Lyapunov eksponenti - Lyapunov exponent

Yilda matematika The Lyapunov eksponenti yoki Lyapunovning o'ziga xos xususiyati a dinamik tizim cheksiz yaqin bo'linish tezligini tavsiflovchi miqdor traektoriyalar. Miqdoriy ravishda, ikkita traektoriya fazaviy bo'shliq dastlabki ajratish vektori bilan ${ displaystyle delta mathbf {Z} _ {0}}$ diverge (divergensiyani chiziqli yaqinlashuv ichida davolash mumkin bo'lsa) tomonidan berilgan tezlik bilan

${ displaystyle | delta mathbf {Z} (t) | taxminan e ^ { lambda t} | delta mathbf {Z} _ {0} |}$

qayerda ${ displaystyle lambda}$ Lyapunov eksponentidir.

Boshlang'ich ajratish vektorining turli yo'nalishlari uchun ajratish tezligi har xil bo'lishi mumkin. Shunday qilib, a Lyapunov eksponentlarining spektri- son fazasi fazasining o'lchamiga teng. Ulardan eng kattasini "." Deb atash odatiy holdir Maksimal Lyapunov eksponenti (MLE), chunki u tushunchasini belgilaydi bashorat qilish dinamik tizim uchun. Odatda tizimning belgisi sifatida ijobiy MLE olinadi tartibsiz (ba'zi bir boshqa shartlar bajarilgan taqdirda, masalan, fazoviy bo'shliqning ixchamligi). Ixtiyoriy ravishda boshlang'ich ajratish vektori odatda MLE bilan bog'liq yo'nalishdagi ba'zi tarkibiy qismlardan iborat bo'lishiga e'tibor bering va eksponent o'sish sur'ati tufayli boshqa ko'rsatkichlarning ta'siri vaqt o'tishi bilan yo'q bo'lib ketadi.

Eksponent nomi berilgan Aleksandr Lyapunov.

Maksimal Lyapunov ko'rsatkichining ta'rifi

Lyapunovning maksimal ko'rsatkichini quyidagicha aniqlash mumkin:

${ displaystyle lambda = lim _ {t to infty} lim _ {| delta mathbf {Z} _ {0} | to 0} { frac {1} {t}} ln { frac {| delta mathbf {Z} (t) |} {| delta mathbf {Z} _ {0} |}}}$

Chegara ${ displaystyle | delta mathbf {Z} _ {0} | dan 0} gacha$ har qanday vaqtda chiziqli yaqinlashuvning haqiqiyligini ta'minlaydi.^[1]

Diskret vaqt tizimi uchun (xaritalar yoki sobit nuqta takrorlashlari) ${ displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n})}$ , bilan boshlanadigan orbitaga ${ displaystyle x_ {0}}$ bu quyidagicha tarjima qilinadi:

${ displaystyle lambda (x_ {0}) = lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} ln | f '(x_ {i}) |}$

Lyapunov spektrining ta'rifi

Evolyutsiya tenglamasiga ega bo'lgan dinamik tizim uchun ${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x)}$ ichida n- o'lchovli faza maydoni, Lyapunov eksponentlari spektri

${ displaystyle { lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n} } ,,}$

umuman, boshlang'ich nuqtaga bog'liq ${ displaystyle x_ {0}}$. Biroq, biz odatda jalb qiluvchi (yoki attraktorlar) dinamik tizim, va odatda har bir attraktor bilan bog'liq bo'lgan bitta ko'rsatkich mavjud. Boshlang'ich nuqtani tanlash, agar tizim bir nechta bo'lsa, tizim qaysi jalb qiluvchi bilan yakunlanishini aniqlashi mumkin. (Attraktsionerlari bo'lmagan Hamilton tizimlari uchun bu tashvish tug'dirmaydi.) Lyapunov eksponentlari vektorlarning faza fazosining teginish fazosidagi xatti-harakatlarini tavsiflaydi va Yakobian matritsasi

${ displaystyle J_ {ij} (t) = chap. { frac {df_ {i} (x)} {dx_ {j}}} right | _ {x (t)}}$

bu Jacobian matritsa tomonidan berilgan tangens vektorlarning evolyutsiyasini belgilaydi ${ displaystyle Y}$, tenglama orqali

${ displaystyle { dot {Y}} = JY}$

dastlabki shart bilan ${ displaystyle Y_ {ij} (0) = delta _ {ij}}$. Matritsa ${ displaystyle Y}$ nuqtada qanday kichik o'zgarishlarni tasvirlaydi ${ displaystyle x (0)}$ yakuniy nuqtaga qadar tarqaladi ${ displaystyle x (t)}$. Chegara

${ displaystyle Lambda = lim _ {t rightarrow infty} { frac {1} {2t}} log (Y (t) Y ^ {T} (t))}$

matritsani belgilaydi ${ displaystyle Lambda}$ (chegaraning mavjudligi uchun shartlar Oseledets teoremasi ). Lyapunov eksponentlari ${ displaystyle lambda _ {i}}$ ning xos qiymatlari bilan aniqlanadi ${ displaystyle Lambda}$.

Lyapunov eksponentlari to'plami anning deyarli barcha boshlang'ich nuqtalari uchun bir xil bo'ladi ergodik dinamik tizimning tarkibiy qismi.

Lyapunov vaqt bo'yicha o'zgaruvchan chiziqlash uchun ko'rsatkich

Lyapunov ko'rsatkichini tanishtirish uchun asosiy matritsani ko'rib chiqing${ displaystyle X (t)}$(masalan, statsionar eritma bo'ylab chiziqlash uchun ${ displaystyle x_ {0}}$ uzluksiz tizimda asosiy matritsa hisoblanadi${ displaystyle exp left ( chap. { frac {df ^ {t} (x)} {dx}} right | _ {x_ {0}} t right)}$tizimning birinchi darajali yaqinlashuvining chiziqli mustaqil echimlaridan iborat.Yakkalik qiymatlari${ displaystyle { alpha _ {j} { big (} X (t) { big)} } _ {1} ^ {n}}$matritsaning ${ displaystyle X (t)}$ matritsaning o'ziga xos qiymatlarining kvadrat ildizlari ${ displaystyle X (t) ^ {*} X (t)}$.Lyapunovning eng katta eksponati ${ displaystyle lambda _ { mathrm {max}}}$ quyidagicha^[2]

${ displaystyle lambda _ { mathrm {max}} = max limitler _ {j} limsup _ {t rightarrow infty} { frac {1} {t}} ln alpha _ {j} { big (} X (t) { big)}.}$

A.M. Lyapunov birinchi yaqinlashuv tizimi muntazam bo'lsa (masalan, doimiy va davriy koeffitsientli barcha tizimlar muntazam bo'lsa) va uning eng katta Lyapunov ko'rsatkichi manfiy bo'lsa, u holda asl tizimning echimi asimptotik ravishda Lyapunov barqaror.Keyingi vaqtlarda O. Perron birinchi yaqinlashuvning muntazamligi talabi katta ahamiyatga ega deb aytgan edi.

Lyapunovning eng katta ko'rsatkichli inversiyasining perron effektlari

1930 yilda O. Perron ikkinchi tartibli tizimning namunasini yaratdi, bu erda birinchi yaqinlashuv dastlabki tizimning nol eritmasi bo'yicha salbiy Lyapunov ko'rsatkichlariga ega, ammo shu bilan birga, asl chiziqli bo'lmagan tizimning bu nol eritmasi Lyapunov beqaror. Bundan tashqari, ushbu nol eritmaning ma'lum bir mahallasida asl tizimning deyarli barcha echimlari Lyapunovning ijobiy ko'rsatkichlariga ega. Shuningdek, teskari misolni yaratish mumkin, bunda birinchi yaqinlashuv dastlabki tizimning nolli eritmasi bo'yicha ijobiy Lyapunov ko'rsatkichlariga ega, ammo shu bilan birga, bu chiziqli bo'lmagan tizimning nol eritmasi Lyapunov barqaror.^[3][4]Lyapunovning dastlabki tizim echimlari ko'rsatkichlari va bir xil dastlabki ma'lumotlarga birinchi yaqinlashish tizimining belgilar inversiyasining ta'siri keyinchalik Perron effekti deb nomlandi.^[3][4]

Perronning qarama-qarshi namunasi shuni ko'rsatadiki, Lyapunovning eng katta salbiy ko'rsatkichi umuman barqarorlikni anglatmaydi va ijobiy eng katta Lyapunov ko'rsatkichi, umuman, betartiblikni ko'rsatmaydi.

Shuning uchun vaqt bo'yicha o'zgaruvchan chiziqlash qo'shimcha asoslashni talab qiladi.^[4]

Asosiy xususiyatlar

Agar tizim konservativ bo'lsa (ya'ni, yo'q) tarqalish ), faza fazosining hajm elementi traektoriya bo'ylab bir xil bo'ladi. Shunday qilib, Lyapunovning barcha eksponentlari yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak. Agar tizim dissipativ bo'lsa, Lyapunov ko'rsatkichlari yig'indisi salbiy bo'ladi.

Agar tizim oqim bo'lsa va traektoriya bitta nuqtaga yaqinlashmasa, bitta ko'rsatkich har doim nolga teng bo'ladi - Lyapunov ko'rsatkichi o'z qiymatiga mos keladi ${ displaystyle L}$ oqim yo'nalishi bo'yicha xususiy vektor bilan.

Lyapunov spektrining ahamiyati

Lyapunov spektridan entropiya hosil bo'lish tezligini baholash uchun foydalanish mumkin fraktal o'lchov va of Hausdorff o'lchovi ko'rib chiqilgan dinamik tizim^[5]. Xususan, Lyapunov spektridan olingan ma'lumotdan shunday deb atash mumkin Lyapunov o'lchovi (yoki Kaplan-York o'lchovi ) ${ displaystyle D_ {KY}}$quyidagicha belgilanadi:

${ displaystyle D_ {KY} = k + sum _ {i = 1} ^ {k} { frac { lambda _ {i}} {| lambda _ {k + 1} |}}}$

qayerda ${ displaystyle k}$ ning yig'indisi bo'ladigan maksimal butun son ${ displaystyle k}$ eng katta ko'rsatkichlar hali ham salbiy emas. ${ displaystyle D_ {KY}}$ uchun yuqori chegarani bildiradi axborot o'lchovi tizimning.^[6] Bundan tashqari, Lyapunovning barcha ijobiy ko'rsatkichlari yig'indisi $ ga baho beradi Kolmogorov - Sinay entropiyasi Pesin teoremasiga muvofiq.^[7]Hisoblash va hisoblash uchun keng qo'llaniladigan raqamli usullar bilan bir qatorda Lyapunov o'lchovi Lyapunovga o'xshash maxsus funktsiyalarga ega to'g'ridan-to'g'ri Lyapunov uslubiga asoslangan samarali analitik yondashuv mavjud.^[8]Lyapunov chegaralangan traektoriyaning eksponentlari va Lyapunov o'lchovi attraktor ostida o'zgarmasdir diffeomorfizm faza makonining^[9]

The multiplikativ teskari Lyapunovning eng yirik eksponentlaridan biri ba'zan adabiyotda shunday nomlanadi Lyapunov vaqti va xarakteristikasini belgilaydi e- katlama vaqti. Xaotik orbitalar uchun Lyapunov vaqti cheklangan bo'ladi, doimiy orbitalar uchun esa cheksiz bo'ladi.

Raqamli hisoblash

Odatda Lyapunov eksponentlarini hisoblash, yuqorida ta'riflanganidek, analitik tarzda amalga oshirilmaydi va aksariyat hollarda raqamli usullarga murojaat qilish kerak. Xaotik traektoriyalarning eksponent divergentsiyasining birinchi namoyishini tashkil etgan dastlabki misol, tomonidan amalga oshirildi R. H. Miller 1964 yilda.^[10] Hozirgi kunda eng ko'p ishlatiladigan raqamli protsedura ${ displaystyle L}$ matritsa, chegarani belgilashning bir necha cheklangan vaqt yaqinlashuvlarini o'rtacha hisobiga asoslangan ${ displaystyle L}$.

Silliq dinamik tizim uchun Lyapunov spektrini hisoblashda eng ko'p ishlatiladigan va samarali sonli texnikalardan biri davriylikka bog'liq.Gram-Shmidt orthonormalizatsiya Lyapunov vektorlari maksimal kengayish yo'nalishi bo'yicha barcha vektorlarning noto'g'riligini oldini olish uchun.^{[11][12][13][14]}

Cheklangan eksperimental ma'lumotlardan Lyapunov ko'rsatkichlarini hisoblash uchun turli usullar taklif qilingan. Biroq, ushbu usullarni qo'llashda juda ko'p qiyinchiliklar mavjud va bunday muammolarga ehtiyotkorlik bilan murojaat qilish kerak. Asosiy qiyinchilik shundaki, ma'lumotlar fazaviy makonni to'liq o'rgana olmaydi, aksincha ular ma'lum yo'nalishlar bo'yicha kengaytirilgan (agar mavjud bo'lsa) chekuvchi bilan cheklangan bo'lsa. Ma'lumotlar to'plamidagi ushbu ingichka yoki alohida yo'nalishlar ko'proq salbiy ko'rsatkichlar bilan bog'liq bo'lgan yo'nalishlardir. Attraktordan kichik siljishlar evolyutsiyasini modellashtirish uchun chiziqli bo'lmagan xaritalardan foydalanish Lyapunov spektrini tiklash qobiliyatini keskin yaxshilaganligi,^[15][16] ma'lumotlar shovqin darajasi juda past bo'lsa. Ma'lumotlarning o'ziga xos xususiyati va uning salbiy ko'rsatkichlar bilan aloqasi ham o'rganildi.^[17]

Mahalliy Lyapunov eksponenti

Lyapunov (global) eksponenti tizimning umumiy taxminiyligi uchun o'lchov berar ekan, ba'zida lokal prognozni nuqta atrofida baholash qiziq bo'ladi. x₀ fazaviy fazoda. Bu orqali amalga oshirilishi mumkin o'zgacha qiymatlar ning Jacobian matritsa J ⁰(x₀). Ushbu o'ziga xos qiymatlar Lyapunovning mahalliy eksponatlari deb ham ataladi.^[18] (E'tiborli narsa: global eksponentlardan farqli o'laroq, bu mahalliy ko'rsatkichlar koordinatalarning chiziqli bo'lmagan o'zgarishi ostida o'zgarmas emas).

Shartli Lyapunov ko'rsatkichi

Ushbu atama odatda nisbatan qo'llaniladi betartiblikni sinxronlashtirish, unda birlashtirilgan ikkita tizim mavjud bo'lib, odatda bir yo'nalishda, haydovchi (yoki master) tizimi va javob (yoki qul) tizimi mavjud. Shartli ko'rsatkichlar - bu (xaotik) qo'zg'alish signalining manbai sifatida qabul qilingan haydovchi tizimi bilan javob berish tizimining ko'rsatkichlari. Sinxronizatsiya barcha shartli ko'rsatkichlar manfiy bo'lganda sodir bo'ladi.^[19]

Shuningdek qarang

• Xaotik aralashtirish muqobil lotin uchun
• Edenning taxminlari Lyapunov o'lchovida
• Floket nazariyasi
• Liovil teoremasi (Gemiltonian)
• Lyapunov o'lchovi
• Lyapunov vaqti
• Takroriy miqdoriy tahlil

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Dinamik tizimlar uchun attraktor o'lchamlari taxminlari: nazariya va hisoblash. Cham: Springer.

• M.-F. Danca va N.V.Kuznetsov (2018). "Fraksiyonel-tartibli tizimlarning Lyapunov eksponentlari uchun Matlab kodi". Xalqaro bifurkatsiya va betartiblik jurnali. 25 (5): san'at. num. 1850067. doi:10.1142 / S0218127418500670.

• Cvitanovic P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. va Vattay G.Xaos: klassik va kvant Nil Bor instituti, Kopengagen, 2005 yil - tartibsizlik haqida darslik Bepul hujjatlar uchun litsenziya
• Freddi Kristiansen va Xans Henrik Rugh (1997). "Lyapunov spektrlarini uzluksiz Gram-Shmidt ortonormalizatsiyasi bilan hisoblash". Nochiziqli. 10 (5): 1063–1072. arXiv:chao-dyn / 9611014. Bibcode:1997 yil Notli..10.1063C. doi:10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Arxivlandi asl nusxasi 2006-04-25.

• Salman Habib va ​​Robert D. Rayn (1995). "Lyapunov ko'rsatkichlarini simpektik hisoblash". Jismoniy tekshiruv xatlari. 74 (1): 70–73. arXiv:chao-dyn / 9406010. Bibcode:1995PhRvL..74 ... 70H. doi:10.1103 / PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.

• Govindan Rangarajan; Salman Habib va ​​Robert D. Rayn (1998). "Lyapunovning eksponentlari qayta o'lchamasdan va reortogonalizatsiyasiz". Jismoniy tekshiruv xatlari. 80 (17): 3747–3750. arXiv:chao-dyn / 9803017. Bibcode:1998PhRvL..80.3747R. doi:10.1103 / PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.

• X. Zeng; R. Eyxolt va R. A. Pielke (1991). "Lyapunov eksponent spektrini past aniqlikdagi qisqa vaqt seriyasidan baholash". Jismoniy tekshiruv xatlari. 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991PhRvL..66.3229Z. doi:10.1103 / PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.

• E Aurell; G Boffetta; Krizanti; G Paladin; A Vulpiani (1997). "Katta miqyosda bashorat qilish: Lyapunov eksponenti kontseptsiyasining kengayishi". J. Fiz. Javob: matematik. Gen. 30 (1): 1–26. arXiv:chao-dyn / 9606014. Bibcode:1997 yil JPhA ... 30 .... 1A. doi:10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.

• F Ginelli; P Poggi; Turchi; H Chaté; R Livi; Politi (2007). "Kovariant Lyapunov vektorlari bilan dinamikani tavsiflash" (PDF). Jismoniy tekshiruv xatlari. 99 (13): 130601. arXiv:0706.0510. Bibcode:2007PhRvL..99m0601G. doi:10.1103 / PhysRevLett.99.130601. hdl:2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2008-10-31 kunlari.

Dasturiy ta'minot

• [1] R. Hegger, H. Kantz va T. Shrayber, Lineer bo'lmagan vaqt seriyasini tahlil qilish, TISEAN 3.0.1 (2007 yil mart).
• [2] Scientio's ChaosKit mahsuloti boshqa xaotik tadbirlar qatorida Lyapunov eksponentlarini hisoblab chiqadi. Kirish onlayn ravishda veb-xizmat va Silverlight demo orqali taqdim etiladi.
• [3]^{[doimiy o'lik havola ]} Doktor Ronald Djo Rekordning matematik rekreatsiya dasturiy laboratoriyasida majburiy logistika xaritasi va birlik oralig'idagi boshqa xaritalarning Lyapunov ko'rsatkichlarini grafik ravishda o'rganish uchun X11 grafik mijozi lyap mavjud. The mazmuni va qo'llanma sahifalari^{[doimiy o'lik havola ]} mathrec dasturiy ta'minot laboratoriyasi ham mavjud.
• [4] Ushbu sahifadagi dastur eksponentlarning to'liq spektrini samarali va aniq hisoblash uchun maxsus ishlab chiqilgan. Bunga harakat tenglamalari ma'lum bo'lgan holatlar uchun LyapOde va eksperimental vaqt qatorlari bilan bog'liq holatlar uchun Lyap kiradi. LyapOde, "C" da yozilgan manba kodini o'z ichiga oladi, shuningdek, birlashtirilgan tizimlar uchun shartli Lyapunov ko'rsatkichlarini hisoblashi mumkin. Bu foydalanuvchiga o'z model tenglamalarini taqdim etish yoki unga kiritilganlardan birini ishlatishga imkon berish uchun mo'ljallangan. Fortranda yozilgan manba kodini o'z ichiga olgan Lyap, o'zgarmaydiganlar, parametrlar soniga xos cheklovlar yo'q, shuningdek Lyapunov yo'nalishi vektorlarini hisoblab chiqishi va o'ziga jalb etuvchi o'ziga xosligini tavsiflashi mumkin, bu ko'proq hisoblashda qiyinchiliklarning asosiy sababi hisoblanadi. vaqt qatorlari ma'lumotlarining salbiy ko'rsatkichlari. Ikkala holatda ham keng hujjatlar va namunaviy kirish fayllari mavjud. Dastur Windows, Mac yoki Linux / Unix tizimlarida ishlash uchun tuzilishi mumkin. Dastur matnli oynada ishlaydi va grafik imkoniyatlariga ega emas, lekin Excel kabi dastur yordamida osongina tuzilishi mumkin bo'lgan chiqish fayllarini yaratishi mumkin.

Tashqi havolalar

• Lyapunovning eksponent belgisi inversiyalarining perron effektlari