Sherlar - Magenlar lemmasi - Lions–Magenes lemma

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2019 yil fevral) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, Sherlar - Magenlar lemmasi (yoki teorema) nazariyasining natijasidir Sobolev bo'shliqlari ning Banach maydoni -funktsiyaning funktsiyalari, funktsiyalarning vaqt hosilasini funktsiyalarning o'zida (funktsional sifatida) tashqariga ko'chirish mezonini beradi.

Lemma haqida bayonot

Ruxsat bering X₀, X va X₁ uch bo'ling Xilbert bo'shliqlari bilan X₀ ⊆ X ⊆ X₁. Aytaylik X₀ bu doimiy ravishda o'rnatilgan yilda X va bu X bu doimiy ravishda o'rnatilgan yilda X₁va bu X₁ ning ikkitomonlama maydoni X₀. Normani belgilang X tomonidan || · ||_X, va harakatini bildiradi X₁ kuni X₀ tomonidan ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$. Ba'zilar uchun deylik ${ displaystyle T> 0}$ bu ${ displaystyle u in L ^ {2} ([0, T]; X_ {0})}$ shundayki, uning vaqt hosilasi ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {2} ([0, T]; X_ {1})}$. Keyin ${ displaystyle u}$ deyarli hamma joyda dan funktsiyaga teng ${ displaystyle [0, T]}$ ichiga ${ displaystyle X}$va bundan tashqari quyidagi tenglik skalar ma'nosida amal qiladi tarqatish kuni ${ displaystyle (0, T)}$:

${ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d} {dt}} | u | _ {X} ^ {2} = langle { dot {u}}, u rangle }$

Yuqoridagi tengsizlik mazmunli, chunki funktsiyalar

${ displaystyle t rightarrow | u | _ {X} ^ {2}, quad t rightarrow langle { dot {u}} (t), u (t) rangle}$

ikkalasi ham birlashtirilishi mumkin ${ displaystyle [0, T]}$.

Shuningdek qarang

• Aubin-sherlar lemmasi

Izohlar

Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu lemma qaerda bo'lgan holatga nisbatan tarqalmaydi ${ displaystyle u in L ^ {p} ([0, T]; X_ {0})}$ shundayki, uning vaqt hosilasi ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {q} ([0, T]; X_ {1})}$ uchun ${ displaystyle p neq 2}$, ${ displaystyle q neq 2}$. Masalan, 3 o'lchovli uchun energiya tengligi Navier - Stoks tenglamalari kuchsiz eritmani ushlab turishi ma'lum emas, chunki zaif eritma ${ displaystyle u}$ faqat qoniqtirishi ma'lum ${ displaystyle u in L ^ {2} ([0, T]; H ^ {1})}$ va ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {4/3} ([0, T]; H ^ {- 1})}$ (qayerda ${ displaystyle H ^ {1}}$ a Sobolev maydoni va ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ bu uning er-xotin bo'shliq, bu Sherlar - Magnes lemmasini qo'llash uchun etarli emas (bunga ehtiyoj bor) ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {2} ([0, T]; H ^ {- 1})}$, ammo bu zaif echimlar uchun to'g'ri ekanligi ma'lum emas). ^[1]

Adabiyotlar

• Temam, Rojer (2001). Navier-Stokes tenglamalari: nazariya va raqamli tahlil. Providence, RI: AMS Chelsi nashriyoti. 176–177 betlar. (Lemma 1.2)

• Arslonlar, Jak L.; Magenes, Enriko (1972). Bir hil bo'lmagan chegara qiymatlari muammolari va qo'llanilishi. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag.