Legendre transformatsiyasi - Legendre transformation

Funktsiya

f (x)

oralig'ida aniqlanadi

[a, b]

. Farqi

px - f (x)

maksimalni oladi

x '

. Shunday qilib,

f *(p) = px '- f (x')

.

Yilda matematika va fizika, Legendre transformatsiyasinomi bilan nomlangan Adrien-Mari Legendre, bu yopiq transformatsiya ustida haqiqiy - baholangan qavariq funktsiyalar bitta haqiqiy o'zgaruvchining. Jismoniy muammolarda u bir miqdordagi funktsiyalarni (masalan, holat, bosim yoki harorat kabi) funktsiyalarga aylantirish uchun ishlatiladi konjuge miqdor (navbati bilan impuls, hajm va entropiya). Shu tarzda, u odatda ishlatiladi klassik mexanika hosil qilish Hamiltoniyalik tashqaridan rasmiyatchilik Lagrangian rasmiyatchilik va termodinamika hosil qilish termodinamik potentsiallar, shuningdek, ning echimida differentsial tenglamalar bir nechta o'zgaruvchilar.

Haqiqiy chiziqdagi etarlicha silliq funktsiyalar uchun Legendre o'zgaradi $f *$ funktsiya $f$ funktsiyalarning birinchi hosilalari bir-birining teskari funktsiyalari bo'lishi sharti bilan qo'shimcha doimiysiga qadar belgilanishi mumkin. Bu bilan ifodalanishi mumkin Eylerning lotin yozuvlari kabi

{ displaystyle Df = chap (Df ^ {*} o'ng) ^ {- 1} ~,}

yoki, teng ravishda, kabi ${ displaystyle f '(f ^ {* prime} (x ^ {*})) = x ^ {*}}$ va ${ displaystyle f ^ {* prime} (f '(x)) = x}$ yilda Lagranjning yozuvi.

Legendrni afinaviy bo'shliqlarga va konveks bo'lmagan funktsiyalarga aylantirishning umumlashtirilishi qavariq konjugat (shuningdek, Legendre-Fenchel transformatsiyasi deb ataladi), bu funktsiyalarni qurish uchun ishlatilishi mumkin qavariq korpus.

Ta'rif

Ruxsat bering $Men \subset ℝ$ bo'lish oraliq va $f : Men \to ℝ$ a konveks funktsiyasi; keyin uning Legendrning o'zgarishi funktsiya $f * : Men * \to ℝ$ tomonidan belgilanadi

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = sup _ {x in I} (x ^ {*} xf (x)), quad x ^ {*} in I ^ {* }}

qayerda ${ displaystyle sup}$ bo'ladi supremum, va domen ${ displaystyle I ^ {*}}$ bu

{ displaystyle I ^ {*} = left {x ^ {*} in mathbb {R}: sup _ {x in I} (x ^ {*} xf (x)) < infty o'ng } ~.}

Transformatsiya har doim yaxshi aniqlanadi ${ displaystyle f (x)}$ bu qavariq.

Qavariq funktsiyalarga umumlashtirish $f : X \to ℝ$ qavariq to'plamda $X \subset ℝ n$ to'g'ridan-to'g'ri: $f * : X * \to ℝ$ domenga ega

{ displaystyle X ^ {*} = left {x ^ {*} in mathbb {R} ^ {n}: sup _ {x in X} ( langle x ^ {*}, x rangle -f (x)) < infty right }}

va tomonidan belgilanadi

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = sup _ {x in X} ( langle x ^ {*}, x rangle -f (x)), quad x ^ {* } in X ^ {*} ~,}

qayerda ${ displaystyle langle x ^ {*}, x rangle}$ belgisini bildiradi nuqta mahsuloti ning $x *$ va $x$ .

Funktsiya $f *$ deyiladi qavariq konjugat funktsiyasi $f$ . Tarixiy sabablarga ko'ra (ildizlari analitik mexanikada), konjugat o'zgaruvchisi ko'pincha belgilanadi $p$ , o'rniga $x *$ . Agar konveks funktsiyasi bo'lsa $f$ butun chiziqda aniqlanadi va hamma joyda mavjud farqlanadigan, keyin

{ displaystyle f ^ {*} (p) = sup _ {x in I} (px-f (x)) = left (px-f (x) right) | _ {x = (f ') ) {{- 1} (p)}}

ning negativi sifatida talqin qilinishi mumkin $y$ - to'siq ning teginish chizig'i uchun grafik ning $f$ Nishabga ega $p$ .

Legendre-ning o'zgarishi ikkilik nuqta va chiziqlar orasidagi bog'liqlik. Tomonidan belgilangan funktsional munosabatlar $f$ ning to'plami kabi teng darajada yaxshi ifodalanishi mumkin $(x, y)$ nuqtalar yoki ularning qiyaligi va tutilish qiymatlari bilan belgilangan teginish chiziqlari to'plami sifatida.

Transformatsiyani hosilalar nuqtai nazaridan tushunish

Diferensiyalanadigan qavariq funktsiyalar uchun ${ displaystyle f}$ Legendre konvertatsiya qilinadigan birinchi hosilasi bo'lgan haqiqiy chiziqda ${ displaystyle f ^ {*}}$ funktsiyalarning birinchi hosilalari bir-birining teskari funktsiyalari bo'lishi sharti bilan qo'shimcha doimiysiga qadar belgilanishi mumkin.

Buni ko'rish uchun birinchi navbatda, agar bo'lsa ${ displaystyle f}$ farqlanadigan va ${ displaystyle { overline {x}}}$ a tanqidiy nuqta funktsiyasining ${ displaystyle x mapsto p cdot x-f (x)}$ , keyin thesupremum ga erishiladi ${ displaystyle { overline {x}}}$ (konveksiya bo'yicha). Shuning uchun, ${ displaystyle f ^ {*} (p) = p cdot { overline {x}} - f ({ overline {x}})}$ .

Aytaylik ${ displaystyle f '}$ qaytariladigan va ruxsat berilgan ${ displaystyle h}$ uning teskari tomonini belgilang, keyin har biri uchun ${ displaystyle p}$ , nuqta ${ displaystyle h (p)}$ ning noyob tanqidiy nuqtasidir ${ displaystyle x mapsto px-f (x)}$ . Haqiqatdan ham, ${ displaystyle f '(h (p)) = p}$ va hokazo ${ displaystyle p-f '(h (p)) = 0}$ .Shuning uchun bizda ${ displaystyle f ^ {*} (p) = p cdot h (p) -f (h (p))}$ har biriga ${ displaystyle p}$ . Ga nisbatan farqlash orqali ${ displaystyle p}$ biz topamiz

{ displaystyle (f ^ {*}) '(p) = h (p) + p cdot h' (p) -f '(h (p)) cdot h' (p).}

Beri ${ displaystyle f '(h (p)) = p}$ bu soddalashtiradi ${ displaystyle (f ^ {*}) '(p) = h (p)}$ .Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle (f ^ {*}) '}$ va ${ displaystyle f '}$ teskari.

Umuman olganda, agar ${ displaystyle g '}$ ning teskari tomoni ${ displaystyle f '}$ , keyin ${ displaystyle g '= (f ^ {*})'}$ va shuning uchun integratsiya doimiylikni ta'minlaydi ${ displaystyle c}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle f ^ {*} = g + c}$ .

Amaliy jihatdan berilgan $f (x)$ , ning parametrik chizmasi $xf'(x) - f (x)$ ga qarshi $f'(x)$ ning grafigiga teng $g (p)$ ga qarshi $p$ .

Ba'zi hollarda (masalan, termodinamik potentsial, quyida) muqobil ta'rifga teng nostandart talab qo'llaniladi. $f *$ bilan minus belgisi,

{ displaystyle f (x) -f ^ {*} (p) = xp.}

Xususiyatlari

Qavariq funktsiyaning Legendre konvertatsiyasi qavariq bo'ladi.

Keling, buni ikki baravar farqlanadigan holat uchun ko'rsataylik

f

nolga teng bo'lmagan (va shuning uchun konveks tufayli ijobiy) er-xotin lotin.

Ruxsat etilgan uchun

p

, ruxsat bering

x

maksimal darajaga ko'tarish

px - f (x)

. Keyin

f *(p) = px - f (x)

buni ta'kidlab

x

bog'liq

p

. Shunday qilib,

{ displaystyle f ^ { prime} (x) = p ~.}

Ning hosilasi

f

o'zi ijobiy lotin bilan ajralib turadi va shuning uchun qat'iy monoton va teskari.

Shunday qilib

x = g (p)

qayerda

{ displaystyle g equiv (f ^ { prime}) ^ {- 1}}

, demak

g

shunday belgilanadi

{ displaystyle f '(g (p)) = p}

.

Yozib oling

g

shuningdek, quyidagi lotin bilan ajralib turadi,

{ displaystyle { frac {dg (p)} {dp}} = { frac {1} {f '' (g (p))}} ~.}

Shunday qilib

f *(p) = pg (p) - f (g (p))

farqlanadigan funktsiyalarning tarkibi, shuning uchun farqlanishi mumkin.

Qo'llash mahsulot qoidasi va zanjir qoidasi hosil

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {d (f ^ {*})} {dp}} & = g (p) + left (p-f '(g (p)) right) cdot { frac {dg (p)} {dp}} [4pt] & = g (p), end {hizalangan}}}

berib

{ displaystyle { frac {d ^ {2} (f ^ {*})} {dp ^ {2}}} = { frac {dg (p)} {dp}} = { frac {1} { f '' (g (p))}}> 0,}

shunday

f *

qavariq.

Bundan kelib chiqadiki, Legendr konversiyasi an involyutsiya, ya'ni, $f ** = f$ :

Uchun yuqoridagi tengliklardan foydalangan holda

g (p)

,

f *(p)

va uning hosilasi,

{ displaystyle { begin {aligned} f ^ {**} (x) & {} = left (x cdot p_ {s} -f ^ {*} (p_ {s}) right) _ {| { frac {d} {dp}} f ^ {*} (p = p_ {s}) = x} [5pt] & {} = g (p_ {s}) cdot p_ {s} -f ^ {*} (p_ {s}) [5pt] & {} = f (g (p_ {s})) [5pt] & {} = f (x) ~. end {hizalangan}} }

Misollar

1-misol

e^x qizil rangda va uning Legendre shakli ko'k rangda chizilgan.

The eksponent funktsiya ${ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ bor ${ displaystyle f ^ {*} (p) = p ( ln p-1)}$ Legendre konvertatsiyasi sifatida, chunki ularning birinchi lotinlari $e x$ va $ln p$ bir-birining teskari funktsiyalari.

Ushbu misol tegishli ekanligini ko'rsatadi domenlar funktsiyani va uning Legendre konvertatsiyasiga rozi bo'lmaslik kerak.

2-misol

Ruxsat bering $f (x) = cx 2$ $ phi $ bilan belgilanadi, bu erda $v > 0$ sobit doimiy.

Uchun $x *$ sobit, funktsiyasi $x$ , $x * x - f (x) = x * x - cx 2$ birinchi hosilaga ega $x * - 2 cx$ va ikkinchi lotin $-2 v$ ; bir statsionar nuqta bor $x = x */2 v$ , bu har doim maksimal bo'ladi.

Shunday qilib, $Men * = ℝ$ va

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = { frac {{x ^ {*}} ^ {2}} {4c}} ~.}

Ning birinchi hosilalari $f$ , 2 $cx$ va of $f *$ , $x */(2 v)$ , bir-biriga teskari funktsiyalardir. Shubhasiz, bundan tashqari,

{ displaystyle f ^ {**} (x) = { frac {1} {4 (1/4c)}} x ^ {2} = cx ^ {2} ~,}

ya'ni $f ** = f$ .

3-misol

Ruxsat bering $f (x) = x 2$ uchun $x \in Men = [2, 3]$ .

Uchun $x *$ sobit, $x * x - f (x)$ uzluksiz $Men$ ixcham, shuning uchun har doim unga cheklangan maksimal kerak bo'ladi; bundan kelib chiqadiki $Men * = ℝ$ .

Statsionar nuqta $x = x */2$ domendadir $[2, 3]$ agar va faqat agar $4 \leq x * \leq 6$ , aks holda maksimal yoki at olinadi $x = 2$ , yoki $x = 3$ . Bundan kelib chiqadiki

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = { begin {case} 2x ^ {*} - 4, & x ^ {*} <4 { frac {{x ^ {*}} ^ {2}} {4}}, & 4 leqslant x ^ {*} leqslant 6, 3x ^ {*} - 9, & x ^ {*}> 6.. End {case}}}

4-misol

Funktsiya $f (x) = cx$ har bir kishi uchun konveksdir $x$ (Legendre konvertatsiyasi yaxshi aniqlangan bo'lishi uchun qattiq konveksiya talab qilinmaydi). Shubhasiz $x * x - f (x) = (x * - v) x$ funktsiyasi sifatida hech qachon yuqoridan chegaralanmagan $x$ , agar bo'lmasa $x * - v = 0$ . Shuning uchun $f *$ belgilanadi $Men * = {v$ } va $f *(v) = 0$ .

Biror kishi beparvolikni tekshirishi mumkin: albatta $x * x - f *(x *)$ ning funktsiyasi sifatida doimo chegaralanadi $x * \in {v$ }, demak $Men ** = ℝ$ . Keyin, hamma uchun $x$ bittasi bor

{ displaystyle sup _ {x ^ {*} in {c }} (xx ^ {*} - f ^ {*} (x ^ {*})) = xc,}

va shuning uchun $f **(x) = cx = f (x)$ .

5-misol: bir nechta o'zgaruvchilar

Ruxsat bering

{ displaystyle f (x) = langle x, Ax rangle + c}

belgilanishi kerak $X = ℝ n$ , qayerda $A$ haqiqiy, ijobiy aniq matritsa.

Keyin $f$ qavariq va

{ displaystyle langle p, x rangle -f (x) = langle p, x rangle - langle x, Ax rangle -c,}

gradyanga ega $p - 2 Balta$ va Gessian $-2 A$ , bu salbiy; shuning uchun statsionar nuqta $x = A -1 p /2$ maksimal hisoblanadi.

Bizda ... bor $X * = ℝ n$ va

{ displaystyle f ^ {*} (p) = { frac {1} {4}} langle p, A ^ {- 1} p rangle -c.}

Legendr konvertatsiyalari bo'yicha differentsiallarning harakati

Legendre konvertatsiyasi bilan bog'liq qismlar bo'yicha integratsiya, $pdx = d (px) - xdp$ .

Ruxsat bering $f$ ikkita mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lishi $x$ va $y$ , differentsial bilan

{ displaystyle df = { qisman f over qisman x} , dx + { qisman f over qisman y} , dy = p , dx + v , dy.}

Bu konveks deb o'ylang $x$ Barcha uchun $y$ Legendre konvertatsiyasini amalga oshirish uchun $x$ , bilan $p$ o'zgaruvchisi to $x$ . Yangi mustaqil o'zgaruvchi bo'lgani uchun $p$ , differentsiallar $dx$ va $dy$ ga o'tish $dp$ va $dy$ , ya'ni yangi asosda ifodalangan differentsiali bilan boshqa funktsiyani quramiz $dp$ va $dy$ .

Shunday qilib biz funktsiyani ko'rib chiqamiz $g (p, y) = f - px$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

{ displaystyle dg = df-p , dx-x , dp = -x , dp + v , dy}

{ displaystyle x = - { frac { qismli g} { qisman p}}}

{ displaystyle v = { frac { qismli g} { qisman y}}.}

Funktsiya $-g (p, y)$ ning Legendre konvertatsiyasi $f (x, y)$ , bu erda faqat mustaqil o'zgaruvchi $x$ tomonidan siqib chiqarilgan $p$ . Bu quyida ko'rsatilganidek, termodinamikada keng qo'llaniladi.

Ilovalar

Analitik mexanika

Legendre konvertatsiyasi ishlatiladi klassik mexanika hosil qilish Gamilton formulasi dan Lagranj formulasi va aksincha. Oddiy Lagrangian shakliga ega

{ displaystyle L (v, q) = { tfrac {1} {2}} langle v, Mv rangle -V (q),}

qayerda ${ displaystyle (v, q)}$ koordinatalar mavjud $R n \times R n$ , $M$ ijobiy haqiqiy matritsa va

{ displaystyle langle x, y rangle = sum _ {j} x_ {j} y_ {j}.}

Har bir kishi uchun $q$ sobit, ${ displaystyle L (v, q)}$ ning qavariq funksiyasi ${ displaystyle v}$ , esa ${ displaystyle V (q)}$ doimiy rolini o'ynaydi.

Demak, Legendre konvertatsiyasi ${ displaystyle L (v, q)}$ funktsiyasi sifatida $v$ Hamilton funktsiyasidir,

{ displaystyle H (p, q) = { tfrac {1} {2}} langle p, M ^ {- 1} p rangle + V (q)}

.

Umumiy sharoitda, ${ displaystyle (v, q)}$ bo'yicha mahalliy koordinatalar teginish to'plami ${ displaystyle T { mathcal {M}}}$ ko'p qirrali ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ . Har biriga $q$ , ${ displaystyle L (v, q)}$ tangens fazasining qavariq funksiyasi $V q$ . Legendre konvertatsiyasi Gamiltonianni beradi ${ displaystyle H (p, q)}$ koordinatalarning funktsiyasi sifatida $(p, q)$ ning kotangens to'plami ${ displaystyle T ^ {*} { mathcal {M}}}$ ; Legendre konvertatsiyasini aniqlash uchun ishlatiladigan ichki mahsulot tegishli kanonikadan meros bo'lib olinadi simpektik tuzilish. Ushbu mavhum sharoitda Legendre o'zgarishi ga mos keladi tavtologik bir shakl.

Termodinamika

Legendre konvertatsiyasini termodinamikada qo'llash strategiyasi o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyadan yangi o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan yangi (konjugat) funktsiyaga o'tishdir. Yangi o'zgaruvchi - bu asl funktsiyani asl o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilasi. Yangi funktsiya - bu asl funktsiya bilan eski va yangi o'zgaruvchilar mahsuloti o'rtasidagi farq. Odatda, bu konvertatsiya foydali bo'ladi, chunki u, masalan, energiyaning ga bog'liqligini o'zgartiradi keng o'zgaruvchan odatda fizik eksperimentda osonroq boshqarilishi mumkin bo'lgan konjuge intensiv o'zgaruvchiga.

Masalan, ichki energiya ning aniq funktsiyasi keng o'zgaruvchilar entropiya, hajmi va kimyoviy tarkibi

{ displaystyle U = U chap (S, V, {N_ {i} } o'ng),}

umumiy differentsialga ega

{ displaystyle dU = T , dS-P , dV + sum mu _ {i} , dN_ {i}.}

Ichki energiyaning (nostandart) Legendre konvertatsiyasidan foydalanib, $U$ , hajmi bo'yicha, $V$ , ni aniqlash mumkin entalpiya kabi

{ displaystyle H = U + PV , = H chap (S, P, {N_ {i} } o'ng),}

bu bosimning aniq funktsiyasi, $P$ . Entalpiya ichki energiya bilan bir xil ma'lumotni o'z ichiga oladi, ammo bosim doimiy bo'lgan holatlarda ishlash osonroq bo'ladi.

Xuddi shunday, entropiyaning katta o'zgaruvchisidan energiyaga bog'liqlikni o'zgartirish mumkin, $S$ , (ko'pincha qulayroq) intensiv o'zgaruvchiga $T$ , natijada Helmgolts va Gibbs erkin energiya. Helmholtsning erkin energiyasi, $A$ va Gibbs energiyasi, $G$ , ichki energiya va entalpiyaning Legendre konvertatsiyasini bajarish natijasida olinadi,

{ displaystyle A = U-TS ~,}

{ displaystyle G = H-TS = U + PV-TS ~.}

Gemmoltsning erkin energiyasi ko'pincha harorat va hajm doimiy bo'lganda eng foydali termodinamik potentsial hisoblanadi, Gibbs energiyasi esa harorat va bosim doimiy ravishda ushlab turilganda ko'pincha foydali bo'ladi.

Misol - o'zgaruvchan kondansatör

Dan yana bir misol fizika, parallel plitani ko'rib chiqing kondansatör, unda plitalar bir-biriga nisbatan harakatlanishi mumkin. Bunday kondensator kondensatorda saqlanadigan elektr energiyasini tashqi tomonidan amalga oshiriladigan mexanik ishlarga o'tkazishga imkon beradi kuch plitalar ustida harakat qilish. Elektr zaryadini a ning "zaryadiga" o'xshash deb hisoblash mumkin gaz a silindr, natijada mexanik bilan kuch amalga oshirildi a piston.

Plitalardagi kuchni funktsiyasi sifatida hisoblang $x$ , ularni ajratib turadigan masofa. Kuchni topish uchun potentsial energiyani hisoblang va kuchning potentsial energiya funktsiyasi gradyenti sifatida ta'rifini qo'llang.

Ning kondensatorida saqlanadigan energiya sig'im $C (x)$ va zaryadlash $Q$ bu

{ displaystyle U (Q, mathbf {x}) = { frac {1} {2}} QV = { frac {1} {2}} { frac {Q ^ {2}} {C ( mathbf {x})}}, ~}

bu erda plitalar maydoniga bog'liqlik, plitalar orasidagi materialning dielektrik o'tkazuvchanligi va ajralish $x$ kabi abstraktlashtiriladi sig'im $C (x)$ . (Parallel plastinka kondansatörü uchun bu plitalar maydoniga mutanosib va ajratishga teskari proportsionaldir.)

Kuch $F$ elektr maydon tufayli plitalar orasidagi keyin

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = - { frac {dU} {d mathbf {x}}} ~.}

Agar kondansatör biron bir elektronga ulanmagan bo'lsa, u holda ayblovlar plitalar harakatlanayotganda doimiy bo'lib qoladi va kuch manfiydir gradient ning elektrostatik energiya

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = { frac {1} {2}} { frac {dC} {d mathbf {x}}} { frac {Q ^ {2} } {C ^ {2}}}.}

Biroq, buning o'rniga, deb taxmin qiling Kuchlanish plitalar orasida $V$ ga ulanish orqali doimiy ravishda saqlanib turadi batareya, bu doimiy potentsial farqida zaryadlash uchun suv ombori; hozir zaryad o'zgaruvchan kuchlanish o'rniga uning Legendre konjugati. Kuchni topish uchun avval nostandart Legendre konvertatsiyasini hisoblang,

{ displaystyle U ^ {*} = U- chap ({ frac { qisman U} { qisman Q}} o'ng) { bigg |} _ { mathbf {x}} cdot Q = U- { frac {1} {2C ( mathbf {x})}} chap ({ frac { qismli Q ^ {2}} { qisman Q}} o'ng) { bigg |} _ { mathbf {x}} cdot Q = U-QV = { frac {1} {2}} QV-QV = - { frac {1} {2}} QV = - { tfrac {1} {2}} V ^ {2} C ( mathbf {x}).}

Hozir kuch Legendre konvertatsiyasining manfiy gradiyenti bo'lib, hanuzgacha o'sha yo'nalishga ishora qilmoqda,

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = - { frac {dU ^ {*}} {d mathbf {x}}} ~.}

Ikkala konjuge energiya bir-biriga qarama-qarshi bo'lib turadi, faqat tufayli chiziqlilik ning sig'im - bundan mustasno $Q$ endi doimiy emas. Ular kondensatorga energiyani saqlashning ikki xil yo'lini aks ettiradi, natijada, masalan, kondansatör plitalari o'rtasida bir xil "tortishish" paydo bo'ladi.

Ehtimollar nazariyasi

Yilda katta og'ishlar nazariyasi, tezlik funktsiyasi ning logarifmining Legendre o'zgarishi sifatida aniqlanadi moment hosil qiluvchi funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining Tezlik funktsiyasining muhim qo'llanilishi i.i.d. yig'indilarining dumaloq ehtimolliklarini hisoblashda. tasodifiy o'zgaruvchilar.

Mikroiqtisodiyot

Legendrning o'zgarishi tabiiy ravishda paydo bo'ladi mikroiqtisodiyot ni topish jarayonida ta'minot $S (P)$ belgilangan narx berilgan ba'zi mahsulotlarning $P$ bozorda bilish xarajat funktsiyasi $C (Q)$ , ya'ni ishlab chiqaruvchi / qazib olish / va hokazo uchun sarflanadigan xarajatlar. $Q$ berilgan mahsulotning birliklari.

Oddiy nazariya ta'minot egri chizig'ining shaklini faqat xarajatlar funktsiyasiga asoslanib tushuntiradi. Keling, mahsulotimizning bir birligi uchun bozor narxi deb taxmin qilaylik $P$ . Ushbu tovarni sotadigan kompaniya uchun eng yaxshi strategiya ishlab chiqarishni sozlashdir $Q$ shuning uchun uning foydasi maksimal darajaga ko'tariladi. Biz foydani maksimal darajada oshirishimiz mumkin

{ displaystyle { text {profit}} = { text {daromad}} - { text {xarajatlar}} = PQ-C (Q)}

ga nisbatan farqlash orqali $Q$ va hal qilish

{ displaystyle P-C '(Q_ {opt}) = 0.}

$Q tanlov$ optimal miqdorni ifodalaydi $Q$ ishlab chiqaruvchi etkazib berishga tayyor bo'lgan tovarlar, bu aslida ta'minotning o'zi:

{ displaystyle S (P) = Q_ {opt} (P) = (C ^ {'}) ^ {- 1} (P)}

.

Agar maksimal foydani narxning funktsiyasi deb hisoblasak, ${ displaystyle { text {profit}} _ { text {max}} (P)}$ , bu xarajat funktsiyasining Legendre konvertatsiyasi ekanligini ko'ramiz ${ displaystyle C (Q)}$ .

Geometrik talqin

Uchun qat'iy konveks funktsiyasi, Legendre transformatsiyasini o'rtasidagi xaritalash deb talqin qilish mumkin grafik funktsiyasi va oilasi tangents grafikning (Bir o'zgaruvchining funktsiyasi uchun tangenslar umuman aniqlangan, lekin ko'pi bilan juda ko'p qavariq funktsiya bo'lgani uchun farqlanadigan umuman olganda, lekin ko'pi bilan ko'p ball.)

Bilan chiziqning tenglamasi Nishab $p$ va $y$ - to'siq $b$ tomonidan berilgan $y = px + b$ . Ushbu chiziq funktsiya grafigiga tegishi uchun $f$ nuqtada $(x 0, f (x 0))$ talab qiladi

{ displaystyle f left (x_ {0} right) = px_ {0} + b}

va

{ displaystyle p = f '(x_ {0}).}

Funktsiya ${ displaystyle f '}$ qat'iy konveks funktsiyasining hosilasi sifatida qat'iy monotondir. Ikkinchi tenglamani echish mumkin ${ displaystyle x_ {0} = f ^ { prime -1} (p)}$ , yo'q qilishga imkon beradi $x 0$ birinchisidan va uchun hal qilish $y$ - to'siq $b$ tangensning qiyaligi funktsiyasi sifatida $p$ ,

{ displaystyle b = f chap (f ^ { prime -1} chap (p o'ng) o'ng) -p cdot f ^ { prime -1} chap (p o'ng) = - f ^ { star} (p).}

Bu yerda, ${ displaystyle f ^ { star}}$ ning Legendre konvertatsiyasini bildiradi $f$ .

The oila grafasining tangentslari $f$ tomonidan parametrlangan $p$ shuning uchun tomonidan berilgan

{ displaystyle y = px-f ^ { star} (p),}

yoki tengsiz echimlari bilan bevosita yozilgan

{ displaystyle F (x, y, p) = y + f ^ { star} (p) -px = 0 ~.}

Dastlabki funktsiya grafigini ushbu qatorlar qatoridan quyidagicha tiklash mumkin konvert talab bilan bu oilaning

{ displaystyle { qisman F (x, y, p) over qism p} = f ^ { star prime} (p) -x = 0.}

Yo'q qilish $p$ ushbu ikkita tenglama beradi

{ displaystyle y = x cdot f ^ { star prime -1} (x) -f ^ { star} left (f ^ { star prime -1} (x) right).}

Aniqlash $y$ bilan $f (x)$ va oldingi tenglamaning o'ng tomonini Legendre transformatsiyasi sifatida tan olish $f *$ , hosil

{ displaystyle f (x) = f ^ { star star} (x) ~.}

Legendrning bir nechta o'lchamdagi o'zgarishi

An bo'yicha farqlanadigan real qiymatli funktsiya uchun ochiq kichik to'plam $U$ ning $R n$ juftlikning Legendre konjugati $(U, f)$ juftligi deb belgilangan $(V, g)$ , qayerda $V$ ning tasviri $U$ ostida gradient xaritalash $Df$ va $g$ funktsiyasi yoqilgan $V$ formula bilan berilgan

{ displaystyle g (y) = left langle y, x right rangle -f (x), qquad x = left (Df right) ^ {- 1} (y)}

qayerda

{ displaystyle left langle u, v right rangle = sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} cdot v_ {k}}

bo'ladi skalar mahsuloti kuni $R n$ . Ko'p o'lchovli transformatsiyani kodlash sifatida talqin qilish mumkin qavariq korpus funktsiyasi epigraf uning nuqtai nazaridan qo'llab-quvvatlovchi giperplanlar.^[1]

Shu bilan bir qatorda, agar $X$ a vektor maydoni va $Y$ bu uning ikkilangan vektor maydoni, keyin har bir nuqta uchun $x$ ning $X$ va $y$ ning $Y$ , ning tabiiy identifikatsiyasi mavjud kotangens bo'shliqlar $T * X x$ bilan $Y$ va $T * Y y$ bilan $X$ . Agar $f$ haqiqiy farqlanadigan funktsiya $X$ , keyin uning tashqi hosila, $df$ , ning qismi kotangens to'plami $T * X$ va shunga qarab biz xaritani qurishimiz mumkin $X$ ga $Y$ . Xuddi shunday, agar $g$ haqiqiy farqlanadigan funktsiya $Y$ , keyin $dg$ dan xaritani belgilaydi $Y$ ga $X$ . Agar ikkala xarita bir-biriga teskari bo'lsa, biz Legendre konvertatsiyasiga egamiz deymiz. Tushunchasi tavtologik bir shakl odatda ushbu parametrda ishlatiladi.

Funktsiyani farqlash mumkin bo'lmaganda, Legendre konvertatsiyasi hali ham kengaytirilishi mumkin va Legendre-Fenchel konvertatsiyasi. Ushbu umumiy sharoitda bir nechta xususiyatlar yo'qoladi: masalan, Legendre konvertatsiyasi endi o'z teskari emas (agar qo'shimcha taxminlar mavjud bo'lmasa) qavariqlik ).

Kollektorlarda afsonaviy o'zgarish

Ruxsat bering $M$ bo'lishi a silliq manifold va ruxsat bering $TM$ uni belgilang teginish to'plami. Ruxsat bering $L : TM \to R$ silliq funktsiya bo'lib, biz uni lagrangian deb ataymiz. Ning Legendre transformatsiyasi $L$ bu vektor to'plamlarining morfizmi $F L : TM \to T * M$ quyidagicha belgilanadi. Aytaylik $n = xira M$ va bu $U \subseteq M$ bu diagramma. Keyin $U \times R n$ bu diagramma $TM$ va har qanday nuqta uchun $(x, v)$ ushbu jadvalda Legendre transformatsiyasi $L$ bilan belgilanadi

{ displaystyle mathbf {F} L (x, v) = chap (x, { frac { qisman L} { qisman v}} (x, v) o'ng).}

The bog'liq energiya funktsiyasi funktsiya $E : TM \to R$ tomonidan belgilanadi

{ displaystyle E (x, v) = langle v, mathbf {F} L (x, v) rangle -L (x, v),}

bu erda burchakli qavslar teginish va kotangens vektorning tabiiy juftligini bildiradi. Legendre konvertatsiyasini vektor to'plamidan funktsiyaga qo'shimcha ravishda umumlashtirish mumkin $M$ uning juft to'plamiga.^[2]

Boshqa xususiyatlar

Miqyoslash xususiyatlari

Legendre transformatsiyasi quyidagi masshtablash xususiyatlariga ega: Uchun $a > 0$ ,

{ displaystyle f (x) = a cdot g (x) Rightarrow f ^ { star} (p) = a cdot g ^ { star} chap ({ frac {p} {a}} o'ngda)}

{ displaystyle f (x) = g (a cdot x) Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} left ({ frac {p} {a}} right). }

Bundan kelib chiqadiki, agar funktsiya bo'lsa daraja bir hil $r$ u holda uning Legendre o'zgarishi ostidagi tasviri bir darajali funktsiya hisoblanadi $s$ , qayerda $1/ r + 1/ s = 1$ . (Beri $f (x) = x r / r$ , bilan $r > 1$ , nazarda tutadi $f *(p) = p s / s$ .) Shunday qilib, darajasi Legendre o'zgarishi ostida o'zgarmas bo'lgan yagona monomial kvadratikdir.

Tarjima ostida o'zini tutish

{ displaystyle f (x) = g (x) + b Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} (p) -b}

{ displaystyle f (x) = g (x + y) Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} (p) -p cdot y}

Inversiya ostida o'zini tutish

{ displaystyle f (x) = g ^ {- 1} (x) Rightarrow f ^ { star} (p) = - p cdot g ^ { star} chap ({ frac {1} {p }} o'ng)}

Chiziqli transformatsiyalar ostida o'zini tutish

Ruxsat bering $A : R n \to R m$ bo'lishi a chiziqli transformatsiya. Har qanday konveks funktsiyasi uchun $f$ kuni $R n$ , bittasi bor

{ displaystyle (Af) ^ { star} = f ^ { star} A ^ { star}}

qayerda $A *$ bo'ladi qo'shma operator ning $A$ tomonidan belgilanadi

{ displaystyle left langle Ax, y ^ { star} right rangle = chap langle x, A ^ { star} y ^ { star} right rangle,}

va $Af$ bo'ladi oldinga surish ning $f$ birga $A$

{ displaystyle (Af) (y) = inf {f (x): x in X, Ax = y }.}

Yopiq konveks funktsiyasi $f$ berilgan to'plamga nisbatan nosimmetrikdir $G$ ning ortogonal chiziqli transformatsiyalar,

{ displaystyle f (Ax) = f (x), ; forall x, ; for all A in G}

agar va faqat agar $f *$ ga nisbatan nosimmetrikdir $G$ .

Infimion konvulsiya

The abadiy konvulsiya ikkita funktsiya $f$ va $g$ sifatida belgilanadi

{ displaystyle left (f star _ { inf} g right) (x) = inf left {f (xy) + g (y) , | , y in mathbf {R} ^ {n} o'ng }.}

Ruxsat bering $f 1, ..., f m$ to'g'ri konveks funktsiyalari yoqilgan bo'lishi $R n$ . Keyin

{ displaystyle left (f_ {1} star _ { inf} cdots star _ { inf} f_ {m} right) ^ { star} = f_ {1} ^ { star} + cdots + f_ {m} ^ { star}.}

Fenchelning tengsizligi

Har qanday funktsiya uchun $f$ va uning konveks konjugati $f *$ Fenchelning tengsizligi (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan Fenchel-Yosh tengsizligi) har biriga tegishli $x \in X$ va $p \in X *$ , ya'ni, mustaqil $x, p$ juftliklar,

{ displaystyle left langle p, x right rangle leq f (x) + f ^ { star} (p).}

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ "Arxivlangan nusxa". Arxivlandi asl nusxasi 2015-03-12. Olingan 2011-01-26.CS1 maint: nom sifatida arxivlangan nusxa (havola)
^ Marsden, Jerrod E. va Ratiu, Tudor, Mexanika va simmetriyaga kirish: klassik mexanik tizimlarning asosiy ekspozitsiyasi, Springer-Verlag, 1999 yil, ISBN 978-0-387-98643-2, doi 10.1007 / 978-0-387-21792-5.

Kursant, Richard; Xilbert, Devid (2008). Matematik fizika usullari. 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0471504399.
Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Klassik mexanikaning matematik usullari (2-nashr). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
Fenchel, W. (1949). "Konjuge konveks funktsiyalari to'g'risida", Mumkin. J. Matematik 1: 73-77.
Rokafellar, R. Tirrel (1996) [1970]. Qavariq tahlil. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 0-691-01586-4.
Ziyo, R. K. P.; Redish, E. F .; McKay, S. R. (2009). "Legendr konvertatsiyasini anglash". Amerika fizika jurnali. 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. Bibcode:2009 yil AmJPh..77..614Z. doi:10.1119/1.3119512.

Qo'shimcha o'qish

Nilsen, Frank (2010-09-01). "Legendre transformatsiyasi va axborot geometriyasi" (PDF). Olingan 2016-01-24.
Touchette, Ugo (2005-07-27). "Legendre-Fenchel qisqacha o'zgartiradi" (PDF). Olingan 2016-01-24.
Touchette, Gyugo (2006-11-21). "Qavariq tahlil elementlari" (PDF). Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2016-02-01 da. Olingan 2016-01-24.

Tashqi havolalar

Legendre raqamlar bilan o'zgaradi maze5.net saytida
Legendre va Legendre-Fenchel bosqichma-bosqich tushuntirishda o'zgaradi onmyphd.com saytida

[1] "Arxivlangan nusxa". Arxivlandi asl nusxasi 2015-03-12. Olingan 2011-01-26.CS1 maint: nom sifatida arxivlangan nusxa (havola)

[2] Marsden, Jerrod E. va Ratiu, Tudor, Mexanika va simmetriyaga kirish: klassik mexanik tizimlarning asosiy ekspozitsiyasi, Springer-Verlag, 1999 yil, ISBN 978-0-387-98643-2, doi 10.1007 / 978-0-387-21792-5.

[1]

[2]