prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} o'ng) = chap (1- sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a }} _ {i} + sum _ {i$

Ushbu ifodaning to'rtinchi darajagacha hosilasi quyidagicha

{ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} right) prod _ {i = 1} ^ {n} chap (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} o'ng) = 1- sum _ {i = 1} ^ {n} chap (a_ {i} { bar {a }} _ {i} + b_ {i} { bar {b}} _ {i} o'ng) + chap ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a }} _ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) + sum _ {i

Ushbu ikkita natijaning o'rnini mahsulot identifikatori beradi

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} + sum _ { i

Ikkala konjugat qatorining ko'paytmasi konjuge atamalari mahsulotini o'z ichiga olgan qator sifatida ifodalanishi mumkin. Konjugat seriyali mahsulot ${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { bar {x}} _ {i } o'ng) = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { bar {x}} _ {i} + sum _ {i$ , shunday qilib

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {a_ { i} b_ {i}}} o'ng) - sum _ {i$

LHSdagi so'nggi ikki seriyaning shartlari quyidagicha guruhlangan ${ displaystyle a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {j} { bar {b}} _ {j} + a_ {j} { bar {a}} _ {j} b_ {i} { bar {b}} _ {i} -a_ {i} b_ {i} { bar {a}} _ {j} { bar {b}} _ {j} - { bar { a}} _ {i} { bar {b}} _ {i} a_ {j} b_ {j} = chap (a_ {i} { bar {b}} _ {j} -a_ {j} { bar {b}} _ {i} o'ng) chap ({ bar {a}} _ {i} b_ {j} - { bar {a}} _ {j} b_ {i} o'ng ),}$ kompleks Lagranjning o'ziga xosligini olish uchun:

{ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {a_ { i} b_ {i}}} o'ng) + sum _ {i

Modullar nuqtai nazaridan,

{ displaystyle left | sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right | ^ {2} + sum _ {i

Lagranjning murakkab sonlar uchun identifikatsiyasi to'g'ridan-to'g'ri mahsulot identifikatoridan olingan. Haqiqatdan ham hosil bo'lishi yanada aniqroq. Koshi-Shvarts tengsizligi Lagranjning o'ziga xos holati bo'lgani uchun,^[4] bu CS-ning tengsizligini olishning yana bir usuli. Seriyadagi yuqori buyurtma shartlari yangi o'ziga xosliklarni keltirib chiqaradi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Erik V. Vayshteyn (2003). CRC matematikaning ixcham ensiklopediyasi (2-nashr). CRC Press. ISBN 1-58488-347-2.
^ Robert E Grin; Stiven G Krantz (2006). "16-mashq". Bitta murakkab o'zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi (3-nashr). Amerika matematik jamiyati. p. 22. ISBN 0-8218-3962-4.
^ Vladimir A. Boichenko; Gennadiy Alekseevich Leonov; Volker Reitmann (2005). Oddiy differentsial tenglamalar uchun o'lchov nazariyasi. Vieweg + Teubner Verlag. p. 26. ISBN 3-519-00437-2.
^ ^a ^b ^v J. Maykl Stil (2004). "4.4-mashq: kompleks sonlar uchun Lagranjning identifikatori". Koshi-Shvarts mahorat darsi: matematik tengsizlik san'atiga kirish. Kembrij universiteti matbuoti. 68-69 betlar. ISBN 0-521-54677-X.
^ Grin, Robert E.; Krantz, Stiven G. (2002). Bitta kompleks o'zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi. Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati. p. 22, 16-mashq. ISBN 978-0-8218-2905-9.;
Palka, Bryus P. (1991). Murakkab funktsiyalar nazariyasiga kirish. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. p.27, 4.22-mashq. ISBN 978-0-387-97427-9..
^ Xovard Anton; Kris Rorres (2010). "Nuqta va o'zaro faoliyat mahsulotlar o'rtasidagi munosabatlar". Boshlang'ich chiziqli algebra: ilovalar versiyasi (10-nashr). John Wiley va Sons. p. 162. ISBN 0-470-43205-5.
^ Pertti Lounesto (2001). Klifford algebralari va spinorlari (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. p. 94. ISBN 0-521-00551-5.
^ ^a ^b Pertti Lounesto eshigi (2001). Klifford algebralari va spinorlari (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-00551-5. Ayniqsa qarang § 7.4 o'zaro faoliyat mahsulotlar ℝ⁷, p. 96.
^ Jek B. Kuipers (2002). "§5.6 Norma". Kvaternionlar va aylanish ketma-ketliklari: orbitalarga qo'llaniladigan dastur. Prinston universiteti matbuoti. p. 111. ISBN 0-691-10298-8.
^ Masalan, qarang Frank Jons, Rays universiteti, 7-bobning 4-beti hali nashr etilishi kerak bo'lgan kitob.
^ M. Fernandes-Guasti, Relyativistik tezliklarning tarkibi uchun alternativ realizatsiya, Optik va fotonika 2011, jild. 8121 yorug'lik tabiati: Fotonlar nima? IV, 812108-1-111 betlar. SPIE, 2011 yil.

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Lagranjning shaxsi". MathWorld.

[Weisstein-1] Erik V. Vayshteyn (2003). CRC matematikaning ixcham ensiklopediyasi (2-nashr). CRC Press. ISBN 1-58488-347-2.

[Greene-2] Robert E Grin; Stiven G Krantz (2006). "16-mashq". Bitta murakkab o'zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi (3-nashr). Amerika matematik jamiyati. p. 22. ISBN 0-8218-3962-4.

[Boichenko-3] Vladimir A. Boichenko; Gennadiy Alekseevich Leonov; Volker Reitmann (2005). Oddiy differentsial tenglamalar uchun o'lchov nazariyasi. Vieweg + Teubner Verlag. p. 26. ISBN 3-519-00437-2.

[Steele-4] v J. Maykl Stil (2004). "4.4-mashq: kompleks sonlar uchun Lagranjning identifikatori". Koshi-Shvarts mahorat darsi: matematik tengsizlik san'atiga kirish. Kembrij universiteti matbuoti. 68-69 betlar. ISBN 0-521-54677-X.

[5] Grin, Robert E.; Krantz, Stiven G. (2002). Bitta kompleks o'zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi. Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati. p. 22, 16-mashq. ISBN 978-0-8218-2905-9.;
Palka, Bryus P. (1991). Murakkab funktsiyalar nazariyasiga kirish. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. p.27, 4.22-mashq. ISBN 978-0-387-97427-9..

[Anton-6] Xovard Anton; Kris Rorres (2010). "Nuqta va o'zaro faoliyat mahsulotlar o'rtasidagi munosabatlar". Boshlang'ich chiziqli algebra: ilovalar versiyasi (10-nashr). John Wiley va Sons. p. 162. ISBN 0-470-43205-5.

[Lounesto1-7] Pertti Lounesto (2001). Klifford algebralari va spinorlari (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. p. 94. ISBN 0-521-00551-5.

[Lounesto-8] Pertti Lounesto eshigi (2001). Klifford algebralari va spinorlari (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-00551-5. Ayniqsa qarang § 7.4 o'zaro faoliyat mahsulotlar ℝ⁷, p. 96.

[Kuipers-9] Jek B. Kuipers (2002). "§5.6 Norma". Kvaternionlar va aylanish ketma-ketliklari: orbitalarga qo'llaniladigan dastur. Prinston universiteti matbuoti. p. 111. ISBN 0-691-10298-8.

[Jones-10] Masalan, qarang Frank Jons, Rays universiteti, 7-bobning 4-beti hali nashr etilishi kerak bo'lgan kitob.

[11] M. Fernandes-Guasti, Relyativistik tezliklarning tarkibi uchun alternativ realizatsiya, Optik va fotonika 2011, jild. 8121 yorug'lik tabiati: Fotonlar nima? IV, 812108-1-111 betlar. SPIE, 2011 yil.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]