Liovil - Bratu - Gelfand tenglamasi - Liouville–Bratu–Gelfand equation

Dioferensial geometriyadagi Liovil tenglamasi uchun qarang Liovil tenglamasi.

Yilda matematika, Liovil - Bratu - Gelfand tenglamasi yoki Liovil tenglamasi chiziqli emas Puasson tenglamasi, matematiklar nomi bilan atalgan Jozef Liovil,^[1] G. Bratu^[2] va Isroil Gelfand.^[3] Tenglama o'qiladi

${ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda e ^ { psi} = 0}$

Tenglama ichida paydo bo'ladi termal qochqin kabi Frank-Kamenetskiy nazariyasi, astrofizika masalan, Emden - Chandrasekxar tenglamasi. Ushbu tenglama, shuningdek, yonib turgan sim atrofida elektr energiyasining kosmik zaryadini tavsiflaydi^[4] va tasvirlaydi sayyora tumanligi.

Liovilning echimi^[5]

Dekart koordinatalari bilan ikki o'lchovda ${ displaystyle (x, y)}$, Jozef Liovil sifatida echim taklif qildi 1853 yilda

${ displaystyle lambda e ^ { psi} (u ^ {2} + v ^ {2} +1) ^ {2} = 2 chap [ chap ({ frac { qismli u} { qisman x }} o'ng) ^ {2} + chap ({ frac { qismli u} { qismli y}} o'ng) ^ {2} o'ng]}$

qayerda ${ displaystyle f (z) = u + iv}$ o'zboshimchalik bilan analitik funktsiya bilan ${ displaystyle z = x + iy}$. 1915 yilda G.V. Walker^[6] formasini qabul qilib, echimini topdi ${ displaystyle f (z)}$. Agar ${ displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$, keyin Walkerning echimi

${ displaystyle 8e ^ {- psi} = lambda chap [ chap ({ frac {r} {a}} o'ng) ^ {n} + chap ({ frac {a} {r}} o'ng) ^ {n} o'ng] ^ {2}}$

qayerda ${ displaystyle a}$ cheklangan radiusdir. Ushbu eritma har qanday kishi uchun cheksizdir ${ displaystyle n}$, lekin uchun kelib chiqishi cheksiz bo'ladi ${ displaystyle n <1}$ , uchun kelib chiqishi cheklangan bo'ladi ${ displaystyle n = 1}$ va boshida nolga aylanadi ${ displaystyle n> 1}$. Uoker 1915 yilgi maqolasida yana ikkita echimni taklif qildi.

Radial nosimmetrik shakllar

Agar o'rganilayotgan tizim radial nosimmetrik bo'lsa, u holda tenglama ${ displaystyle n}$ o'lchov bo'ladi

${ displaystyle psi '' + { frac {n-1} {r}} psi '+ lambda e ^ { psi} = 0}$

qayerda ${ displaystyle r}$ kelib chiqish masofasi. Chegara shartlari bilan

${ displaystyle psi '(0) = 0, quad psi (1) = 0}$

va uchun ${ displaystyle lambda geq 0}$, haqiqiy echim faqat uchun mavjud ${ displaystyle lambda in [0, lambda _ {c}]}$, qayerda ${ displaystyle lambda _ {c}}$ deb nomlangan muhim parametrdir Frank-Kamenetskii parametri. Muhim parametr ${ displaystyle lambda _ {c} = 0.8785}$ uchun ${ displaystyle n = 1}$, ${ displaystyle lambda _ {c} = 2}$ uchun ${ displaystyle n = 2}$ va ${ displaystyle lambda _ {c} = 3.32}$ uchun ${ displaystyle n = 3}$. Uchun ${ displaystyle n = 1, 2}$, ikkita echim mavjud va uchun ${ displaystyle 3 leq n leq 9}$ nuqta atrofida tebranadigan echimlar bilan cheksiz ko'p echim mavjud ${ displaystyle lambda = 2 (n-2)}$. Uchun ${ displaystyle n geq 10}$, echim noyob va bu holatlarda muhim parametr tomonidan berilgan ${ displaystyle lambda _ {c} = 2 (n-2)}$. Uchun echimning ko'pligi ${ displaystyle n = 3}$ tomonidan kashf etilgan Isroil Gelfand 1963 yilda va keyinchalik 1973 yilda hamma uchun umumlashtirildi ${ displaystyle n}$ tomonidan Daniel D. Jozef va Tomas S. Lundgren.^[7]

Adabiyotlar