Lander, Parkin va Selfridge gipotezasi - Lander, Parkin, and Selfridge conjecture

The Lander, Parkin va Selfridge gipotezasi o'xshash kuchlarning yig'indisini o'z ichiga olgan tenglamalarning butun echimlariga tegishli. Tenglamalar - ko'rib chiqilganlarning umumlashtirilishi Fermaning so'nggi teoremasi. Gumon shuki, agar ba'zilarning yig'indisi bo'lsa k-kuch kuchlari boshqasining yig'indisiga teng k- kuchlar, keyin ikkala yig'indagi terminlarning umumiy soni kamida bo'lishi kerak k.

Fon

Diofant tenglamalari, masalan, tenglamaning butun sonli versiyasi a² + b² = v² ichida paydo bo'lgan Pifagor teoremasi, ular uchun o'rganilgan tamsayı yechim asrlar davomida xususiyatlar. Fermaning so'nggi teoremasi uchun, deb ta'kidlaydi kuchlar 2 dan katta, tenglama a^k + b^k = v^k nolga teng bo'lmagan echimlarga ega butun sonlar a, b, v. Sonini kengaytirish shartlar ikkala tomonda yoki ikkala tomonda va 2 dan yuqori kuchlarga ega bo'lishiga imkon bergan Leonhard Eyler 1769 yilda barcha tamsayılar uchun taklif qilish n va k ning yig'indisi bo'lsa, 1 dan katta n kmusbat butun sonlarning kuchlari o'zi a kkeyin kuch n dan katta yoki tengdir k.

Belgilarda, agar${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$qayerda n > 1 va ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, nuqtalar, a_ {n}, b}$ musbat tamsayılar bo'lsa, uning taxminlari shu edi n ≥ k.

Yilda 1966, qarshi misol Eylerning taxminlar kuchi yig'indisi tomonidan topilgan Leon J. Lander va Tomas R. Parkin uchun k = 5:^[1]

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

Keyingi yillarda, bundan keyin ham qarshi misollar topilgan, shu jumladan uchun k = 4. Ikkinchisi aniqroq narsani rad etdi Eyler kvartik gumoni, ya'ni a⁴ + b⁴ + v⁴ = d⁴ musbat tamsayı echimlari yo'q. Aslida, 1988 yilda topilgan eng kichik echim bu

414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ = 422481⁴.

Gumon

1967 yilda L. J. Lander, T. R. Parkin va Jon Selfrijid taxmin qilingan^[2] agar shunday bo'lsa ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}}$, qayerda a_men ≠ b_j $ 1 $ uchun musbat tamsayılarmen ≤ n va 1 ≤j ≤ m, keyin m+n ≥ k. Shunga o'xshash kuchlar formulasining teng yig'indisi ko'pincha quyidagicha qisqartiriladi (k, m, n).

Bilan kichik misollar ${ displaystyle m = n = { frac {k} {2}}}$ (bog'liq bo'lgan umumlashtirilgan taksik raqami ) o'z ichiga oladi ${ displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$ (Eylerga ma'lum) va ${ displaystyle 3 ^ {6} + 19 ^ {6} + 22 ^ {6} = 10 ^ {6} + 15 ^ {6} + 23 ^ {6}}$ (K. Subba Rao tomonidan 1934 yilda topilgan).

Gumon maxsus holatni anglatadi m = 1, agar shunday bo'lsa

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(yuqorida keltirilgan shartlarda) keyin n ≥ k − 1.

Ushbu maxsus holat uchun m = 1, ba'zi bir ma'lum echimlar taklif qilingan cheklovni qondiradi n ≤ k, bu erda atamalar mavjud musbat tamsayılar, shuning uchun a bo'lim o'xshash kuchlarga ega bo'lgan kuchning quyidagilaridir:^[3]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴, (Rojer Fray, 1988)

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴, (R. Norri, 1911)

Fermaning so'nggi teoremasi shuni ta'kidlaydi k = 4 taxmin to'g'ri.

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵, (Lander, Parkin, 1966)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵, (Sastry, 1934, uchinchi kichigi)

k = 6

(Hech kim ma'lum emas. 2002 yildan boshlab yakuniy muddati ≤ 730000 bo'lgan echimlar mavjud emas.^[4] )

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷, (M. Dodrill, 1999)

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸, (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

(Hech kim ma'lum emas.)

Hozirgi holat

Gumonning haqiqat ekanligi yoki qarama-qarshi misollar bo'lishi mumkin bo'lgan echimlar mavjudligi ma'lum emas a^k + b^k = v^k + d^k uchun k ≥ 5.

Shuningdek qarang

• Eksperimental matematika (Eylerning taxminlar kuchlari yig'indisiga qarshi misollar, ayniqsa, eng kichik echim k = 4)
• Jakobi-Madden tenglamasi
• Prouhet-Tarri-Escott muammosi
• Bealning taxminlari
• Pifagor to'rtligi
• Matematikada hal qilinmagan muammolar ro'yxati
• Vakolatlar yig'indisi, tegishli taxminlar va teoremalar ro'yxati

Adabiyotlar

• Yigit, Richard K. (2004). Raqamlar nazariyasidagi hal qilinmagan muammolar. Matematikadan muammoli kitoblar (3-nashr). Nyu-York, Nyu-York: Springer-Verlag. D1. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.

Tashqi havolalar

• EulerNet: O'xshash kuchlarning minimal teng yig'indilarini hisoblash
• Jaroslav Vroblevskiy O'xshash kuchlarning teng yig'indilari
• Tito Piezas III: Algebraik identifikatorlar to'plami
• Vayshteyn, Erik V. "Diofant tenglamasi - 5-kuchlar". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Diofant tenglamasi - 6-kuchlar". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Diofant tenglamasi - 7-kuchlar". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Diofant tenglamasi - 8-kuchlar". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Eylerning kuchlari gumoni". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Eyler kvartik gumoni". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Diofantin tenglamasi - 4-kuchlar". MathWorld.
• Eylerning gumoni library.thinkquest.org saytida
• Eyler gumonining oddiy izohi Matematika siz uchun foydalidir!
• Matematiklar qadimiy jumboqning yangi echimlarini topadilar
• Kichik Ed Pegg Quvvat yig'indisi, Matematik o'yinlar