Mahalliy Eyler xarakteristikasi formulasi - Local Euler characteristic formula - Wikipedia

In matematik maydoni Galois kohomologiyasi, mahalliy Eyler xarakterli formulasi tufayli natija Jon Teyt bu hisoblaydi Eyler xarakteristikasi ning guruh kohomologiyasi ning mutlaq Galois guruhi G_K a arximed bo'lmagan mahalliy maydon K.

Bayonot

Ruxsat bering K arximediya bo'lmagan mahalliy maydon bo'lsin K^s belgilang a ajratiladigan yopilish ning K, ruxsat bering G_K = Gal (K^s/K) ning mutlaq Galois guruhi bo'ling Kva ruxsat bering H^men(K, M) ning kohomologiyasini belgilang G_K koeffitsientlari bilan M. Beri kohomologik o'lchov ning G_K ikkitadir,^[1] H^men(K, M) = 0 uchun men ≥ 3. Shuning uchun Eyler xarakteristikasiga faqat bilan guruhlar kiradi men = 0, 1, 2.

Sonlu modullar holati

Ruxsat bering M bo'lishi a G_K-modul cheklangan buyurtma m. Eylerning xarakteristikasi M deb belgilangan^[2]

{ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {2} (K, M)} { # H ^ {1} (K, M)}}}

(the menkohomologiya guruhlari men ≥ 3 jimgina ko'rinadi, chunki ularning o'lchamlari bir xil).

Ruxsat bering R ni belgilang butun sonlarning halqasi ning K. Keyin Teytning natijasi shuni ko'rsatadiki, agar m bu nisbatan asosiy uchun xarakterli ning K, keyin^[3]

{ displaystyle chi (G_ {K}, M) = chap ( # R / mR o'ng) ^ {- 1},}

ya'ni tartibining teskari tomoni uzuk R/Janob.

Bitta alohida ta'kidlash kerak bo'lgan ikkita alohida holat quyidagilar. Agar tartib M xarakteristikasi uchun nisbatan asosiy hisoblanadi qoldiq maydoni ning K, keyin Eyler xarakteristikasi bitta. Agar K a cheklangan kengaytma ning p- oddiy raqamlar Q_pva agar bo'lsa v_p belgisini bildiradi p-adik baholash, keyin

{ displaystyle chi (G_ {K}, M) = p ^ {- [K: mathbf {Q} _ {p}] v_ {p} (m)}}

qayerda [K:Q_p] bo'ladi daraja ning K ustida Q_p.

Eyler xarakteristikasi yordamida qayta yozish mumkin Tate mahalliy ikkilik, kabi

{ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {0} (K, M ^ { prime})} { # H ^ {1} (K, M)}}}

qayerda M^′ bo'ladi mahalliy Tate dual ning M.

Izohlar

^ Serre 2002 yil, §II.4.3
^ Kohomologiya nazariyasidagi Eyler xarakteristikasi odatda o'zgaruvchan sifatida yoziladi sum kohomologiya guruhlarining o'lchamlari. Bunday holda, o'zgaruvchan mahsulot ko'proq standartdir.
^ Milne 2006 yil, Teorema I.2.8

Adabiyotlar

Milne, Jeyms S. (2006), Arifmetik ikkilik teoremalari (ikkinchi nashr), Charleston, SC: BookSurge, MChJ, ISBN 1-4196-4274-X, JANOB 2261462, olingan 2010-03-27
Ser, Jan-Per (2002), Galois kohomologiyasi, Matematikadagi Springer monografiyalari, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, JANOB 1867431, tarjima Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag ma'ruza matnlari 5 (1964).

[1] Serre 2002 yil, §II.4.3

[2] Kohomologiya nazariyasidagi Eyler xarakteristikasi odatda o'zgaruvchan sifatida yoziladi sum kohomologiya guruhlarining o'lchamlari. Bunday holda, o'zgaruvchan mahsulot ko'proq standartdir.

[3] Milne 2006 yil, Teorema I.2.8

[1]

[2]

[3]