Lieb-Liniger modeli - Lieb–Liniger model

The Lieb-Liniger modeli bir o'lchovda harakatlanadigan va qoniqtiradigan zarrachalar gazini tavsiflaydi Bose-Eynshteyn statistikasi.

Kirish

Bir o'lchovda harakatlanadigan va qoniqtiradigan zarrachalar gazining modeli Bose-Eynshteyn statistikasi 1963 yilda kiritilgan ^[1][2] ushbu gazlarning mavjud taxminiy nazariyalari, xususan Bogoliubov nazariyasi model gazning haqiqiy xususiyatlariga mos keladimi-yo'qligini o'rganish uchun. Model ikki tanadagi potentsial orqali o'zaro ta'sir o'tkazadigan zarralar uchun yaxshi aniqlangan Shredinger Xamiltonianga asoslangan va ushbu Hamiltonianning barcha o'ziga xos funktsiyalari va o'ziga xos qiymatlari, asosan, to'liq hisoblanishi mumkin. Ba'zan uni bir o'lchovli deb atashadi Bos gaz deltaning o'zaro ta'siri bilan. Bundan tashqari, uni kvant deb hisoblash mumkin chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi.

Bog'oliubov taxmin qilganidek, asosiy holat va past darajadagi hayajonlangan holatlar potentsial kichik bo'lganda hisoblangan va ular bilan kelishilgan deb topilgan, faqat bitta qo'zg'alish o'rniga ikki xil elementar qo'zg'alishlar bo'lganligi bundan mustasno. va boshqa nazariyalar.

Ushbu model faqat ilmiy qiziqish uyg'otganday tuyuldi, chunki XXI asrning birinchi o'n yilligida ishlab chiqilgan murakkab eksperimental texnikalar yordamida zarralar sifatida haqiqiy atomlardan foydalangan holda ushbu turdagi gazni ishlab chiqarish imkoniyati paydo bo'ldi.

Modelning ta'rifi va echimi

Lar bor ${ displaystyle N}$ koordinatali zarralar ${ displaystyle x}$ chiziqda ${ displaystyle [0, L]}$, davriy chegara shartlari bilan. Shunday qilib, ruxsat berilgan to'lqin funktsiyasi ${ displaystyle psi (x_ {1}, x_ {2}, nuqta, x_ {j}, nuqta, x_ {N})}$ nosimmetrik, ya'ni, ${ displaystyle psi ( dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots) = psi ( dots, x_ {j}, dots, x_ {i}, dots)}$ Barcha uchun ${ displaystyle i neq j}$ va ${ displaystyle psi}$ qondiradi ${ displaystyle psi ( nuqta, x_ {j} = 0, nuqta) = psi ( nuqta, x_ {j} = L, nuqta)}$ Barcha uchun ${ displaystyle j}$. Hamiltoniyalik, tegishli birliklarda

${ displaystyle H = - sum nolimits _ {j = 1} ^ {N} kısmi ^ {2} / qisman x_ {j} ^ {2} + 2c sum nolimits _ {1 leq i < j leq N} delta (x_ {i} -x_ {j}) ,}$

qayerda ${ displaystyle delta}$ bo'ladi Dirac delta funktsiyasi, ya'ni o'zaro ta'sir - bu kontaktning o'zaro ta'siri. Doimiy ${ displaystyle c geq 0}$ uning kuchini bildiradi. Delta funktsiyasi ikkita koordinatani aytganda chegara shartini keltirib chiqaradi ${ displaystyle x_ {1}}$ va ${ displaystyle x_ {2}}$ teng; bu shart shunday ${ displaystyle x_ {2} searrow x_ {1}}$, hosilasi qondiradi ${ displaystyle ({ frac { qismli} { qismli x_ {2}}} - { frac { qismli} { qismli x_ {1}}}) psi (x_ {1}, x_ {2} ) | _ {x_ {2} = x_ {1} +} = c psi (x_ {1} = x_ {2})}$. Qattiq yadro chegarasi ${ displaystyle c = infty}$ nomi bilan tanilgan Tonks - Jirardo gazi.^[3]

Shredingerning vaqt bo'yicha mustaqil tenglamasi, ${ displaystyle H psi = E psi}$ ning aniq qurilishi bilan hal qilinadi ${ displaystyle psi}$. Beri ${ displaystyle psi}$ nosimmetrik bo'lib, u oddiylikdagi qiymatlari bilan to'liq aniqlanadi ${ displaystyle { mathcal {R}}}$sharti bilan belgilanadi ${ displaystyle 0 leq x_ {1} leq x_ {2} leq dots, leq x_ {N} leq L}$. Ushbu mintaqada a ${ displaystyle psi}$ H.A tomonidan ko'rib chiqilgan shakldagi Magnit spin tizimlari sharoitida 1931 yilda Bethe Bethe ansatz. Ya'ni, ma'lum bir haqiqiy sonlar uchun ${ displaystyle k_ {1}$, aniqlanishi kerak,

${ displaystyle psi (x_ {1}, nuqtalar, x_ {N}) = sum _ {P} a (P) exp left (i sum _ {j = 1} ^ {N} k_ { Pj} x_ {j} o'ng)}$

bu erda summa hamma narsadan ustundir ${ displaystyle N!}$ almashtirishlar, ${ displaystyle P}$, butun sonlarning ${ displaystyle 1,2, dots, N}$va ${ displaystyle P}$ xaritalar ${ displaystyle 1,2, dots, N}$ ga ${ displaystyle P1, P2, dots, PN}$. Koeffitsientlar ${ displaystyle a (P)}$, shuningdek ${ displaystyle k}$sharti bilan belgilanadi ${ displaystyle H psi = E psi}$va bu olib keladi

${ displaystyle E = sum nolimits _ {j = 1} ^ {N} , k_ {j} ^ {2}}$

${ displaystyle a (P) = prod nolimits _ {1 leq i$

Dorlas (1993) ning barcha o'ziga xos funktsiyalari isbotlangan ${ displaystyle H}$ ushbu shakldadir.^[4]

Ushbu tenglamalar aniqlaydi ${ displaystyle psi}$ jihatidan ${ displaystyle k}$ning, bu esa, o'z navbatida, davriy chegara shartlari bilan belgilanadi. Bular olib keladi ${ displaystyle N}$ tenglamalar:

${ displaystyle L , k_ {j} = 2 pi I_ {j} -2 sum nolimits _ {i = 1} ^ {N} arctan left ({ frac {k_ {j} -k_) {i}} {c}} right) qquad qquad { text {for}} j = 1, , dots, , N ,}$

qayerda ${ displaystyle I_ {1}$ qachon butun sonlar ${ displaystyle N}$ toq va qachon ${ displaystyle N}$ hatto, ular qiymatlarni qabul qiladi ${ displaystyle pm { frac {1} {2}}, pm { frac {3} {2}}, dots}$ . Zamin holati uchun ${ displaystyle I}$qoniqtirmoqda

${ displaystyle I_ {j + 1} -I_ {j} = 1, quad { rm {for}} 1 leq j$

Birinchi turdagi qo'zg'alish tanlovdan iborat ${ displaystyle I_ {1}, nuqtalar, I_ {N-1}}$ oldingidek, lekin ortib bormoqda ${ displaystyle I_ {N}}$ miqdori bo'yicha ${ displaystyle n> 0}$ (yoki kamayib boradi ${ displaystyle I_ {1}}$ tomonidan ${ displaystyle n}$). Ushbu holatning tezligi ${ displaystyle p = 2 pi n / L}$ (yoki ${ displaystyle -2 pi n / L}$).

Ikkinchi tur uchun bir nechtasini tanlang ${ displaystyle 0$ va oshirish ${ displaystyle I_ {i} dan I_ {i} +1} gacha$ Barcha uchun ${ displaystyle i geq n}$. Ushbu holatning tezligi ${ displaystyle p = pi -2 pi n / L}$. Xuddi shunday, bilan davlat mavjud ${ displaystyle p = - pi +2 pi n / L}$. Ushbu turdagi qo'zg'alish momentumi cheklangan ${ displaystyle | p | leq pi.}$

Ushbu hayajonlar birlashtirilishi va ko'p marta takrorlanishi mumkin. Shunday qilib, ular bosonikka o'xshashdir. Agar asosiy holatni (= eng past) energiyani bilan belgilasak ${ displaystyle E_ {0}}$ va yuqorida aytib o'tilgan davlatlarning energiyalari ${ displaystyle E_ {1,2} (p)}$ keyin ${ displaystyle epsilon _ {1} (p) = E_ {1} (p) -E_ {0}}$ va ${ displaystyle epsilon _ {2} (p) = E_ {2} (p) -E_ {0}}$ ikki rejimning qo'zg'alish energiyasi.

Termodinamik chegara

1-rasm: Asosiy holat energiyasi, dan.^[1] Matnni ko'ring.

Gazni muhokama qilish uchun biz cheklovni qabul qilamiz ${ displaystyle N}$ va ${ displaystyle L}$ zichligi bilan cheksizligi ${ displaystyle rho = yo'q / l}$ sobit. Bir zarracha uchun tuproq holati energiyasi ${ displaystyle e = { frac {E_ {0}} {N rho ^ {2}}}}$, va${ displaystyle epsilon _ {1,2} (p)}$ barchasida cheklovlar mavjud ${ displaystyle N to infty}$. Ikkita parametr mavjud bo'lsa-da, ${ displaystyle rho}$ va${ displaystyle c}$, oddiy uzunlik miqyosi ${ displaystyle x to rho x}$ ko'rsatish, bu haqiqatan ham bitta, ya'ni ${ displaystyle gamma = c / rho}$.

Baholash uchun ${ displaystyle E_ {0}}$ deb o'ylaymiz N ${ displaystyle k}$raqamlar orasidagi yolg'on ${ displaystyle K}$ va${ displaystyle -K}$, aniqlanishi kerak va zichlik bilan ${ displaystyle L , f (k)}$. Bu ${ displaystyle f}$ tenglamani qondirish uchun topilgan (intervalda ${ displaystyle -K leq k leq K}$)

${ displaystyle 2c int nolimits _ {- K} ^ {K} { frac {f (p)} {c ^ {2} + (pk) ^ {2}}} dp = 2 pi f (k) ) -1 quad { rm {and}} quad int nolimits _ {- K} ^ {K} f (p) dp = rho ,}$

bu noyob ijobiy echimga ega. Qo'zg'alish bu zichlikni buzadi ${ displaystyle f}$ va shunga o'xshash integral tenglamalar bu buzilishlarni aniqlaydi. Bir zarracha uchun asosiy holat energiyasi quyidagicha beriladi

${ displaystyle e = { frac {1} { rho ^ {3}}} int nolimits _ {- K} ^ {K} k ^ {2} f (k) dk.}$

1-rasmda qanday qilib ko'rsatilgan ${ displaystyle e}$ bog'liq ${ displaystyle gamma}$ va shuningdek Bogoliubovning yaqinlashishini ko'rsatadi${ displaystyle e}$. Ikkinchisi asimptotik ravishda ikkinchi darajaga to'g'ri keladi ${ displaystyle gamma}$, ya'ni, ${ displaystyle e approx gamma -4 gamma ^ {3/2} / (3 pi)}$. Da ${ displaystyle gamma = infty}$, ${ displaystyle e = pi ^ {2} / 3}$.

2-rasm: Ikki turdagi qo'zg'alish energiyalari, dan.^[2] Matnni ko'ring.

2-rasmda ikkita qo'zg'alish energiyasi ko'rsatilgan${ displaystyle epsilon _ {1} (p)}$ va ${ displaystyle epsilon _ {2} (p)}$ ning kichik qiymati uchun ${ displaystyle gamma = 0.787}$. Ikkala egri chiziqlari barcha qiymatlari uchun o'xshashdir ${ displaystyle gamma> 0}$, ammo Bogoliubov yaqinlashuvi (kesilgan) kabi yomonlashadi ${ displaystyle gamma}$ ortadi.

Uchdan bir o'lchovgacha.

Ushbu bir o'lchovli gaz zarralar sifatida haqiqiy, uch o'lchovli atomlardan foydalangan holda amalga oshirilishi mumkin. Uzoq silindrsimon konteynerdagi uch o'lchovli zarralar uchun Shredinger tenglamasidan matematik ravishda, past energiya holatlari bir o'lchovli Lieb-Liniger modeli bilan tasvirlanganligini isbotlash mumkin. Bu asosiy holat uchun qilingan^[5] va hayajonlangan holatlar uchun.^[6] Silindr qiladi emas atom diametri kabi tor bo'lishi kerak; agar o'qga perpendikulyar yo'nalishdagi qo'zg'alish energiyasi zarracha energiyasiga nisbatan katta bo'lsa, u ancha keng bo'lishi mumkin ${ displaystyle e}$.

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Shuningdek qarang Elliott H. Lieb (2008), Scholarpedia, 3 (12): 8712.[1]